1、蓝天家教网 http:/ 伴您快乐成长http:/山西省平遥中学 2007-2008 学年度第二学期期中考试高二数学试题本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟一选择题（512=60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡的相应位置上）1长方体 的底面 的中心为 ，底面 的中心为 ，那么以下三1ABCDACO1AC1O线不共点的是（ ）A B 11, 1,DB11,BD1,O2对于已知直线 ，如果直线 同时满足下列三个条件：与 是异面直线；aba与 所成的角是 ；与 的距离为 那么，这样的直线有（ ）302cm条 条 条 无数条3线段 在同一平面内
2、的射影相等，则线段 的长度关系为（ ）,ABCD,ABCD 无法确定ABCD4若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ,mn,）若 ，则 若 ， ，则 ,m,mn若 ，则 若 ，则5记者要为名志愿者和他们帮助的位老人拍照，要求排成一排，位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）1440 种 960 种 720 种 480 种6两个平面 和 相交但不垂直，直线 在平面 内，则在平面 内（ ）m一定存在与直线 平行的直线； 一定存在与直线 垂直的直线m一定不存在与直线 平行的直线； 一定不存在与直线 垂直的直线7已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则侧棱与底面所成角的
3、余弦值为（ ） 3634232蓝天家教网 http:/ 伴您快乐成长http:/8正六棱柱 的底面边长等于侧棱长，则异面直线 与 所11ABCDEF 1ECA成的角为（ ） 25arcos3arcos43arcos4arcos89给出下列四个命题：有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；有两个侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱其中不正确命题的个数为（ ） 10球面上有三个点，其中任意两个点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这三个点的16小圆周长为 ，那么这个球的半径为（ ）4 3232311
4、直线 将圆面 分成若干块，现用种颜色给这若干块涂色，每,xmy4xy块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有 120 种涂法，则 的取值范围是（ ）m (2,)(2,) (,)(,)12已知正方体 的棱长为 ， 为棱 的中点，直线 过 点与异面1ABCD1E1AlE直线 分别相交于 两点，则线段 的长等于（ ）1,MNN 5432二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13三棱柱 的体积为 ， 的面积为 ，则 点到平面 的距离1ABCV1ABCS1B1AC是 14某人制定了一份旅游计划，从 个旅游城市（其中含有 两个城市）中选择 个进7,A5行游览，如果 为必选城市，并且
5、在游览过程中必须按先 后 的次序经过 两个城,ABB,A市（ 两城市可以不相邻） ，则不同的游览方案有 种,15已知 是正四面体 的面 上一点，点 到平面 的距离与到点 的PVCBPCV蓝天家教网 http:/ 伴您快乐成长http:/距离相等，则动点 的轨迹为 P16有下列命题：正方体的任意两条面对角线所成角为 或 ；有公共端点的两条609斜线段与平面所成角相等，则它们在平面内的射影长相等；若直线 不在平面 内，a，则 ；若异面直线 所成角为 ， 为空间一定点，则过 且与,ba,ab5PP都成 的直线有且只有两条其中正确命题的序号是 30三、解答题(本大题 6 小题共 70 分。解答应写出文
6、字说明，证明过程或演算步骤。)17 （本小题满分 10 分） 用数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的四位数.(1)可组成多少个能被 3 整除的四位数?(2)将组成的所有四位数按从小到大的顺序排成一列,问第 个数是什么?818 （本小题满分 12 分）如图，在五面体 中，点 是矩形 的对角线的交点，面 是等边三角ABCDEFOABCDCDE形，棱 /12（1）证明 /平面 ；O（2）设 ，证明 平面 3F19 （本题满分 12 分）如图，已知直三棱柱 1 123,90,2,ABCABACF为 的中点 （）求二面角 的大小1ABF（）求点 到平面 的距离20 （本小题满分 12 分）四
7、棱锥 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 底面 ABCD，已知SABCD SBC， ， ， 4523SA（）证明： ；（）求直线 SD 与平面 SBC 所成角的正弦值SCD AB蓝天家教网 http:/ 伴您快乐成长http:/21 （本小题满分 12 分）如图 1 所示，在边长为 的正方形 中，点 、 在线段 上，且121ABCA，3,4ABC作 ，分别交 于点 、 ，作 ，分别交 于点 、11,1P11,1C，将该正方形沿 折叠，QB使得 与 重合，构成如图1A 2所示的三棱柱 1C（1）在三棱柱中 ，求证： 平面 ；1ABAB1C（2）求平面 将三棱柱 分成上、下两部分几何体的体积之
