1、算法与数据结构 6. 树与二叉树,-6.6 哈夫曼树,1路径和路径长度在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。 若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。,6.6 哈夫曼树,一、基本术语,2结点的权及带权路径长度,给树的结点附加的这个有着某种意义的实数，称为该结点的权（weight）。 结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。,3树的带权路径长度 树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为wpl= 其中n 为叶子结点数目，wi为第i 个叶子结点的权值，li 为第
2、i 个叶子结点的路径长度。,二、构造哈夫曼树,1哈夫曼树的定义在一棵二叉树中，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman tree)。,例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树,WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36,WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46,WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35,要使二叉树WPL 小,就须在构造 树时, 将权值大的 结点靠近根.,2 应用举例 在求得某些判定问题时，利用哈夫曼树获得最佳判定算法。 例 编制一个将百分制转换成五分制的程序。最直观的方法是利用if语句来的实现。,i
3、f ( x60)score=不及格; else if ( x70)score=及格; else if ( x80)score=中; else if ( x90)score=良; elsescore=优;,按图的判定过程: 转换一个分数所需的比较次数=从根到对应结点的路径长度 转换10000个分数所需的 总比较次数= 10000 (0.05 1+0.15 2+0.4 3+0.3 4 +0.1 4）,二叉树的 带权路径长度,设有10000个百分制分数要转换，设学生成绩在5个等级以上的分布如下：,构造以分数的分布比例为权值 的哈夫曼树,3哈夫曼树的构造 假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结
4、点。 n个权值分别设为 w1,w2,wn,则哈夫曼树的构造规则为：,(1) 将w1,w2,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；,(2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为我们所求得的哈夫曼树。,构造哈夫曼树的模拟演示,下面给出哈夫曼树的构造过程，假设给定的叶子结点的权分别为1,5,7,3，则构造哈夫曼树过程如图所示。,n 个权值构造哈夫曼树需n-1次合并，每次合并，森林中的树数目减1，最后
5、森林中只剩下一棵树，即为我们求得的哈夫曼树。,n 个权值构造哈夫曼树需?次合并,例： W（权）=2,4,2,3,3，叶子结点个数m=5 试设计Huffman树。,哈夫曼树的算法模拟演示,3、哈夫曼树构造程序,一棵有n个叶子结点的Huffman树有2n-1个结点 顺序存储结构一维结构数组存储结点信息，结点类型定义为： typedef struct int weight;int parent,lchild,rchild; JD; #define MAX 100 void huffman(int n,int w,JD t) int i,j,k,x1,x2,m1,m2;for(i=1;i(2*n);i
6、+) ti.parent=ti.lchild=ti.rchild=-1;if(i=n)ti.weight=wi;elseti.weight=0;,for(i=1;in;i+) m1=m2=MAX;x1=x2=0;for(j=1;j(n+i);j+) if(tj.weightm1),例： W（权）=2,4,2,3,3，叶子结点个数,m=5 试设计Huffman树。,在远程通讯中，要将待传字符转换成由二进制组成的字符串：设要传送的字符为： ABACCDA 若编码为：A00 (等长) B01C10D-11,若将编码设计为长度不等的二进制编码，即让待传字符串中出现次数较多的字符采用尽可能短的编码，则转
7、换的二进制字符串便可能减少。,00010010101100,三、哈夫曼树的应用(哈夫曼编码),设要传送的字符为：ABACCDA 若编码为： A0B00C1D-01,关键：要设计长度不等的编码，则必须使任一字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀。这种编码称作最优前缀编码。,ABACCDA,000011010,但： 0000 AAAA ABA BB,重码,0,设要传送的字符为： ABACCDA 若编码为 ：A0B110C10D-111,0110010101110,A,C,B,D,0,0,1,1,1,采用二叉树设计二进制前缀编码,规定： 左分支用“0”表示 右分支用“1”表示,译码过程：分解接收字符
8、串：遇“0”向左，遇“1”向右；一旦到达叶子结点，则译出一个字符，反复由根出发，直到译码完成。,0110010101110,ABACCDA,A0 B110 C10 D-111,A,C,B,D,0,0,0,1,1,1,例：已知某系统在通讯时，只出现C，A，S，T，B五种字符，它们出现的频率依次为2，4，2，3，3，试设计Huffman编码。 W（权）=2，4，2，3，3，叶子结点个数m=5,例：已知某系统在通讯时，只出现C，A，S，T，B五种字符，它们出现的频率依次为2，4，2，3，3，试设计Huffman编码。 由Huffman树得Huffman编码为： T B A C S 00 01 10
9、110 111,出现频率越大的字符，其Huffman编码越短。,14,8,4,6,4,2,2,0,0,0,1,1,1,3,3,0,1,T,B,A,C,S,可利用二叉树设计前缀编码：,例 某通讯系统只使用8种字符a、b、c、d、e、f、g、h，其使用频率分别为0.05, 0.29, 0.07, 0.08, 0.14, 0.23, 0.03, 0.11，利用二叉树设计一种不等长编码： 1）构造以 a、b、c、d、e、f、g、h为叶子结点的二叉树；2）将该二叉树所有左分枝标记0，所有右分枝标记1；3）从根到叶子结点路径上标记作为叶子结点所对应字符的编码；,a: 0001 b: 10 c: 1110 d: 1111 e: 110 f: 01 g: 0000 h: 001,构造以字符使用频率 作为权值的哈夫曼树,0.05, 0.29, 0.07, 0.08, 0.14, 0.23, 0.03, 0.11,
