1、第四节 行列式按一行(列)展开,鲁东大学数学与信息学院,线性代数,授课教师：刘华巧,（降级法）,例如,一、余子式与代数余子式,叫做元素 的代数余子式,例如,引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ,例如,即有,又,从而,在证一般情形,此时,得,得,中的余子式,故得,于是有,定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,证,二、行列式按行（列）展开法则,例1,证,用数学归纳法,n-1阶范德蒙德行列式,解,每一行提取各行的公因子，于是得到,例,计算,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知,
2、推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,同理,关于代数余子式的重要性质,例 计算行列式,解,按第一行展开，得,例 计算行列式,解,=,例5 求证,证明,1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,三、小结,作业：P20-5（1）（4）; P24-12,13.,思考题： 证明n为奇数时行列式D的值为零,将D转置再每一行都乘-1.,解答：将D转置再每一行都乘-1.,1. 定义法,四、行列式计算方法总结,3. 利用性质化上三角行列式,2. 公式法（范德蒙行列式或分块行列式等）,4. 箭形行列式,并求第一行各元素的代数余子式之和,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,解,练习：,5. 行列式的行或列之和相等的行列式,解,练习：,例3 计算行列式,解,(P24:9(1),6、递推公式法,例4 计算行列式,解,过程回放,每次按第一、最后一行展开,练习,7、化公式法,解,
