1、n 阶第一类贝塞尔函数 ()nJx第二类贝塞尔函数，或称 Neumann 函数 ()nYx第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数， (1)nH第一类变形的贝塞尔函数 ()nIx开尔文函数（或称汤姆孙函数） 阶第一类开尔文（Kelvin）n第五章 贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从2.3 可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在2.6 中曾经指出过
2、的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏R度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。这个问题可以归结为求解下述定解问题： 22220(),0 (5.1), 2 txyRuuaxyRt (.3)用分离变量法解这个问题，先令 (,)(,)uxytVTt代入方程（5.1）得22()VTaTxy
3、或 22 (0)VTxya由此得到下面关于函数 和 的方程()t,)20Ta（5.4）220Vxy（5.5）从（5.4）得 2()atTtAe方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程。为了求出这个方程满足条件20xyRV（5.6）的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得2210,2, (5.7)0, 8RVvVR再令 ，(,)()P代入（5.7）并分离变量可得()0（5.9）22()()(0PP（5.10）由于 是单值函数，所以 也必是单值得，因此 应该(,)uxyt (,)Vxy()是以 为周期的周期函数，这就决定了 只能等于如下的数：22
4、20,1,n 对应于 ，有2n（为常数）00()2acosin,(12,)nnb以 代入（5.10）得2n22()()(0PnP（5.11）这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是 阶贝塞尔方程。n若再作代换，r并记，()rFP则得.22()()(0rFrnFr这是 阶贝塞尔方程最常见的形式。n由条件（5.8）及温度 是有限的，分别可得u()0PR（5.12）因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（5.12 中第一个条件是在处的第一类边界条件，第二个条件是在 处的自然边界条件，R 0由于 在 处为零，所
5、以在这一点应加自然边界条件） 。在2()k0下一节先讨论方程（5.11）的解法，然后在5.5 中再回过头来讨论这个特征值问题。5.2 贝塞尔方程的求解在上一节中，从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程的解法。按惯例，仍以 表示自变量，以x表示未知函数，则 阶贝塞尔方程为yn22()0dyxxny（5.13）其中 为任意实数或复数。我们仅限于 为任意实数，且由于方程中n n的系数出现 的项，所以在讨论时，不妨先假定 。2 0设方程（5.13）有一个级数解，其形式为， 201 0( )c kckkyxaxaax 0（5.14）其中常数 和 可以通过把 和它的导数 代入c(
6、0,12)ka y,y（5.13）来确定。将（5.14）及其导数代入（5.13）后得 20()1)()0ckkckcxna 化简后写成 22120 22()()()0cc ckkknaxnaxnax 要上式为恒等式，必须各个 幂的系数全为零，从而得到下列各式：x1 ；20()acn2 ；2103 。22()(,3)kcnak由 1得 ，代入 2得 。先暂取 ，代入 3得10acn4 。2()kkan因为 ，由 4知 ，而 都可以用1013570aa 246,a表示，即0a，02()n，04()24aA，06()(6)ann.0202(1)462()4(2)!()maannmnA 由此知（5.1
7、4）的一般项为202(1)!()mnax是一个任意常数，让 取一个确定的值，就得（5.13）得一个特0a0解。把 取作0 012()na这样选取 可使一般项系数中 2 的次数与 的次数相同，并可以运用0a x下列恒等式： ()1)(2)1()(1)nmnnm使分母简化，从而使（5.14）中一般项的系数变成221()!()mna（5.15）这样就比较整齐、简单了。以（5.15）代入（5.14）得到（5.13）的一个特解 210()(0)!(1nmmxy用级数的比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定的函数，称为 n 阶第一类贝塞尔函数。记作20()1)
8、(0)!(1nmmnxJx（5.16）至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解 。()nJx当 为正整数或零时， ，故有n(1)!nm20()(0,12)!)nnmxJx（5.17）取 时，用同样的方法可得（5.13）的另一特解cn220()1)(1,2)!()!nmmnnxJx （5.18）比较（5.16）式与（5.18）式可见，只要在（5.16）右端把 换成 ，n即可得到（5.18）式。因此不论 式正数还是负数，总可以用n（5.16）统一地表达第一类贝塞尔函数。当 不为整数时，这两个特解 与 是线性无关的，由齐n()nJx()n次线性常微分方程的通解的结构定理知道， （5.13）的通解为()()
