1、1,第二章 矩阵习题课,主要内容,二. 典型例题,三. 测验题,2,一. 主要内容,1. 矩阵的定义,简记为,实矩阵: 元素是实数,复矩阵： 元素是复数,3,一些特殊的矩阵：,零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵,2. 矩阵的基本运算,矩阵相等:,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,两个矩阵同型，且对应元素相等,矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）,加法满足,4,数乘满足,数与矩阵相乘：,数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为,矩阵与矩阵相乘：,设,规定,其中,5,乘法满足,矩阵乘法不满足：交换律、消去律,6,A是n 阶方阵，,方阵的幂：,方阵的多项式：,方阵
2、的行列式：,满足:,7,转置矩阵:,一些特殊的矩阵:,把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,满足：,对称矩阵和反对称矩阵：,幂等矩阵： 为n阶方阵，且,8,伴随矩阵：,行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵,9,3. 逆矩阵,定义：,唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.,判定定理:,n阶方阵A可逆,且,推论：,设A、B为同阶方阵，若,则A、B都可逆，且,10,满足规律：,逆矩阵求法：,（1）待定系数法 （2）伴随矩阵法 （3）初等变换法,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似,4. 分块矩阵,11,5. 初等变换,对换变换、倍乘变换、
3、倍加变换,三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换,12,矩阵的等价：,初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与矩阵B等价。记作,三种初等变换对应着三种初等方阵：,初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵,6. 初等矩阵,初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。,13,7. 初等矩阵与初等变换的关系：,初等变换,初等矩阵,初等逆变换,初等逆矩阵,定理：,14,8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵,可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵.,定理：,可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,推论1：,推论
4、2：,如果对可逆矩阵 和同阶单位矩阵 作同样的初等,行变换，那么当 变成单位矩阵 时， 就变成 。,15,即，,16,9. 解矩阵方程的初等变换法,或者,17,矩阵的基本运算 方阵的幂 逆矩阵的求解、证明 矩阵方程 矩阵的分块运算,二. 典型例题,1. 矩阵的基本运算,分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求,解：设所求矩阵为,由,得,其中a，b为实数,18,例2：设,分析：直接计算困难，可利用逆矩阵的定义先化简再计算,解：,19,分析：根据矩阵加法定义及行列式性质求,解：,20,2. 方阵的幂,解： （递推法）,所以，当 时,当 时,21,解：,22,又,23,3. 逆矩阵的求解、证明,例6: 求
5、A的逆矩阵,解：,24,注意: 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换,25,4. 矩阵方程,注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系， 例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解 此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘， 因为矩阵乘法不满足交换律。,矩阵方程,解,26,例8:,解：,（用初等变换法）,例9：书p68 2.14,27,5. 矩阵的分块运算,例10：(书p70 2.21),设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求,解：设所求逆矩阵为,则,28,例11:,29,解:,（）根据分块矩阵的乘法，得,（）由（）可得,
