1、第 1 页 共 13 页海珠区 2012 学年高三综合测试（二）数学(文科）本试卷共 6 页，21 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷 上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考
2、生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。参考公式：锥体体积公式 ，其中 s 为锥体的底面积，h 为锥体的高.如果事件 A、B 互斥，那么 .线性回归方程 中系数计算公式其中 表示样本平均值. 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的1. i 是虚数单位，复数 对应的点位于A 第一象限 B 第二象限 c.第二象限 D.第四象限2. 若集合 集合 5 = 6,9，则“ a = 3，是“ ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 已知函数 ，若 ，则A. a
3、l 时，有函数. 的零点个数有 3 个；设有五个函数 ，其中既是偶函数又在 上是增函数的有 2 个.其中真命题的个数是A l 个 B.2 个 C. 3 个 Z). 4 个第 3 页 共 13 页二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.（一）必做题（1113 题）11. 公路部门对通过某路段的 300 辆汽车的车速进 行检测，将所得数据按40,50), 50,60)，60,70)， 70,80分组，绘制成如图 3 所示的频率分布直 方图.图示中 a 的值等于_；这 300 辆汽车中车速低于的汽车有_辆.12. 某程序框图如图 4 所示，该程序运行后输出
4、 M, N 的值依次为_.713. 对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂有如下分解方式 ：根据上述分解规律，则 的分解中最小的数为 73， 则 m 的值为_.（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题14. (坐标系与参数方程选做题 )在极坐标系中，点 J 的坐 标为 ，曲线 c 的方程为，则 04 (O为极点）所在直线被曲线 C 所截弦的长 度为_.15. (几何证明选讲选做题)如图 5 所示， 过圆 c 外一点 P 做一条 直线与圆 C 交于 A,B 两点， AB - 2AP ,PT 与圆 C 相切于 T 点.已知圆 c 的半径为 2， ，则PT=_.三、解答题：本大题共
5、6 小题，满分 80 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤.16. (本小题满分 12 分）已知函数第 4 页 共 13 页(1)求 f(X)的最小正周期；(2)求函数 f(X)在区间 上的最大值和最小值,并求此时 X 的值.17. (本小题满分 12 分）一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验,收 集数据如下：(1) 在 5 次试验中任取 2 次，记加工时间分别为 a,b 求事件 a,b 均小于 80 分钟”的概 率；(2) 请根据第二次，第二次，第四次试验的数据，求出 y 关于 X 的线性回归方程(3) 根据(2)得到的线性回归方程预测加工
6、70 个零件所需要的时间.18. (本小题满分 14 分）如图 6，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 丄平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，点 O 是对角线 AC 与 BD的交点,M 是 PD 的中点,AB= 2, ：(1) 求证：OM/平面 PAB;(2) 平面 PBD 丄平面 PAC;(3) 当四棱锥 P-ABCD 的体积等于. 时,求 PB 的长.第 5 页 共 13 页19. (本小题满分 14 分）设椭圆 的左、右顶点分别为 A、B,点 P 在椭圆上且异于 A、B 两点，O 为坐标原点.(1) 若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ，求椭圆的离心率；(2)对于由（1)得到的椭圆
7、C，过点 p 的直线 l 交 X 轴于点-1 ,0)，交 y 轴于点 M，若 ，求直线 l 的斜率.20. (本小题满分 14 分） 已知函数丨(1)若 a= 1,求曲线_ 在点 处的切线方程；(2) 若 f(X)在的最小值为 ，求 a 的值；(3) 若 在 上恒成立，求 a 的取值范围.第 6 页 共 13 页21. (本小题满分 14 分）已知点 都在函数 的图象上.(1) 若数列 是等差数列，求证数列 是等比数列；(2) 若数列 的前项和是 ，过点 的直线与两坐标轴所围二角 形面积为 ，求最小的实数 t 使 恒成立；(3) 若数列 为山（2)中 得到的数列，在 与 之间插入 个 3， 得
8、一新数列，问是杏存在这样的正整数 w，使数列 的前 m 项的和，如果存在，求出 m 的值，如果不存在，请说明理由海珠区 2012 学年高三综合测试(二)文科数学参考答案与评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，
9、表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B A C C B D D A A C二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 20 分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题11. 025.,18 12. 34, 55 13. 9; 14. 2 15. 3第 7 页 共 13 页(第 11 题第一空 2分,第二空 3分)三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16.(本小题满分 12 分)（本小题主