9、nnyAJxB（5.19）其中 为两个任意常数。,AB当然，在 不为整数的情况，方程（5.13）的通解除了可以写成n（5.19）式以外还可以写成其它的形式，只要能够找到该方程另一个与 线性无关的特解，它与 就可构成（5.13）的通解，这()nJx()nJx样的特解是容易找到的。例如，在（5.19）中取 ，cot,csAnB则得到（5.13）的一个特解（5.20）()cot()cs()inn nYxJxJx整 数显然， 与 是线性无关的，因此， （5.13）的通解可以写成()nYx()nJ()()nnyAJxBY（5.21）由（5.20）式所确定的函数 称为第二类贝塞尔函数，或称()nYxNeu
10、mann 函数。5.3 当 n 为整数时贝塞尔方程的通解上一节说明，当 不为整数时，贝塞尔方程（5.13）的通解由n（5.19）或（5.21）式确定，当 为整数时， （5.13）的通解应该是什么样子呢？首先，我们证明当 为整数时， 与 是线性相关的。n()nJx()n事实上，不妨设 为正整数 （这不失一般性，因 为负整数时，会N得到同样的结果） ，这在（5.18）中， 当1()m时均为零，这时级数从 起才开始出现非零项。0,12,()mN mN于是（5.18）可以写成 22 4()(1)!(1)! (2)!(1)NmmNnNNxJx xJx 即 与 线性相关，这时 与 已不能构成贝塞尔方()N
11、JxN ()NJx()N程的通解了。为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与 线()NJx性无关的特解。取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数。不过当 为整n数时（5.20）的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成（5.21）的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义。在 为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为()cos()()lim)innnJxJxYxn为 整 数（5.22）由于当 为整数时， ，所以上式右端的极n()1()cos()nn nJxJxJx限为“ ”形式的不定型的极限，应用洛必达法则并经过冗长的推0导，最后得 210000()22()()ln)!mkxxYxJc
12、2102110002()!()()ln)1 (),(,3)!()nmnn mmnkkxxYxJc（5.23）其中 ，称为欧拉常数。1li(ln)0.57223nc 根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与是线性无关的（因为当 时， 为有限值，而 为无穷()nJx0x()nJx()nYx大） 。综上所述，不论 是否为整数，贝塞尔方程（5.13）的通解都可n表示为 ()()nnyAJxBY其中 为任意常数， 为任意实数。,ABn5.4 贝塞尔函数的递推公式不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此鼓孤立的，而是有一定的联系，本节来建立反映这种联系的递推公式。先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系。
13、在（5.17）中令 及 得0n12462022()1(1)(!)(3!)(!kxxxJ 357211() ()2!2!34!()kkxxxJ AAA取出第一个级数的第 项求导数，得k2 21211 2()()1)()()!()k kkk k kdxxxx 这个式子正好是 中含 这一项的负值，且知 的第一项导1Jx21k 0()Jx数为零，故得关系式01()()dJx（5.24）将 乘以 并求导数，又得1()Jx2421313122()()!()()1!kkkkdxxxJxx AA 即10()()dxJx（5.25）以上结果可以推广，现将 乘以 求导数，得()nJxn202101()()!(1)
14、!()()nmnmnmnddxxJxxJ 即1()()nndxJx（5.26）同理可得1()()nndxJxJ（5.27）将（5.26）和（5.27）两式左端的导数求出来，并经过化简，这分别得 1()()nnnxJxJ及 .1()()nnnx将这两式相减及相加，分别得到112()()()nnnJxJx（5.28）11()()2()nnnJxJx（5.29）以上几式就是贝塞尔函数的递推公式，它们在有关贝塞尔函数的的分析运算中非常有用。特别值得一提的是，应用（5.28）式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来，因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，这利用此表和（5.28） ，即可计
