1、第 261 页 习题六（A）1.利用定积分定义计算下列定积分：(1) 解： 2840)32(dx(2) 解：e-11e2.不计算积分，比较下列各组积分值的大小：（1） ， 0xd102x解：x(0,1) xx 2 . 10d2x（2） , 1x解： x(1,2) xsinx . 20d20sinx（4） ，10ex102x解： x(0,1), xx2 e x . 210dxe102（5） ，02sind20si解： =- , 02ix02in-ttd令 20six由于 0, 所以 0 解：I= + = - = dxe0ab0x0a)(b0x)( bae)1()(14.求下列极限：(1) 解：
2、= = 1. xtcos02xlim0xlimtdcos20xli1cos2(2) 解： = = 1/220xtdarn20xtarn2xartn0x15.求 （h0）. hx0htcos1li解： = = . hx20hdt 1)1(hxcos)hxcos(220hli2xcos16.求 解： = =x0xt2e)1(2limx0xt2de)(2mx0t2de)1(e2li= = = = 1. 2x0txedxdte)1(02xli12x0xli17.设 ，求 解： = xf(x) - = . dt)(fx1210d)(f10d)(f10xde21e18.讨论函数 在-1,5上的增减性、极值
3、、凹向及拐点。x0t4tF解：F(x) = x(x-4)=0, 解得 x=0,4. F“(x)=2(x-2), F“(0) = -40, 故 x=0 处有极大值 F(0)=0，x=4处有极小值 F(4)= = -32/3, 从 F“(x)=2(x-2)=0 可以解得拐点(2,-16/3)； -1,0)内单增，下凹；40dt)(t(0,2)内单减，下凹；(2,4) 内单减，上凹；(4,5 内单增，上凹。19.求 18 题中函数 在-1,5上的最大值与最小值。x0t)4(t)(F解：比较极大值与端点值得最大值 0，比较极小值与端点值得最小值-32/3. 20.求 c 的值，使 最小。d)c(102
4、2解：令 F(c)= = =xx dx)c2cx2c(10 324题 21(3)图y=2-x2xyy=x2题 21(7)图y=-4xyy=x2-82x+y+8=0-8-42= , F(c)= =0, c=-1/4. F“(c)= 0, 22c3c351 c231c323故 c=-1/4 时 最小。dx)x(102221.求下列各题中平面图形的面积：(1)曲线 （a0）与 x 轴所围成的图形； 解：面积 S= = = . 2ay aydxa2()dxa34(2)曲线 在区间0,1上的曲边梯形；3x解：面积 S= = = 10/3. 10d120()d(3)曲线 与 所围成的图形；2xyx解：面积
5、 S= =4-4/3 =8/312()(4)曲线 与直线 x=0， y=1 所围成的图形；3xy解：面积 S= =1-1/4 =3/410()d(5)在区间0, 上，曲线 y=sinx 与直线 x=0，y=1 所围2成的图形；解：面积 S= = -1. /0(1sinx)d2(6)曲线 与直线 y=x，x=2 所围成的图形；y解：面积 S= =3/2-ln2. ( 1/2+ln2 ? ) 21(/)(7)曲线 与直线 2x+y+8=0,y=-4 所围成的图8xy形；解：面积 S= =48(y(/24)dy= 16/3-12+16=28/3. (8)曲线 在 x 轴上介于两极值点间的曲3xy边梯
6、形；解：从 y=3x2-3=0 解得两个极值点 x=-1,1, 故面积 S= 4d)(13(9)介于抛物线 与圆 之间的三块xy222x图形； 解：如图，两个月牙形的面积分别为S= = - =, d)4(202d4202x0题 21(9)图xyy2=2x20题 21(12)图1xyy=x22y=x+10-1/2-12(注： 4 =. ) dx4202tsin2令 dtcos02/故阴影部分的面积 =4-2S= 4-2( ) = . 38316(10) 曲线 , 与直线 y=1 所围成的图形；2y2解：面积 S=2 =4/3dy)(10(11)曲线 与 所围成的图形；3xy3解：面积 S=2 =
