实验五矩阵运算与方程组求解.doc

1、47项目二 一元函数积分学与空间图形的画法实验 1 一元函数积分学(基础实验 )实验目的 掌握用 Mathematica 计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用定积分解决各种问题的能力.用定义计算定积分当 在 上连续时, 有)(xfba nknnkn nabfababfadxf 110 )(lim)(lim因此可将与 10)(knfb kf1)(作为 的近似值. 为了下面计算的方便, 在例 1.1 中定义这两个近似值为 和 n 的badxf)( baf,函数.例 1.1 (教材 例 1.

2、1) 计算 的近似值.102dx输入s1f_,a_,b_,n_:=N(b-a)/n*Sumfa+k*(b-a)/n,k,0,n-1;s2f_,a_,b_,n_:=N(b-a)/n*Sumfa+k*(b-a)/n,k,1,n;再输入Clearf;fx_=x2;js1=Table2n,s1f,0,1,2n,s2f,0,1,2n,n,1,10;TableFormjs1,TableHeadings-None, “n“, “s1“, “s2“则输出n s1 s22 0.125 0.6254 0.21875 0.468758 0.273438 0.39843816 0.302734 0.36523432

3、0.317871 0.34912164 0.325562 0.341187128 0.329437 0.33725256 0.331383 0.335289512 0.332357 0.3343111024 0.332845 0.333822这是 的一系列近似值. 且有102dx .210sdxs48例 1.2 计算 的近似值.10sindx输入Clearg;gx_=Sinx/x;js2=Tablen,s2g,0,1,n,n,3,50则得到定积分的一系列近似值:3,0.91687,4,0.924697,5,0.929226,48,0.944421,49,0.944455,50,0.944488

4、注：用这种方法(矩形法)得到的定积分的近似值随 n 收敛很慢. 可以用梯形法或抛物线法改进收敛速度(见教材中的有关章节 ). 如果用 Nintegrate 命令可以得到本题的比较精确的近似值为 0.946083.例 1.3 用定义求定积分 的动画演示.badx2输入Clearf,x,a,b;fx_=x2;a=0;b=1.5;m=0;g1=Plotfx,x,a,b,PlotStyle-RGBColor1,0,0,DisplayFunction-Identity;Forj=3,j$DisplayFunction,PlotLabel-m intervals 执行以上命令, 可得到一系列图形(共 24

5、 幅), 如果观察动画 , 只要选中 24 幅图形中的任一幅图形, 双击以后即可以形成动画 . 当分割越来越细时 , 观察小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系, 有助于理解定积分的概念及其几何意义.不定积分计算例 1.4 (教材 例 1.2) 求 .)1(532dxx输入Integratex2*(1-x3)5,x则输出 18x3659x10653x512例 1.5 求 .sin2dex输入49IntegrateExp-2 x*Sin3 x,x则输出 )323(12xSinCosex例 1.6 (教材 例 1.3) 求 .arct2d输入Integratex2*ArcTanx,x则输出 x1L

6、og6xArcTan316x22 例 1.7 求 .sindx输入IntegrateSinx/x,x则输出SinIntegratex它已不是初等函数.定积分计算例 1.8 求 .)(102dx输入Integratex-x2,x,0,1则输出 61例 1.9 (教材 例 1.4) 求 .|2|40dx输入IntegrateAbsx-2,x,0,4则输出4例 1.10 (教材 例 1.5) 求 .421dx输入IntegrateSqrt4-x2,x,1,2则输出 )23(650例 1.11 (教材 例 1.6) 求 .102dxe输入IntegrateExp-x2,x,0,1则输出 12Erf其中

7、 Erf 是误差函数 , 它不是初等函数. 改为求数值积分, 输入NIntegrateExp-x2,x,0,1则有结果0.746824.变上限积分例 1.12 (教材 例 1.7) 求 .)(2cos0xdwd输入DIntegratewx,x,0,Cosx2,x则输出-2 Cosx SinxwCosx2注意这里使用了复合函数求导公式.例 1.13 (教材 例 1.8) 画出变上限函数 及其导函数的图形 .xdtt02sin输入命令f1x_:=Integratet*Sint2,t,0,x;f2x_:=EvaluateDf1x,x;g1=Plotf1x,x,0,3,PlotStyle-RGBCol

