1、 常微分方程课程总结理学院数学 091 班组长：杨文蛟（学号: 200912010129）组员：倪宝珠 （200912010123）王向魁 （200912010126）杨历 （200912010128）党浩 （200912010117）2011/6/5常微分方程课程总结第一章 绪论1.2 微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。 ,dyaxyypxyQxdx为 常 数偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。 2,224ufxyxyuyx（2）线性与非线性一般 n 阶线性微分方程
2、具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)1()().nnnyaxaxyfx（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.隐式解：（x,y）=0（4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.）特解： 确定了通解中任意常数以后的解.初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。第二章 一阶微分方程的初等解法2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程 )(yxfdcdxfy)()(2.1.2、可化为变量分离方程的
3、类型 1.形如 ，称为齐次微分方程，令 u ,即 yux，于是 ，代入原方程，变形为)(xgxdxyux （ ） ，整理得 dxugdxug)(2.形如 的方程也可经变量变换化为变量分离方程2211cbaxy（1） ，方程化为 ，有通解常 数 ）(212kcbadxykckxy（2） 情形，令 u ，这时有 是分离变量方程2121ba21duba2212cuk（3） 情形，若 不全为零，方程右端分子、分母都是 x、y 的一次多项式，因此 0，21ba21c、 11cxba0，交点（ ，令 X ，Y ，化为 ， 。则原方程变2cyx),xy01YbXa2YX形为 dXYba21(Yg2.2 线性
4、微分方程与常数变易法（1）一阶线性微分方程 ，其中 在区间上是 x 的连续函数。若 0，则变为)()(xQyPdx)(xQP， )(xQ，称为一阶齐次线性微分方程，若 ，则称为一阶非齐次线性微分方程。)(x0（2） 是变量分离方程，解为 （c 是任意常数） 。yxPd)(dxPey)(（3）常数变异法，令 ，微分之，得到dxPec)(代入原方程得到新方程，解得 dxPdxPece)()(Qxc)()(得到通解 cdxeeyPdP)(（4）伯努利微分方程 nyxdx)(令 ，从而 ，均代入原方程得到nyz1ynz)(,这是线性微分方程。)(1)(1xQnzxPx2.3 恰当微分方程与积分因子2.
5、3.1 恰当微分方程（1）简单二元函数的全微分： )(xydyx)(2yxdyx2xx)(lnydy)arct(l2yxxd)(ln12xdy2.3.2 积分因子，积分因子 。)(xNyMdxe)(2.4 一阶隐式微分方程与参数表示（1）形如 ，),(dxyf引入参数 ，原方程变为 ，两边对 求导，并以 代入，得到 ，这是关于p),(pxfxpdxydxypf的一阶微分方程x,（2）形如 ，),(dxyf引入参数 ，原方程变为 ，两边对 y 求导，并以 代入，得到 ，这是关于p),(pxfpdyx1dypfp1的一阶微分方程，设求得通解为 ，则方程通解为y, 0),(cy0),(cf（3）形如
6、 F（ 0 ),yx（4）形如 F（ctdtty dttytptxtpx 2332 32323)1(4)1(9 ,)1(9d,1, 积 分 之 ， 得 到于 是从 而则 由 方 程 得解 ： 令0),第三章 一阶微分方程解的存在定理3.1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法1存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程（3.1）),(yxfd这里 是在矩形域： （3.2）),(yxf 00:|Rab上连续。 定理 1：如果函数 满足以下条件：1）在 上连续：2）在 上关于变量 满足李普希兹（Lipschitz）条件，),(yxf RRy即存在常数 ，使对于 上任何一对点 ， 均有不等式 成立，则方
7、程0L1(,)xy(,)1212(,)(,)fxfLy（3.1）存在唯一的解 ，在区间 上连续，而且满足初始条件()yx0|h（3.3）0y其中 , 称为 Lipschitz 常数.,min(,)a()xyRbhaMfL思路：1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程0(,)xfd的连续解。2） 构造近似解函数列 ()n任取一个连续函数 ，使得 ，替代上述积分方程右端的0x0|()|xyb，得到y01()(,)xyfd如果 ，那么 是积分方程的解，否则，又用 替代积分方程右端的 ，得到10()x 1()xy021()(,)xyfx如果 ，那么 是积分方程的解，否则，继续进行，得到21()x