10、要考查三角两角和的正余弦公式,三角特殊值的运算,函数 xAxfAxf cossin或的周期,最值等知识,考查化归、转化、换元的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1） cos2s2sinco66f xin62cosxxicoxxcsi22 分32sixcoin3 分x2si1234 分in3cosin5 分2ix6 分f的最小正周期为 2T 7 分(2)由(1)知 xf3sinx,由 3,得 2, 8 分当 2x,即 1x时, fx取得最大值 2; 10 分当 ,即 时, 取得最小值 3.12 分17.( 本小题满分 12 分)（本小题主要考查考查互斥事件、古典概型、线性回归,样本估计总体等
11、知识，考查或然与必然,样本估计总体的统计思想方法，以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识）解:(1) ba,构成的基本事件 ba,有: 89,60,5,689206,752.6 ,07589,共有10个 2 分第 8 页 共 13 页MOPDCBA其中“ ba,均小于 80 分钟”的有 75,6,27.6共 3个. 3 分事件 “ 均小于 80 分钟”的概率为 103. 4 分(2) 3042031x， 5 分67587y6 分2223043074875b2013. 8 分9 分y关于 x的线性回归方程y1354.20x10 分（3）由(2)知 关于 的线性回归方程为y.5x,当 70x时,
12、 105.47213y. 11 分预测加工 个零件需要 分钟的时间. 12 分18.（本小题满分 14 分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）解:(1) 在 PBD中， O、 M分别是 BD、 的中点,OM是 的中位线，/， 1 分平面 ， 平面 P，3 分/平面 PAB. 4 分(2) 底面 CD是菱形,， 5 分PA平面 B, 平面 ABCD. 6 分C平面 , 平面 P, ,7 分BD平面 A, 8 分平面 , 9 分第 9 页 共 13 页平面 PBD平面 AC. 10 分(3) 底面
13、 是菱形, ,60,2BD菱形的面积为 32sin210ASABCD菱 形 ,11 分四棱锥 P的高为 P,32P,得 A 12 分平面 , 平面 BCD,AB. 13 分在 PRt中, 25322A. 14 分19.(本小题 14 分)（本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力）解:(1) 由已知 0,aBA,设 axyP0,. 1 分则直线 P的斜率 xykP0,直线 B的斜率 aAP0.由 120yax,得 2020x. 2 分APkaxy0 220200 axaxy3 分21a,得 4, 4
14、 分42e. 5 分椭圆的离心率 2e. 6 分(2) 由题意知直线 l的斜率存在. 7 分设直线 l 的斜率为 k , 直线 l的方程为 1xky 8 分则有 M,0，第 10 页 共 13 页设 axyP0,，由于 QMP,三点共线，且 PQ2根据题意，得 012, yxk 9 分解得 kyx02或 30yx11 分又点 P在椭圆上，又由（1）知椭圆 C的方程为 124yx所以 124k或 3由解得 02k，即 ,此时点 P与椭圆左端点 A重合, 0k舍去; 12 分由解得 162，即 4k 13 分直线直线 l的斜率 . 14 分20. (本小题满分 14 分)（本小题主要考查导数、不等
15、式、函数的单调性、最值等知识，考查化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力）解:(1)当 1a时, ,1lnxf 2 xf. 1 分1ln2 f曲线 xfy在点 ,处的切线方程为 12xy,即 32xy. 3 分(2) 2 a. 4 分若 1,则 0x,即 xf在 e,1上恒成立,此时 xf在 e,上为增函数, 5 分23minaff,第 11 页 共 13 页23a(舍去); 6 分若 e,则 0ax,即 xf在 e,1上恒成立,此时 xf在 e,1上为减函数, 7 分231mineff,2ea(舍去); 8 分若 ,令 0xf得 a,当 ex时,
16、,f在 e上为增函数,当 a1时, f, x在 ,1上为减函数, 9 分23lnminaxf, e. 综上所述, a. 10 分（3） ,ln,22xaxf又 .ln,03xa 11 分令 l3g则 ,l12 xghxxh2 61. 12 分当 ,时, 0h, x在 ,1上是减函数.21xh,即 g,在 ,上也是减函数.g, 13 分当 a时, 2xf 在 ,1上恒成立. 14 分21.(本小题满分 14 分)（本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）解:（1
17、）证明：数列 nb是等差数列，设公差为 d，则 1nbd对 *nN恒成立， 1 分依题意 2lognnba， ()nb， 2 分第 12 页 共 13 页所以 11()()2nbdna是定值， 3 分从而数列 n是等比数列 4 分（2）解：当 1时， 2a，当 n时， 1()2nnnaS， 1也适合此式，即数列 na的通项公式是 ()n 5 分由 12logb，数列 n的通项公式是 nb， 6 分所以 (,)P， 1(,)过这两点的直线方程是： 12()nxyn，可得与坐标轴的交点是 1,02nA和 (,)nB 7 分1()2nnncOB， 8 分由于2222133()()()()nnnn310n9 分即数列 nc的各项依次单调递减，所以 198tc 10 分（3）数列 d中， kb（含 k项）前的所有项的和是121(12)(3) 32k 11 分估算知，当 7k时，其和是73808， 12 分当 8时，其和是 361522，又因为 201893，是 3 的倍数，故存在这样的 m，使得 208S， 13 分此时 257(3)67m 14 分第 13 页 共 13 页
