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吉林大学硕士研究生入学考试数学分析高等代数试题.doc

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资源描述

1、吉林大学2006 年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、 (共 30 分)判断题1、若函数 在 上 可积,则 在 也 可积;fx,abRiemn2fx,abRiemn2、若级数 收敛,则级数 也收敛;1n1na3、任何单调数列必有极限;4、数列 的上、下极限都存在;n5、区间 上的连续函数必能达到最小值;,ab6、 在整个实轴上是一致连续的;sinx7、若函数 沿着任何过原点的直线连续,则 在 连续;,fy,fxy0,8、若函数 在点 取极小值,则 ;x00fx9、若 , ,则 在点 取极大值;0ff10、向量场 是无源场。222,xyzx二、 (共 20 分)填空题1、设 ,则 gr

2、ad ;sinuzu2、设 ,则 div ;,FxyxF3、设 ,则 rot ;,zy4、设 s 表示单位球面 ,则第一型曲面积分 ;221z2sxd5、数列 的下极限为 ;21n三、 (共 20 分)计算下列极限1、 ;1206limnnk2、 ;301lim213xx3、 ;1li607nnn L4、 。120linxd四、 (共 20 分)判断下列级数的敛散性1、 ;62075nn2、 ,其中1nu21,1,nunL五、 (10 分)设函数 在 两次连续可微,满足 且 。fx0, 01ff10fxd证明:存在 使得 。,六、 (10 分)计算第二型曲线积分 2234Cxyddy其中 为单

3、位圆周 ,方向为顺时针方向。C21xy七、 (10 分)证明,对任意 ,都有03sin6x八、 (10 分)设 均为常数,且对任意 都有,absinxaxb证明: 0九、 (10 分)证明,不存在 上的正的可微函数 ,满足,fx0fx十、 (10 分)试构造区间 上的函数序列 ,具有如下性质:0,1nf(1)对每个 n, 是 上的正的连续函数;fx(2)对每个固定的 , ;0,1xlim0nfx(3) 10limnfd高等代数与空间解析几何卷一、 (共 32 分)填空1、平面上的四个点 在同一个圆上的充要条件为 。 (要求用,1,234ixy_含有 的等式表示) ;,ixy2、设方阵 只与自己

4、相似,则 必为 ;AA_3、设 为可逆矩阵,则直线 与直线112233abc121212xyzabc的位置关系为 。 (要求填写相交、平行、重合、异面四232323xyzabc_者之一) ;4、设 为四阶正方矩阵,其中 均为四维列向量;1234,A1234,, ,且 线性无关。求线性方程组 的通1243234, AX解 ;_二、 (16 分)求二次曲面 的主方向;226120xyzxyz三、 (17 分)设 为 n 维欧式空间, 与 为 中向量,V12,nuL1,nvV线性无关,且对任意的 均有 。证明,必有 上12,nuLijijijuvV的正交变换 ,使得1,2iiuvnL四、 (17 分

5、)设 为数域 上的 n 维向量空间, 均为 上的线性变换,且满足VV。证明:0五、 (17 分)设 为实对称矩阵,证明,必有实对称矩阵 ,使得 为正定矩阵。ABA六、 (17 分)设 为数域 上的 2n 维向量空间, 为 上的线性变换,且。证明,存在 的一个适当基底及 形矩阵 ,使得 在该基底下KerVVJordan恰好对应矩阵 。A七、 (17 分)设 为实数域上的全体 n 阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间, 为V 上的线性变换,且对任意的 , 。TA1、求 的特征值;2、对于每一个特征值,求其特征子空间;3、证明 恰为 的所有特征子空间的直接和。V八、 (17 分)设 为 n 阶实方阵

6、,若对任意的 均有ijAa1,2inL,则称 为对角占优矩阵。证明,对角占优矩阵必为可逆矩阵。1,niija吉林大学2007 年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、 (共 30 分)判断题1、 函数在任何有限区间上都是 可积的;RiemanRieman2、若无穷积分 收敛,则无穷积分 也收敛;0fxd 0fxd3、任何单调递增且有下界的数列必有极限;4、有界数列的上、下极限都存在;5、连续函数一定是有界函数;6、 在整个实轴上是一致连续的;x7、若函数 在 处的两个偏导数,则 在 连续;,fy0, ,fxy0,8、 在 内有无穷多个极大极小值点;1sinx9、若 ,则 在点 必取极大值

7、或极小值;0ffx010、向量场 是无源场。222,yzy二、 (共 20 分)填空题1、设 ,则 grad ;22arctnuxzu2、设 ,则 div ;sin,coFxyzF3、设 ,则 rot ;22,zxy4、设 s 表示单位球面 ,则第一型曲面积分 ;21z3sxyzds5、数列 的上、下极限的和为 ;1n三、 (共 20 分)计算下列极限1、 ;222lim1nnn L六、 (10 分)计算第二型曲面积分 222222xyzdzdzxdxyyx其中 为球面 的内侧。1吉林大学2008 年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、二、3、 210yxde4、 , 为椭圆 ,周长为

8、 a。24LdsL2143xy三、1、设 于 上二次连续、可微,存在不低于整数 的常数 ,使得()fx,x0r。记 ,证明:存在 使()fr(0)f,()f2、 和 皆为区间 上的连续函数, 在 上二次连续,fxg,ab,Kxy,ab,其中 为常数。证明1()(,)()bnnafxKyfdgx(1) 、 时, 于 一致收敛。sup,bay()nf,ab(2) 、 满足()fx(),bafKxg3、 在 上具有连续的一阶导数。,0()()()xxffttd 求证:4、11,(),2,.0,nxnf证明: 在 上不一致收敛,且()nfx,111lim()li()nnoofxdfxd5、 在 上具有

9、连续的一阶导数,又 ,证明:0)tt0()()()xxfft 高等代数与空间解析几何卷一、1、求点 到平面 的距离。(,0)P1xyz2、求曲面 在点 处的切平面。24xy(,)P3、写出内积、外积和混合积的定义。4、设 为在有理数域上大于 1 的多项式,12()nnnf xxa给出 的两个非零值,使得相应的两个多项式分别可约,不可约。a5、在复数域上,当 取何值时,多项式 有重因式。g3()fxg6、 ,求正交矩阵 P 及对角矩阵 D,使得01A TPA7、 8、 是实数域上三元列向量空间, ,为 n 阶正定矩阵。定义V201aA, ,则当 满足什么条件时, 为欧式空间。TuvA,uvVaV

10、9、当 为何值时,5 个平面 经过一条直线。,ab230,4kkxyzbk10、 求 上的线性变换 ,使,*1,二、1、 设 为有理数域上的两个非零多项式,且有无穷多个整数 ,使得 都是(),fxg n()fg整数,证明: 是整数多项式。()f2、 在曲线 的充要条件是 ,其中 是向量P221axbycz221abcdd的长度, 是向量 的方向余弦。O,OP3、 是数域 上的向量空间, 是 上的线性变换,记: , 当且VV*a仅当 是 的特征子空间。4、 假设 是正定矩阵,证明:存在唯一的正定矩阵 ,使得 。AB2A5、 设 是数域 上的 阶矩阵构成的向量空间, , 是 的极小多项nV()fx式,令 ,证明:()|()Uhx(1) 是 的子空间,而且Vdimi()Ufx(2) 不可约,则 的每个非零元素都是可逆矩阵。()fx

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