8、1（3.4）01()(,)xnnyfdx于是得到函数序列 .x3） 函数序列 在区间 上一致收敛于 ，即()n0,hx()xlim()n存在，对(3.4)取极限,得到001li()li(,) = xn nnxyfdx即 .0()(,)xyfd4) 是积分方程 在 上的连续解.0(,)xyfy0,xh命题 1 设 是方程(3.1)定义于区间 上,满足初始条件()yx00xh（3.3）0()y的解,则 是积分方程()yx(3.5)0(,)xyfyd00xh的定义于 上的连续解.反之亦然.00xh命题 2 对于所有的 ， （3.6）中的函数 在 上有定义，连续且满足不等式n()nx00x（3.6）0
9、|()|xyb命题 3 函数序列 在 上是一致收敛的.nxh记 ,lim()nx00x命题 4 是积分方程(3.5)的定义在 上的连续解.00x命题 5 设 是积分方程(3.5)的定义在 上的一个连续解,则 , .()xh()x00xh1、近似计算和误差估计求方程近似解的方法Picard 的逐次逼近法00100()(,) xnnyfdxh对方程的第 次近似解 和真正解 在 内的误差估计式)n 0|（3.7）1|(|()!nnMLxh例 1 讨论初值问题, 2dyx(0)y解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过 0.05 的近似解,其中, .:1,1Rxy解 ,由于 ,根据误差估
10、计式(3.16)(,) 1ma|,|21,min,2xyR bMfabhaM |2fyL1|(| 0.5)!()!nnL可知 .于是30()x32100()xd372210()()6xxd37115230()()2093x x就是所求的近似解,在区间 上,这个解与真正解得误差不超过 0.05.3()x1x3.2 解的延拓2、局部利普希茨条件定义 2 若函数 在区域 内连续，且对 内每一点 ，都存在以 点为中心，完全含在 内的闭矩形域),(yxfGPG，使得在 上 关于 满足利普希茨条件（对于不同的点，闭矩形域 的大小和利普希茨常数 可能不pRp pRL同） ，则称 在 上关于 满足局部利普希茨
11、条件.),(yxfy定理 3 （延拓定理）如果方程 的右端函数 在（有界或无界）区域 上连续，且在关于),(yxfd),(yxf 2GR满足局部利普希茨条件，则对任意一点 ，方程 以 为初值的解 均可以向左右y 0Gd),(0yx)(x延展，直到点 任意接近区域 的边界.(,)x以向 增大的一方来说，如果 只能延拓到区间上，则当 时， 趋于区域 的边界。()yxxm(,)xG推论 1 对定义在平面区域 上的初值问题G其中)(,0xyfd0(,)xyG若 在区域 内连续且关于 满足局部 Lipschtiz 条件,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.),(yxf推论 3 如果 是无界区域,在上面解
12、的延拓定理的条件下,方程(3.1)通过 点的解 可以延拓,以向 增G 0(,)xy()xx大(减小)一方的延拓来说,有以下两种情况:(1) 解 可以延拓到区间 (或 )；()yx0,)x0,x(2) 解 只可延拓到区间 (或 )，其中为有限数，则当 时，或者 无界,或者mxm()yx点 .(,)xG例 1 讨论方程 分别通过点 和点 的解的存在区间.21dy(0,)(ln2,3)解 此方程右端函数 在整个 平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.易知方程2(,)yfxxy的通解为1xcey故通过点 的解为 ,这个解的存在区间为 ；(0,)(1)/xxyex通过点 的解为 ,这个解的存
13、在区间为ln23()0(如图所示).注意, 过点 的解为 向右方可以延拓到(ln2,3)1/()xxye,但向左方只能延拓到 ,因为当 时, .00x例 2 讨论方程 过 点的解的存在区间.1lndyx(,0)解 方程右端函数 在右半平面 上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.区域1lnfyx0x(右半平面)是无界开域， 轴是它的边界.G易知问题的解为 ,它于区间 上有定义、连续且当 时, ,即所求问题的解向右方lnyx0x0xy可以延拓到 ,但向左方只能延拓到 ,且当 时积分曲线上的点 趋向于区域 的边界上的点.(,)yG3.3 解对初值的连续性和可微性定理1、解关于初值的对称性设方