15、算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值。第二类贝塞尔函数也具有与第一类贝塞尔函数相同的递推公式111()()2()()nnnnnnndxYxxYxY（5.30）作为递推公式的一个应用，考虑半奇数阶的贝塞尔函数，现计算 ， 。由（5.16）可得12()Jx12() 12120()()(3!mmxJx而 1 135(2)35(2)()(2mmA A从而21120()() sin!mJxxx（5.31）同理，可求得12()cosJxx（5.32）利用递推公式（5.28）得到 32121232()()() cosin ()1sin JxJxdxxA同理可得 323212121cos()()()()dxJxJ
16、x一般而言，有 1212 sin()()nn dxJxx121()2cos()nn xJxd（5.33）这里为了方便起见，采用了微分算子 ，它是算子 连续作1()nxd1dx用 次的缩写，例如 ，千万不能把它与n21sinsi()dx混为一谈。1ndx从（5.33）可以看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数。5.5 函数展成贝塞尔函数的级数利用贝塞尔求解数学物理方程的定解问题，最终要把已知函数按贝塞尔方程的特征函数系进行展开。这一节我们先要所明贝塞尔方程的特征函数系是什么样的函数系，然后证明这个特征函数系是一个正交系。5.5.1 贝塞尔函数的零点在5.1 中，已经将求解圆盘的温度分布问题通过分
17、离变量法转化成贝塞尔方程的特征值问题： 22()()(0,(5.34)0, . .6rRPrnPrR自 然 边 界 条 件方程（5.34）的通解为，()()()nnPrAJrBYr由条件（5.36）可得 ，即0B()()nPrAJr利用条件（5.35）得()0nJR（5.37）这就说明，为了求出上述特征值问题的特征值 必须要计算的零点。 有没有实的零点？若存在实的零点，一共有多少()nJx()nJx个？关于这些问题，有以下结论：1 有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在 轴上关()nJx x于原点实对称分布的，因而 必有无穷多个正的零点。()nJx2 的零点与 的零点是彼此相间分布的，即 的
18、任()nJx1n ()nJx意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个 的零点。1()nJx3以 表示 的非负零点（ ） ，则 当()nm()nJx,2m ()()1nm时无限地接近于 ，即 几乎是以 为周期的函数。()nJx与 的图形见图 5.1。0()Jx1()为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数的正零点的数值已被详细计算出来，并列成表格。下表给出了 的前 9()nJx0,12,5)个正零点 的近似值：()1,29)nm利用上述关于贝塞尔函数零点的结论，方程（5.37）的解为（ ）()nmR1,2即（ ） ()2nmR1,（5.38）与这些特征值相对应的特征函数为（ ） ()()nmmPrJr
19、R1,2（5.39）5.5.2 贝塞尔函数的正交性现在来讨论特征函数系 的正交性，我们() (1,2)nmJrR将要证明()()22()()0 110,nnRmk nnmmkrJrdRJJk当 当（5.40）由于贝塞尔函数系 是特征值问题() (1,2)nmJrR（5.345.36）的特征函数系，所以它的正交性由2.6 中的施图姆刘维尔理论可以直接推出。不过因为在那里我们并没有就一般情况证明这个结论，因此，我们在这里把贝塞尔函数系的正交性详细证明一下，而且这个证明方法是富有启发性的，完全可以类似的步骤来证明2.6 中的结论 3。下一章将要讲到的勒让德多项式的正交性，也是施图姆刘维尔理论的另一个
20、具体例子。下面就来证明（5.40） 。为了书写方便，令，()1()nmFrJrR，2()()n为 任 意 参 数按定义， ， 分别满足1()Fr2()()211()()0nmdFrrFR22()()rrd以 乘第一个方程减去以 乘第二个方程，然后对 从 到 积2()Fr1()Fr r0R分得 ()2 11220010 ()()()()nRRmR dFrrFdrd即 ()21221200()()()nR RmrFdrFrFr由此可得211212()0 2()()R nmRFRFrFdr因 ，故上式可写成()1()nmFJ() ()()21()0 22)n nnR mmnmJRRFrrd（5.41
21、）若取 ，则(),nkR，()()0nnkJR从而（5.41）的右端为零，即（5.40）中第一个式子已得证。为了证明（5.40）中第二个式子，在（5.41）两端令 ，()nmR此时（5.41）右端的极限是“ ”形式的不定型的极限，利用洛必0达法则计算这个极限得 ()() ()() 22 ()20lim2nn nR nmmmRJRrJdr J A由递推公式 1()()nnnxJxJ1nnnx及 可知()0nmJ()()()11nnnmmmJJ从而 ，这就是（5.40）中第二()222 ()()110nRnnmRrJdr个式子。通常把定积分 ()20nRmrJdr的正平方根，称为贝塞尔函数 的模。
