1、第二节 化二次型为标准形,鲁东大学 数学与信息学院,线性代数,授课教师：刘华巧,二次型的标准形的定义,所变成的平方和形式,设,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形,证明,即 为对称矩阵.,说明,一、拉格朗日配方法的具体步骤,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变,问题 有没有其它方法，也可以把二次型化 为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法,1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;,拉格朗日配方法的
2、步骤,2. 若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.,解,例1,所用变换矩阵为,解,例2,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,二、合同的变换法,矩阵的第 i 列.,2. 合同变换法化二次型为标准形,又，,设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵,基本原理：,C, 使.,对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足,就相当于对A作s次合同变换化为D.,所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时，,又注意到,所以，,基本步骤：,对A作合同变换化为对角矩阵D,对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C, 作非退化
3、线性替换X=CY，则,即,为标准形.,D为对角阵,且,注意：,i）若a110，作合同变换：将A的第一行的 倍,加到第 j 行，再将所得矩阵的第一列的 倍加到,合同变换化对称矩阵 为对角阵D时,ii) 若a11=0，而有某个aii 0，作合同变换：,互换1, i 两行，再互换1, i 两列，所得矩阵的第1行,第1列处元素为aii 0，转为情形i)，即,iii) 若aii=0, i=1,2,n.则必有某个aij0(i j)，作合同变换：,iv) 对 i）中A1重复上述做法.,将第 j 行加到第 i 行，再将第 j 列加到第 i 列，所得矩阵第 i 行第 i 列处元素为2aij 0. 转为情形ii)
4、.,例3 用合同变换求下面二次型的标准形,（同例1）,作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形,令,则,对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对 称性可利用这一点检查计算是否正确.）,对A作合同变换时，无论先作行变换还是 先作列变换，结果是一致的.,可连续作n次初等行（列）变换后，再依次作n次相应的初等列（行）变换.,说明：,三、正交变换法的具体步骤,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例4,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化，得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,例5,二、小结,将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩,思考题,思考题解答,