14、程(3.1)满足初始条件 的解是唯一的,记为 ,则在此关系式中, 与 可以0()yx),(0yxy(,)xy0,)调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式0(,)证明 在方程(3.1)满足初始条件 的解的存在区间内任取一点 ,显然 ,则由解的唯一性0yx1x10(,)yxy知,过点 的解与过点 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为1(,)xy0()1yx并且,有 .又由 是积分曲线上的任一点,因此关系式 对该积分曲线上的任意点均01(,)yx() 0(,)yxy成立.2、 解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比
15、较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就0(,)xy是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数 于某域 内连续，且关于 满足 Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为 ） ，则对方程（3.1）的(,)fxyDy L任意两个解 及 ，在它们公共存在的区间内成立着不等式()（3.17）0|00|()|()Lxxxe其中 为所考虑区域内的某一值.0x证明 设 , 于区间 上均有定义,令()xaxb2()V则 ()()(,)(,)xxffx 于是 |2| |2()LVx2()(
16、)0LxLxVee 从而 2d所以,对 ,有0xab02()0(),LxVeb对于区间 ,令 ,并记 ,则方程(3.1)变为0xt0t(,)dyf而且已知它有解 和 .)tt类似可得 02()0(),LxVxeax因此, 2|0 0,LVbax两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设 在区域 内连续，且关于 满足局部李普希兹条件，如果 ，初值问题 有解),(yxfGy0(,)xyG)(,0xyfd，它于区间 上有定义( ),则对任意 ， ，使得当0(,)ybxa0axb(,ab时,方程(3.1)满足条件 的解 在区间 上也有定义，并且2
17、20xy()y0(,)yxx有.00(,)(,),xyxaxb证明 记积分曲线段 是 平面上一个有界闭集.:(Sy第一步:找区域 ,使 ,而且 在 上关于 满足 Lipschitz 条件.DS(,)fxyDy由已知条件,对 ,存在以它为中心的开圆 ,使 在其内关于 满足 Lipschitz 条件.因此,根()xy,CG(,)fxyy据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆 (不同的 ,其半径 和 Lipschitz 常数 的大小可(12iN iCiriL能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段 ,令 ,则 ,对 ,记S1NiS0,则以 上的点为中心,以 为半径的圆的全体及其边界构成包含1
18、(,)min(,2)ax(,)NdGSL 的有界闭域 ,且 在 上关于 满足 Lipschitz 条件, Lipschitz 常数为 .D,fyDy L第二步:证明 ，使得当 时,解 在区间()0()b2200()()xy0(),)yxy上也有定义.axb由于 是一个有界闭域,且 在其内关于 满足 Lipschitz 条件,由解的延拓定理可知, 解(,)fxyy必能延拓到区域 的边界上.设它在 的边界上的点为 和 , ,这时必有0(),)yxyD(,)c(,)dcd.否则设 ,由引理有,cadbcadb0|00|()|(),Lxxxecd利用 的连续性,对 ,必有 存在,使当 时有 ,取 ,(
19、)()12Lbae202|x01|()|x12min()则当 时就有200()xy(3.18)0 02|200 2|0|20211|()|( (|)|()|( |LxLxxeey()()2|4 )LbaLbaeecxd于是对一切 成立,特别地有,|xcdx,|()|c|()|即点 和 均落在域 的内部,这与假设矛盾,故解 在区间 上有定义.(,)c,D()yx,ab第三步 证明 .|()|xaxb在不等式（3.18）中将区间 换成 ，可知当,cd,时，就有2200()()xy.00,(,),xyxyaxb根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续性定理若函数 在区域
20、 内连续，且关于 满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解 作为),(yxfGy 0(,)yx的函数在它的存在范围内是连续的.0,x证明 对 ,方程(3.1)过 的饱和解 定义于 上,令0(,)xy0(,)xy0(,)yx00(,)()xyxy0 00|(),()V G下证 在 上连续.(,)yx对 , ,使解 在 上有定义,其中 .0ab0(,)yxab0,xab对 ,使得当 时,1,2201()0(),xyxyx又 在 上对 连续,故 ,使得当 时有,yab202|x00(,)(),xyxyxab取 ,则只要 就有12min()2220()y0000(,)|(,)|(,)(,)|2xy