8、or1,0,0;g2=Plotf2x,x,0,3,PlotStyle-RGBColor0,0,1;Showg1,g2;则输出图 1.1.0.5 1 1.5 2 2.5 3-2-112图 1.1求平面图形的面积51例 1.14 (教材 例 1.9) 设 和 计算区间 上两曲线所xexfcos)2().2cos(4)(xg4,0围成的平面的面积.输入命令Clearf,g;fx_=Exp-(x-2)2 CosPi x;gx_=4 Cosx-2;Plotfx,gx,x,0,4,PlotStyle-RGBColor1,0,0,RGBColor0,0,1;FindRootfx=gx,x,1.06FindR

9、ootfx=gx,x,2.93NIntegrategx-fx,x,1.06258,2.93742则输出两函数的图形（图 1.2）及所求面积 .1743.s1 2 3 4-11234图 1.2求平面曲线的弧长例 1.15 (教材 例 1.10) 计算 与 两点间曲线的弧长.),sini()xxf)0(,f)2(,f输入命令Clearf;fx_=Sinx+x*Sinx;Plotfx,x,0,2Pi,PlotStyle-RGBColor1,0,0;NIntegrateSqrt1+fx2,x,0,2Pi则输出曲线的图形（图 1.3）及所求曲线的弧长 12.0564.1 2 3 4 5 6-1-0.50

10、.51图 1.352注: 曲线 在区间 上的弧长 .)(xfy2,0202)(1dxfs求旋转体的体积例 1.16 (教材 例 1.11) 求曲线 与 x 轴所围成的图形分别绕 x 轴和 y)(sin)(2xg轴旋转所成的旋转体体积. 输入Clearg;gx_=x*Sinx2;Plotgx,x,0,Pi则输出图 1.4.0.5 1 1.5 2 2.5 30.250.50.7511.251.51.75图 1.4观察 的图形. 再输入)(xgIntegratePi*gx2,x,0,Pi得到输出 864153又输入 Integrate2 Pi*x*gx,x,0,Pi得到输出 32若输入 NInteg

11、rate2 Pi*x*gx,x,0,Pi则得到体积的近似值为27.5349.注: 图 1-4 绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积 .)(20dxgV此外,我们还可用 ParametricPlot3D 命令(详见本项目实验 2 的基本命令)作出这两个旋转体的53图形.输入Clearx,y,z,r,t;xr_,t_=r;yr_,t_=gr*Cost;zr_,t_=gr*Sint;ParametricPlot3Dxr,t,yr,t,zr,t,r,0,Pi,t,-Pi,Pi则得到绕 x 轴旋转所得旋转体的图形（图 1.5）.0 12 3-4-2024-4-2024图 1.5又输入Clearx,y,

12、z;xr_,t_=r*Cost;yr_,t_=r*Sint;zr_,t_=gr;ParametricPlot3Dxr,t,yr,t,zr,t,r,0,Pi,t,-Pi,Pi则得到绕 y 轴旋转所得旋转体的图形（图 1.6）.54-202-202024图 1.6实验 2 空间图形的画法(基础实验 )实验目的 掌握用 Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法. 熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察, 提高空间想像能力. 深入理解二次曲面方程及其图形.一般二元函数作图例 2.1 (教材 例 2.1) 作出平面 的图形,其中 .yxz326 20,3yx输入Plot3D6-2x

13、-3y,x,0,3,y,0,2则输出所作平面的图形（图 2.5）. 012300.511.52-50555图 2.5如果只要位于第一卦限的部分, 则输入Plot3D6-2x-3y,x,0,3,y,0,2,PlotRange-0,6观察图形. 其中作图范围选项为 PlotRange-0,6,而删除的部分显示为一块水平平面（图 2.6）.012300.511.520246图 2.6例 2.2 (教材 例 2.2) 作出函数 的图形.214yxz输入kx_,y_:=4/(1+x2+y2)Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints-30,PlotRange-0,4,BoxR

14、atios-1,1,1则输出函数的图形 2.7. 观察图形 , 理解选项 PlotRange-0,4和 BoxRatios-1,1,1的含义. 选项BoxRatios 的默认值是1,1,0.4.56-2 -10 12-2-10 1201234图 2.7例 2.3 (教材 例 2.3) 作出函数 的图形.2yxez输入命令Plot3D-x*y*Exp-x2-y2,x,-3,3,y,-3,3,PlotPoints-30,AspectRatio-Automatic;则输出所求图形（图 2.8）.-202 -202-0.0500.05图 2.8例 2.4 (教材 例 2.4) 作出函数 的图形.)94cos(2yxz输入Plot3DCos4x2+9y2,x,-1,1,y,-1,1,Boxed-False,Axes-Automatic,PlotPoints-30,Shading-False则输出网格形式的曲面图 2.9, 这是选项 Shading-False 起的作用, 同时注意选项 Boxed-False的作用.