8、比；PQ1C（3）在三棱柱 中，求直线 与直线 所成角的余弦值1P1Q22 （本小题满分 12 分）某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足： 凳子高度为 ， 30cm三根细钢管相交处的节点 与凳面三角形 重心的连线垂直于凳面和地面. OABC（1）若凳面是边长为 的正三角形，三只凳脚与地面20cm所成的角均为 ，确定节点 分细钢管上下两段的比值45（精确到 ） ；.（2）若凳面是顶角为 的等腰三角形，腰长为 ，120 24cm节点 分细钢管上下两段之比为 . 确定三根细钢管的O:3长度ABCO图
9、2图1PQA1C1QPC1B1CBA1A1A AB CAB1蓝天家教网 http:/ 伴您快乐成长http:/一选择题 CDBAC二、填空题 13 14 15椭圆的一部分 16VS60三、解答题17解：(1)96； 5 分（）2310 10 分18 解：（1）证明：取 CD 中点 M，连结 OM.在矩形 ABCD 中， ，又 ，1/2OBC1/2EF则 ，连结 EM，/MEF于是四边形 EFOM 为平行四边形. /又 平面 CDE，切 EM 平面 CDE，FO平面 CDE 6 分（2）证明：连结 FM，由（）和已知条件，在等边CDE 中，且 .,CDEC312DBCEF因此平行四边形 EFOM
10、 为菱形，从而 EOFM 而 FMCD=M，CD平面 EOM，从而CDEO.而 ，所以 EO平面 CDF. 12 分FM19 解：（法一） （1）过 作 于 ， 是 的中点，又矩形 中，FGABF1AB1AB，故四边形 与 均为正方形，2,AB11 面 ，45,.FGC1为二面角 的平面角 分CABF蓝天家教网 http:/ 伴您快乐成长http:/又 ，二面角 的大小为 分236tanACFABFC6arctn3（）由（）得 面 ，故面 面BF在 中，过 作 于 ，RtP则 就是点 到平面 的距离 10 分P,2235()(ACF即点 到平面 的距离为 . 12 分B5解：(法二) 在直三棱
11、柱 中,分别以 所在直线为 轴建立空间1ACB1,AC,xyz直角坐标系.由已知 可得 .1232,B 23(0,)(2,0)(,)(0,)BF(1) 设平面 的一个法向量 . 是平面 的一个法向量,1A,1m,nxyzC,由 ,可得 ,即23(,0)BC0nBFC023xy3xzy令 ,可得 ,所以 .1z(,1) 15cos,nm即二面角 的大小为 . 6 分ABFC15ars(2) 点 到平面 的距离即在 平面 的法向量 的投影的绝对值,ABCFn即 . 所以点 到平面 的距离为 .12 分25nd 2520 解：（法一） （1）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，SOBC AOSB
12、C AD蓝天家教网 http:/ 伴您快乐成长http:/得 底面 SO ABCD因为 ，所以 ，又 ，故 为等腰直角三角形，O45ABC AOB，由三垂线定理，得 S6分（）由（）知 ，依题设 ，A D故 ，由 ， ，SD 2BC3SA21又 ，作 ，垂足为 ，sin45AOE E则 平面 ，连结 为直线 与平面 所成的角E SBCSD SBC2si 1DA所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 SB1212 分解：（法二） （）作 ，垂足为 ，连结 ，由侧面 底面 ，得OC AOSBC AD平面 因为 ，所以 SO ADSB又 ， 为等腰直角三角形， 45BC B 如图，以 为坐标原点， 为
13、 轴正向，x建立直角坐标系 ，yz因为 ， ，2AOB21SOB又 ，所以 ， ， C(0)， ， (0)， ， (0)C， ， ， ， ，所以 6 分(01)S， ， 21， ， 2， ， SASABC（） ， .(1)DASB， ， (2)O， ，D BC A SOxyzDBCAS OE蓝天家教网 http:/ 伴您快乐成长http:/与 的夹角记为 ， 与平面 所成的角记为 ，因为 为平面 的法向OASDSDABCOASBC量，所以 与 互余 ， ，2cos1O2sin1所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 12 分SBC21 解：（1）证明：因为 ，所以 ，从而有 ，即3,4A5AC2
14、2ACBABC又因为 ，而 ，所以1B1CB平面 ； 4 分（2）因为 ， ，3PA7Q所以 ()()202BCQBCS从而 又因为1133APQPV1147BCBC所以平面 将三棱柱 分成上、下两部分几何体的体积之比为1ABC 8 分V上下 72053（3）如图建立空简直角坐标系，则 ，1(3,0)(,3)(,02)(,47)PAQ所以 设直线 与直线 所成角为 ，则1(,03)(,45APQ 12 分16cos222 解：（1）设 的重心为 ，连结 .ABCHO图2图1PQA1C1QPC1B1CBA1A1A AB CAB1蓝天家教网 http:/ 伴您快乐成长http:/ABCO由题意可得， .203BH设细钢管上下两段之比为 . 已知凳子高度为 . 则 . 3 分1O节点 与凳面三角形 重心的连线与地面垂直，AC且凳面与地面平行.就是 与平面 所成的角，亦即BHB. ， 45O 302,1解得， . 6 分2369即节点 分细钢管上下两段的比值约为 .063（2）设 ， .10,24BABC A设 的重心为 ，则 ， 9 分CH8,7由节点 分细钢管上下两段之比为 ，可知 . O:312OH设过点 的细钢管分别为 ，、 BC、则 ，2502AA， 13BH对应于 三点的三根细钢管长度分别为 、 和BC、 1037cm13c. 12 分1037cm