7、2(3/4-1/4) =1. x)(10(12) 抛物线 与直线 所围成的图形及由221y， 与 y=2 所围成的图形。2xy解： 与 所围成的图形面积xS= =1- 1/16 -1/3 -1/24 =9/16. d)21(/由 ,y=2 所围成的面积= = . xydx)2(238故由 , 与 y=2 所围成的图形面积2= -9/16. (答案 ？ ) 3834822.求曲线 与 x 轴围成的图形的面积。2xy3解：所求面积= = d|21= + =)(013 x)2(203=8/3+5/12= 37/1223.求 c(c0)的值，使两曲线 与 所围成的图形的面积为 .2xy3c32解： 与
8、 所围成的图形的面积为 S= = = , c=1/2. 2xy3c dx)c(/102124.将曲线 与 x 轴与 y 轴所围成的区域用曲线 分为面积相等的两部分，其中)10(12 2aya 是大于零的常数，求 a 的值。解： 与 x 轴与 y 轴所围成的区域面积 S= =1-1/3=2/3, )(xy2 dx)1(02与 以及 y-轴围成的面积 S1= = , 令 S1=S/2 可得 a=3. 2a21ax(a/02 a325.求下列平面图形分别绕 x 轴、y 轴旋转产生的旋转体的体积：(1)曲线 与直线 x=1， x=4,y=0 所围成的图形；xy解：绕 x 轴 Vx= = =15/2,
9、绕 y 轴 Vy=42 - +42-12=31- =124/5. d41241 dyx1dy214(2)在区间0, 上，曲线 y=sinx 与直线 x= ，y=0 所围成的图形；2解：绕 x 轴 Vx= = =2/4, y2/1dxsin2/1绕 y 轴 Vy= - = - =2. d0234yarci0( 注： = = -2. ) arcsin102xos2/02(3) 曲线 与直线 x=2, y=0 所围成的图形； 3xy解：绕 x 轴 Vx= = =128/7, d21x216绕 y 轴 Vy=228- =32- = 64/5. y80dy803/2(4)曲线 所围成的两个图形中较小的一
10、块。xx122与解：绕 x 轴 Vx= = + =11/24+9/16=19/48, dy03/10dx)1(2/绕 y 轴 Vy= = - /4- /20=7 /10. y)94(2/32 3326.已知某产品总产量的变化率是时间 4t（单位：年）的函数求第一个五年和第二个五年的总产量各是多少。解：Q(t)=2t 2, 故 Q(5)=50,Q(10)=100. 27.已知某产品生产 x 个单位时，总收益 R 的变化率（边际收益）为 )0(120)( xxR(1) 求生产了 50 个单位时的总收益；解：R(x)= =200x- x2/200, 故 R(50)= 9987.5x0(2/10)d(
11、2) 如果已经生产了 100 个单位，求再生产 100 个单位时的总收益。解：R(200)-R(100)=19850. 28.某产品的总成本 C（万元）的变化率（边际成本） C=1，总收益 R（万元）的变化率（边际收益）为产量 x（百台）的函数 R=R(x)=5-x (1)求产量等于多少时，总利润 L=R-C 最大？ (2)达到利润最大的产量后又生产了 1 百台，总利润减少了多少？(1) 解：C=x, R(x)=5x-x 2/2, L=4x-x2/2, L=0 x= x=4 百台; (2) 解：L=L(5)-L(4) =-0.5, 故利润减少了 0.5 万元。 29.判断下列广义积分的敛散性：
12、(提示：计算出来，然后判断)(1) 解：收敛 0dxe(2) 解：发散1(3) 解：收敛0dxe(4) 解：发散21(5) 解：收敛0xd(6) 解：收敛12(7) 解：发散20)1(xd30.判断广义积分 的敛散性。2034xd解： = +c,故题中广义积分的奇点是 x=1,在 x=1 处 =,故积分发散。2xln1 1x3ln231.当 k 为何值时，广义积分 收敛？又为何值时发散？2)(lkxd解：k1 时 = +c, 故 k1 时 收敛，k1 时发散。kdx(ln)1l2)(lnkxdk=1 时 =ln(lnx)+c, 故 发散。(l)2dx(ln)32计算 与直线 y=0 之间位于第一象限内的平面图形绕 x 轴旋转产生的旋转体的体积。xey解：旋转体的体积 Vx= = . dxe0233计算：(1) )3(427解： = = =30. )3(427!26)3(47(2) )29(解： = = =16/105)(3)21(/)1(2/)/1! )2/1()2/1(/3(3) 04dxe解： =(5)=4!=24. (4) 02xe解： = = (t + )= =02dx021dte212te021dte0241dte= = . 416
