1、三、绘制根轨迹图示例,七条绘制规则:1 起点与终点:起始于开环极点,终止于开环零点;2 分支数、连续性、对称性:分支数等于系统特征方程的阶数,根轨迹连续且对称于实轴。3 实轴上的根轨迹:实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数,则该线段是实轴上的根轨迹;,4 渐近线5 在实轴上的分离点,6 起始角和终止角7 与虚轴的交点 将 代入闭环特征方程,令方程两边实部和虚部分别相等,求出 。,以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外,尚须注意以下几点规范画法。根轨迹的起点(开环极点 )用符号“ ”标示;根轨迹的终点(开环零点 )用符号“ o ”标示。根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹
2、增益 值 的增加而运动的,要用箭头标示根轨迹运动的方向。,要标出一些特殊点的 值,如起点( ),终点( );根轨迹在实轴上的分离点d ( );与虚轴的交点 ( )。还有一些要求标出的闭环极点 及其对应的开环根轨迹增益 ,也应在根轨迹图上标出,以便于进行系统的分析与综合。,例4-7 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图。,解:(1)根轨迹的起点是该系统的三个开环极点,即P1=0,P2=-1,P3=-2,由于没有开环零点(m=0),三条根轨迹的终点均在无穷远处。(2)该系统的特征方程为 这是一个三阶系统,该系统有三条根轨迹在s平面上。三条根轨迹连续且对称于实轴。(3)由规则三知,实
3、轴上的根轨迹为实轴上P1 到P2的线段和由P3至实轴上负无穷远线段。,当k=0时当k=1时 当k=2时,由规则四知,可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。,(5)由规则5知,根轨迹与实轴的交点(分离点)是方程解的合理值,解得 不在实轴的根轨迹上,舍去;实际的分离点应为 。(6)无复数开环极点和零点,不存在起始角和终止角。,解虚部方程得,其中 是开环极点 对应的坐标值,它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为 ,绘制出该系统的根轨迹图如图4-11所示。,(7)由规则七,可求出根轨迹与虚轴的交点 ,用 代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等:,图4-11 例4-7系统根轨迹图,
4、解(1)由开环传递函数可知,该系统有一个开环实零点和一对开环共轭复数极点 ,根轨迹的起点为 和 ,其终点为 和无穷远点 。(2)是一个二阶系统,在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。(3)由规则三知,实轴上由-2至-的线段为实轴上的根轨迹。由规则五,可求出根轨迹与实轴的交点(分离点)。分离点方程是,例4-8 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。,即解方程可得 不在实轴上的根轨迹上,舍去,实际的分离点为 。,由规则六,可求出开环复数极点(根轨迹的起点)的起始角。,证明 已知系统的开环零点和极点分别为, ,令s=u+jv为根轨迹的任一点,由相角条件可得将s、 、 和 代入得即,应
5、用三角公式,为准确地画出S平面上根轨迹的图形,运用相角条件可证明本系统在S平面上的根轨迹是一个半径为 ,圆心位于点 的圆弧。,将上式等号左边合并可得到将上式等号两边取正切,则有,方程表示在S平面上的根轨迹是一个圆心位于点 、半径为 的圆弧。由此,可画出根轨迹的准确图形如图4-12所示。,图4-12 例4-8系统的根轨迹图,w,j,s,s,0,-1,-2,-3,),0,(,1,=,K,P,1,p,q,),0,(,2,=,K,P,2,p,q,414,.,3,1,=,d,1,d,-4,*,K,1,-1,),(,1,=,K,Z,*,*,*,由本例不难发现,由两个开环极点(实极点或复数极点)和一个开环实
6、零点组成的二阶系统,只要实零点没有位于两个实极点之间,当开环根轨迹增益 由零变到无穷大时,复平面上的闭环根轨迹,是以实零点为圆心,以实零点到分离点的距离为半径的一个圆(当开环极点为两个实极点时)或圆的一部分(当开环极点为一对共轭复数极点时)。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。,将上例与图例比较,例4-9 已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。,解 由规则一知,根轨迹的起点分别是系统的4个开环极点,即 , 。由于系统无有限开环零点(m=0),根轨迹的终点均在S平面的无穷远处(无穷零点)。,由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为由规则二知,该系统的根轨迹共有4条分支(n=
7、4),4条根轨迹连续且对称于实轴。由规则三知,实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线段。,渐近线与实轴正方向的交角为当k = 0时,当k = 1时,当k = 2时,当k = 3时,,(4)由规则四可求出4条根轨迹渐近线与实轴的交点为,由规则五可求出根轨迹与实轴的交点(分离点)。分离点方程是即解方程得到,由规则六可求出复数极点 和 的起始角, 该系统为4阶系统,用解析法求根轨迹与虚轴的交点 和对应的开环根轨迹增益的临界值 比较困难。下面采用劳斯判据求出 和 的值。根据系统的特征方程列出劳斯表如下:1 6 4 4 05 00,令劳斯表中 行的首项系数为零,求得 ,由 行系数写出辅助方程为 令 ,并将 代入辅助方程可求出 。系统的根轨迹如图4-13所示。,0,图4-13 例4-9系统的根轨迹图,观察(3)和(4),满足(3)的s值必满足(4),所以 分离点也可以由(4)得到。,设开环传函,则特征方程,求导,两式相除,由特征方程得,求导,