21、xyxx从而得知 在 上连续.0(,)yxV3.4 奇 解包络: 设方程的通解的积分曲线族为 ，如果有一条曲线，在这曲线上各个点与积分曲线族中各个不同的曲线相切，就称这曲线为该曲线族的包络显然这包络就是奇解的积分曲线另一方面，若一曲线是一奇解的积分曲线，则按照奇解的定义，在这曲线上的每一点至少与另一条积分曲线相切，所以这曲线是积分曲线的包络包络的求法: 对于固定的任意常数 c, 对积分曲线 的两边求微分得积分曲线应满足微分方程,而在包络上 c 是 t 和 x 的函数 , 设包络方程为 对两边求微分得包络应满足的微分方程,比较所得的两个微分方程得由于包络上 c 不是常数, , 所以应有 因此,
22、我们得到包络必须满足的联立方程组(称为 c 判别式),第四章 高阶微分方程4.1 线性微分方程的一般理论4.1.1 引言 阶线性微分方程n（4.1）11()()()nnndxxdxatattftt其中 及 都是区间 上的连续函数,2i fttb如果 ，则方程（4.1）变为： （4.2）()0ft11()()()0nnnndxxdxatattt称它为 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程n（4.1）的齐次线性方程。定理 1 如果 及 都是区间 上的连续函数，则对于任一 ()1,2)iatn (ftatb0,tab，方程（4.1）存
23、在唯一解 ，定义于区间 上，且满足初始条件：()(1)00,nxx x（4.3）1(1) (1)000(),nndtdttx4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构定理 2（叠加原理）如果 是方程（4.2）的 个解，则它们的线性组合12(),()ktt k也是（4.2）的解，这里 是任意常数。特别地，当 时，即方程（4.2）有1()kcxttcx 12,kc kn解： （4.4）12()()ntt它含有 个任意常数。n设 是定义在区间 上的函数，如果存在不全为零的常数 ，使得恒等式：12(),()kxtxt atb12,kc()0kcct对于所有 都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在
24、所给区间上线性无关,即当且仅当tab时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。120kcc由此定义不难推出如下的两个结论：1)在函数组 中如果有一个函数为零，则 在 上线性相关.ny,21 ny,21),(ba2)如果两个函数 之比 在 有定义，则它们在 上线性无关等价于比式 在 上不恒等于常数.21,1),(ba, 21y),(ba定理 3 若函数 在区间 上线性相关，则在 上它们的伏朗斯基行列式 。12(),()nxtxt atb,ab()0Wt推论 1 如果函数组 的朗斯基行列式 在区间 上某一点 处不等于零，即 ，12,n ()Wt0xx则该函数组在 上线性无关.,ab但
25、是，如果 是齐线性方程（ 4.2）的解，那么就有下面的定理：12(),()nxttxt定理 4 如果方程（4.2）的解 在区间 上线性无关，则12(),()nxttxt atb在这个区间的任何点上都不等于零，即 。12(),()nWxttxt 0W)推论 2 设 是方程（4.2）定义在 上的 个解，如果存在 ，使得它的朗斯基行12), ,ab0,x列式 , 则该解组在 上线性相关.0)(xab推论 3 方程（4.2）的 个解 在其定义区间 上线性无关的充要条件是，存在 ，n12(),()nxtxt , 0,xab使得它的朗斯基行列式 .0)(W定理 5 阶齐线性方程（4.2）一定存在 个线性无
26、关的解。n定理 6（通解结构定理） 如果 是方程（4.2）的 个线性无关的解，则方程（4.2）的通12(),()nxttxt n解可表为： （4.5）12()nxctc其中， 是任意常数，且通解（4.5）包括了方程（4.2）的所有解。12,n4.1.3 非齐线性方程与常数变易法性质 1 如果 是方程（4.1）的解，而 是方程（4.2）的解，则 也是方程（4.1）的解。()xt ()xt ()xt性质 2 方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解。定理 7 设 为方程（4.2）的基本解组，而 是方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解可表为：12(),()ntxt ()t（4.
