1、22.3 实际问题与一元二次方程(探究 3)面积、体积问题教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题重难点关键1重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题2难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型教具、学具准备 小黑板教学过程一、复习引入上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题” ，现在，我们要学习解决“面积、体积”问题。同学们先回忆下面的问题：（口述）1直角三角形
2、的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？2正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3梯形的面积公式是什么？4菱形的面积公式是什么？5平行四边形的面积公式是什么？6圆的面积公式是什么？（学生口答，老师点评）二探求新知（一）探究要设计一本书的封面,封面长 27,宽 21,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm）?分析:这本书的长宽之比是 9:7,依题知正中央的矩形两边 之比也为 9:7解法一:设正中央的矩形两边分别为 9xcm，7xcm依题意得解得 2
3、31x ),(23舍 去不 合 题 意x故上下边衬的宽度为:左右边衬的宽度为:27218.14327597.2312x分析:这本书的长宽之比是 9:7,正中央的矩形两边之比也为 9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为 9:7解法二:设上下边衬的宽为 9xcm，左右边衬宽为 7xcm依题意得解方程 （方程的哪个根合乎实际意义? 为什么）(以下同学们自己完成)（二）某校为了美化校园,准备在一块长 32 米,宽 20 米的长方形场地上修筑若干条宽度相同的道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?
4、使图(1),(2)的草坪面积均为 540 平方米。（题图） （题图）解:(1)如图，设道路的宽为 x 米，则化简得 解之得 其中的 x=25 超出了原矩形的宽，应舍去.图(1)中道路的宽为 1 米.（2）分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于 540 米 2。解法一、 如图，设道路的宽为 x 米，2320320540x化简得， 251,x其中的 x=50 超出了原矩形的长和宽，应舍去.解法二：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）相等关系是：草坪长草坪宽=540 平方米 （下
5、略）（三）(2004 年,镇江)学校为了美化校园环境，在一块长 40 米、宽 20 米的长方形空地上计划新建一块长 9 米、宽 7 米的长方形花圃.（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多 1 平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加 2 平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由。21743)12)(87( x436x 540)2)(3(x0256 1,2112,032054.x解：（1）本题 方案有无数种（长宽分别是 64 的约数但注意长宽的数据
6、和 40、20 的关系）（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加 2 平方米.由题意得长方形长与宽的和为 16 米.设长方形花圃的长为 x 米，则宽为（16- x）米.x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0此方程无解.在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加 2 平方米三反馈训练1在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果四周金色纸边的面积是 1400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程是【 B】A x2+130x-1400=0 B x2+65x-350=0C x2-130x-1400
7、=0 D x2-65x-350=02.用 20 厘米长的铁丝能否折成面积为 30 平方厘米的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.3. (2003 年,舟山)如图，有长为 24 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度 a 为 10 米） ，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽 AB 为 x 米，花圃 ABCD 的面积为 S 米 2，（1）S 与 x 的函数关系式为 。（2）如果要围成面积为 45 米 2的花圃，AB 的长是 。（附答案：2.解:设这个矩形的长为 xcm x2-10x+30=0此方程无解用 20cm 长的铁丝不能折成面积为 30cm2 的矩形.）3. 设宽 AB
8、 为 x 米，则 BC 为(24-3x)米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x046514)(acb80cmxxxx50cm30)(x1442)0(acb(2)由条件-3x 2+24x=45化为：x 2-8x+15=0 解得 x1=5，x 2=3024-3x10 得 14/3x8x2 不合题意，AB=5，即花圃的宽 AB 为 5 米四小结 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答 这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求 五作业 P53 习题 22.3 第 8、10 题 课外训练 P58 复习题 22 第4、5、7、10 题