22、()nmJr利用2.6 中关于特征函数系的完备性可知，任意在 上具0,R有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数 ，只要它在()fr处有界，在 处等于零，则它必能展开成如下形式的绝对且0rrR一致收敛的级数()1()nmfrAJrR（5.42）为了确定这个展开式的系数 ，在（5.42）两端同乘以 ，mA()nkrJR并对 r 从 0 到 R 积分，由正交关系式（5.40）得 () ()20 0nnRk kkrfJrdArJdr即()20()1nRkknkArfJrdJ（5.43）下一节将通过例子说明贝塞尔函数在求解定解问题时的用法。5.6 贝塞尔函数应用举例下面举两个例子，说明用贝塞尔函数求解
23、定解问题的全过程。例 1 设有半径为 1 的薄均匀圆盘，边界上温度为零摄氏度，初始时刻圆盘内温度分布为 ，其中 是圆盘内任一点的极半径，求2rr圆盘内温度分布规律。解 由于是在圆盘内求解问题，故采用极坐标系较为方便，并考虑到定解条件与 无关，所以温度分布只能是 的函数，于是根据,rt问题的要求，即可归结为求解下列定解问题： 2120(),01, (5.4), , rtuuartt (.6)此外，由物理意义，还有条件 ，且当 时， 。令ut0u(,)()rtFTt代入方程（5.44）得21()FTaFTr或 21FTra由此得220rFr（5.47）20Ta（5.48）方程（5.48）得解为 2
24、()atTtCe因为 时， 。所以 只能大于零，令 ，则t0u 22()atTte此时方程（5.47）的通解为 1020()()()FrCJrYr由 的有界性，可知 ，再由（5.45）得 ，即 是(,)urt 2 0()J的零点。以 表示 的正零点，则0Jx(0)n0()Jx()1,23)n综合以上结果可得 (0)()nFrJr2(0)()natTtCe从而 2(0)(0)1(,)natn nnurtCeJr由条件（5.46）得 2(0)1nrCJr从而 12(0)(0)21(0)3(0)2() 01 n nnnnCrJrdJ r因 ，即(0)(0)(0)(0)(0)1nnnnndrJrJdr
25、(0)(0)1nnJd故得 (0)(0)1(0)11nnnrJJrJd另外(0)(0)11 13(0)232(0)1(0)00() (0)2(0)1 12() (0)nnn nnnnnn nrJJrrJd rJdr 从而 (0)2()14nnJC所以，所求定解问题的解为(5.49)2(0)(0)(0)2()114(,) natnnnJurt re其中 是 的正零点。(0)nJr例 2 求下列定解问题： 22001(),0 (5.0), .1,rRrttuuarRtttu21, (5.2)r解 用分离变量法来解，令 ，采用例 1 类似的运(,)()utFrTt算，可以得到1020()()()Fr
26、CJrYr（5.53）34()cosinTtatt（5.54）由 在 处的有界性，可知 ，即(,)urt020C10()()FrJr（5.55）再根据边界条件（5.51）中第一式，得 10()()FRCJ因 不能为零，故有1C0()JR利用贝塞尔函数的递推公式（5.24）可得 1()0JR即 是 的非负零点，以 表示 的所有正零R1()0Jx()1(1)2,n 1()Jx点，又因 ，所以及 （5.56）0(1),2)nR当 时，由（5.47） ， （5.48）及（5.51）中第二个条件可知，0方程（5.50）有一个特解 00(,)urtCDt其中 是待定常数。0,CD当 时，由方程（5.55）
27、及（5.54）得(1),2,)nR(1)0()nnFrJrR(1)(1)()cossinnnaaTtCtDt即（5.50）由特解 (1)(1)(1)0(,)cossinn nnnaaurtCtDtJrRR其中 是待定常数。,nCD利用叠加原理可得原定解问题的解为 (1)(1)(1)0 01(,)(cossinn nnaaurtCttDtJrRR代入条件（5.52）得(1)001nnCJrR（5.57）(1)2()001nnarDJRR（5.58）由（5.57）得 ，在（5.58）两端同乘以 并对 在0(,12)nC r上积分得0,R20011()RrDdrd由（5.58）并利用下面的结果（见习
28、题五第 14 题）：如果 是(1)n的正零点，则1()Jx(1)222(1)()(1)000RnnnRRrJdrJJ得到 (1)20(1)2(1)00()3()(1)3(1)244RnnnnnrDJrdaJa所以最后得到定解问题的解为。(1)(1)0(1)3(1)24(,) sin2nnatRur tJraJR5.7 贝塞尔函数的其他类型由于解决某些工程问题的需要，本节引入另外三种形式的贝塞尔函数。5.7.1 第三类贝塞尔函数第三类贝塞尔函数有名汉克尔（Hankel）函数，它是由下列公式来定义的： (1)()nnnHxJjYx(2) ()nnnj其中 ，由于汉克尔函数是 与 的线性组合，所以，同1j()nJx)nY样也具有第一类贝塞尔函数相同的递推形式：，()()1ninidxHx， ()()1nini(1,2)i，()()()112ii innnxx.()()()11ii innndHH在下一节将看到这种函数当 很大时有比较简单的渐近公式。x5.7.2 虚宗量的贝塞尔函数当我们在圆柱形域内求解定解问题，如果圆柱上下两底的边界条件都是齐次的，侧面的边界条件是非齐次时，就会遇到形如21()0nyyx（5.60）的方程，它和贝塞尔方程只有一项的符号有差别，若令 就可xjt将这个方程化成贝塞尔方程，因为 ,xjtdjt221,yyxjtxt代入（5.60）得到