27、6）()nxcctxt其中 为任意常数。而且这个通解（4.6）包括了方程（4.1）的所有解。12,n现在我们引进线性方程的复值解的定义。定义于区间 上的实变量复值函数 称为方程（4.1）的复atb()xzt值解，如果： 111()()()()nnnnztztzattzftddd对于 恒成立。atb定理 8 如果方程（4.2）中所有系数 都是实值函数，而 是方程的复值解，则(),2)iat ()()xztit的实部 、虚部 和共轭复值函数 也都是方程（4.2）的解。()zt()t()tz定理 9 若方程 有复值解 ，这里11()()()()nnnnxxxatattutivdd ()xUtiV及
28、， 都是实函数，那么这个解的实部 和虚部 分别是方程()1,2)iatn (ut)v ()Ut()Vt11()()nnnnxxxatattutdd和 的解。11()()()nnnntttvt4.2 常系数线性方程的解法4.2.2 常系数齐线性方程和欧拉方程设齐线性方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状（4.7）110nnnnxxLaaddttt其中 为常数,称（4.7）为 阶常系数齐线性方程。12,na其指数函数形式的解为： （4.8）txe（4.8）为方程（4.7）的解的充要条件是：是代数方程： （4.9）11() 0nnFaa的根。1）特征根是单根的情形设 是特征方程（4.9）的 个彼此
29、不相等的根，则相应地方程（4.7）有如下 个解：12,n n，且这 个解在区间 上线性无关，从而组成方程的基本解组。,tttee atb2）特征根有重根的情形设特征方程有 重根 ，先设 ，即特征方程有因子 ，于是：k110k110nnkaa易见它有 个解 ，而且它们是线性无关的（见 4.1.2） 。21,ktt4.2.3 非齐线性方程比较系数法与拉普拉斯变换法现在讨论常系数非齐线性方程： （4.10）11()nnnnxxLaaftddttt的求解问题，这里 是常数，而 为连续函数。12,na ()f（一）比较系数法类型设 ，其中 及 为实常数，那么方程（4.10）有形如：101()mtmftb
30、tbte (1,2)ibn的特解，其中 为特征方程 的根 的重数（单根相当于 ；当1k txBB k(0F1k不是特征根时，取 ） ，而 是待定的常数。k01,m类型设 ，其中 ， 为常数，而 ， 是带实系数的 的多项式，其中一个的次()cos()sintftAtte()AtBt数为 ，而另一个的次数不超过 ，那么我们有如下结论：方程（4.10）有形如m()cos()sink txtPtQe的特解，这里 为特征方程 的根 的重数，而 ， 均为待定的带实系数的次数不高于 的 的多0F()PtQmt项式，可以通过比较系数的方法来确定。附注：类型的特殊情形： 或()costftAe()sintftB
31、e可用另一更简便的方法所谓复数法求解。（二）拉普拉斯变换法常系数线性微分方程（组）还可以应用拉普拉斯变换法进行求解，由积分： 0()()stFefd所定义的确定与复平面（ ）上的复变数 的函数 ，称为函数 的拉普拉斯变换，其中 于 有Ress()Fsft ft0定义，且满足不等式： ，这里 ， 为某两个正常数。()tftM4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法4.3.1 可降阶的一些方程类型阶微分方程一般地可写为： n ()(,0nFtx共有三类特殊方程的降阶问题：1）方程不显含未知函数 ，或更一般地，设方程不含 ，即方程呈形状： x (1),kx（4.11）()1)(),0knFt 1)kn若令
32、 ，即可求出方程（4.11）的通解。()kxy2）不显含自变量 的方程： （4.12）t ()(,0nFx只需令 ，并以它为新未知函数，而视 为新自变量，则方程就可降低一阶。xy3）齐线性方程： （4.2）11()()()0nnnndxxdxatattt4.3.2 二阶线性方程的幂级数解法考虑二阶齐线性方程： （4.13）2()()0ypxqyd及初始条件 及 的情况。0()yx0()x定理 10 若方程（4.13）中系数 和 都能展开成 的幂级数，且收敛区间为 ，则方程（4.13）有形如：p()qxxxR的特解，也以 为级数的收敛区间。0nyaxxR定理 11 若方程（4.13）中系数 ，
33、具有这样的性质，即 和 均能展成 的幂级数，且收敛区间为()pqx()xp2()qx，则方程（4.13）有形如：xR0nya即： 的特解，这里 ， 是一个待定的常数。级数（4.14）也以 为收敛区间。0nnyax0axR第五章 线性微分方程组5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义（5.1）112112 2212()()()()()()()()nnnnnxattxatxfttttft 的一阶线性微分方程组，其中已知函数 和 在区间 上上是连续的。方程,1,ija (1,2)ifn atb组（5.1）关于 及 是线性的.12,nx 12,nx（5.2）12122()()()()()nnnnt
34、ttaaAtttt 这里 是 矩阵，它的元素是 个函数 .()tn2,1,)ij（5.3）12()()nftftft12nx2n这里 ， ， 是 矩阵或 维列向量。()ftx1方程组：（5.4）()xAtft在某区间 （这里 ）的解就是向量 ，它的导数 在区间 上连续且满足t,ab()ut()utt，()()uttf初值问题, （5.5）()xAtft0()x的解就是方程组（5.4）在包含 的区间 上的解 ，使得 。0()ut0()t5.1.2 存在唯一性定理， （5.6）()xAtft0()x的解的存在唯一性定理。对于 矩阵 和 维向量 ，我们定义它的范数为nijnAa12nx,1niji1
35、ix设 是 矩阵， ， 是 维向量，这时容易验证下面两个性质：,ABnxy） Ax） By向量序列 ， ，称为收敛的，如果对每一个 数列 都是收敛的。kx12knkx (1,2)in ikx判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也是成立的，这就是说，如果，()kkxtMatb而级数 是收敛的，则 在区间 上是一致收敛的。1kM1ktt积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列 在区间 上是一致()kxtatb收敛的，则 lim()li()bbkkaakxtdxtd定理（存在唯一性定理）如果 是 矩阵。 是 维列向量，它们都在区间 上连续，则对于区
36、间Anfnatb上的任何数 及任一常数向量atb0t12n方程组（5.7）()xAtft存在唯一解 ，定义于整个区间 上，且满足初始条件()tab。0()t类似于第三章，我们分成五个小命题来证明.命题 设 是方程组（.）的定义与区间 上且满足初始条件 的解，则 是积分方程()tatb0()t()t， （5.8）0()()()txtAsxfsdt的定义于 上的连续解，反之亦然。atb命题 对于所有的正整数 ，向量函数 在区间 上有定义且连续。k()ktatb命题 向量函数序列 在区间 上是一致收敛的。()ktab命题 是积分方程（5.8）的定义在区间 上的连续解。()t t命题 设 是积分方程（
37、5.8）的定义于 上的一个连续解，则 （ ） 。 ()tatb5. 线性微分方程组的一般理论现在讨论线性微分方程组（5.9）()xAtft的一般理论，主要是研究它的解的结构问题。如果 ，则（5.9）称为非齐线性的。()0ft如果 ，则方程的形式为（5.10）()xAt称（5.10）为齐线性方程组，通常（5.10）称为对应于（5.9）的齐线性方程组。.齐线性微分方程组定理（叠加原理）如果 和 是（5.10）的解，则它们的线性组合 也是（5.10）的解，这里 ，()utv ()utvt是任意常数。定理 如果向量函数 在区间 上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式 ，12(),()nxtxt atb (
38、)0Wt。atb定理 如果（5.10）的解 线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式 ， 。12(),()ntt ()tatb定理 （5.10）一定存在 个线性无关的解 .n12(),()nxtxt定理 如果 是（5.10）的 个线性无关的解，则（5.10）的任一解 均可表为12(),()xtxt ()xt12()nccxt这里 是相应的确定常数。12,nc定理 （5.15）一定存在一个基解矩阵 。如果 是（5.15）的任一解，那么*()t()t（5.22）()tc这里 是确定的 维常数列向量。cn定理 （5.15）的一个解矩阵 是基解矩阵的充要条件是 （ ） 。而且，如果对某一个2*()t de
39、t()0atb， ，则 ， 。 （ 表示矩阵 的行列式） 。0,tab0det()de0atb()要注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。推论 如果 是（5.10）在区间 上的基解矩阵， 是非奇异 常数矩阵，那么， 也是（5.10）1*()tatbCn()tC在区间 上的基解矩阵。ab推论 如果 ， 在区间 上是 的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异 常数矩阵 ，2()tt()xAt n使得在区间 上 。()tC5.2.2 非齐线性微分方程组本段讨论非齐线性微分方程组（5.11）()xAtft性质 1 如果 是（5.11）的解， 是（5.11）对应的齐线性方程组（5.10）的解，
40、则 是（5.11）的解。()()t性质 2 如果 和 是（5.11）的两个解，则 是（5.10）的解。()t ()t定理 7 设 是（5.10）的基解矩阵， 是（5.11）的某一解，则（5.14）的任一解 都可表为 ()t（5.12）()()tct这里 是确定的常数列向量。c()()tt常数变易法：由定理 可知,如果 是常数列向量，则 是（5.11）的解，它不可能是（5.10）的解。因此，将 变易1*c()tcc为 的向量函数，而试图寻求（5.10）的形如t（5.13）()()tct的解。这里 是待定的向量函数。()ct假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.1
41、4）得到()()()()ttcAtctf因为 是（5.15）的基解矩阵，所以 ，由此上式中含有 的项消去了。因而 必须满t ()Atct()ct足关系式 （5.14）()()tcft因为在区间 上 是非奇异的，所以 存在。用 左乘（5.14）两边，得到ab1()t1()t，01()()tcsfd0,tab其中 。这样， （5.13）变为0()t， （5.15）01()()ttsf0,t因此，如果（5.10）有一个形如（5.13）的解 ，则 由公式（5.15）决定。()()t反之，用公式（5.15）决定的向量函数 必定是（5.10）的解。事实上，微分（5.15）得到t0011()()()()tt
42、tsfdtftAf再利用公式（5.15） ，即得 ()()ttf显然，还有 .0例 2 1tex12x(0)解 在例 1 中我们已经知道 ()tte是对应的齐线性方程组的基解矩阵。取矩阵 的逆，我们得到：()t1210()s sset e 这样，由定理，满足初始条件 (0)的解就是 20 021() 0()()0tt sttssttttteeedde 因为 ，对应的齐线性方程组满足初始条件()E1(0)h的解就是 ()()1th et由公式，所求解就是 1()()()()220tttttth teette5.3 常系数线性微分方程齐线性微分方程组（5.16）xA的基解矩阵的结构，这里 是 常数
43、矩阵n5.3.1 矩阵指数 的定义和性质expA如果 是一个 常数矩阵，我们定义矩阵指数 : AnexpA（5.17）20exp!k mAeE 其中 为 阶单位矩阵， 是矩阵 的 次幂。这里我们规定 ， 。Enm 0AE!1矩阵指数 有如下性质：exp如果矩阵 ， 是可交换的，即 ，则1ABAB（5.18）()exp对于任何矩阵 ， 存在，且2 1()（5.19）1(exp)A如果 是非奇异矩阵，则3T（5.20）11e()()expT定理 9 矩阵（5.21）()tAt是的基解矩阵，且 .0E例 1 试求 的基解矩阵。21x解 因为 ，而且后面的两个矩阵是可交换的，我们得到012A22exp
44、exp001!ttttEt但是， 2010所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是 2exp01tA假设 是一个 常数矩阵，使得关于 的线性代数方程组nu（5.22）()E具有非零解的常数 称为 的一个特征值。 （5.45）的对应于任一特征值 的非零解 称为 的对应于特征值 的特征AuA向量。次多项式n()det)pE称为 的特征多项式， 次代数方程An（5.23）()0称为 的特征方程。定理 10 如果矩阵 具有 个线性无关的特征向量 ，它们对应的特征值分别为 （不必各不相同） ，n12,nv 12,n那么矩阵，12(),ntttteve t是常系数线性微分方程组（5.24）xA的一个基解矩阵
