1、吉 林 化 工 学 院 2008 2009 学 年 第 二 学 期 期 末 考 试高 等 数 学 试 卷 (A )一 .判 断 题 （ 每 小 题 2 分 ， 共 8 分 ） 。1. 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( yx 的 偏 导 数 xz 及 yz 存 在 是 ),( yxf 在 该 点 可 微 分的 充 要 条 件 。 （ ）2.函 数 ),(),( yxQyxP 在 单 连 通 域 G 内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 曲 线 积 分dyyxQdxL yxP ),(),( 在 G 内 与 路 径 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 xyP Q 在 G 内 恒
2、成 立 。 （ ）3. 设 直 线 1L 和 2L 的 方 向 向 量 依 次 为 1111 , pnms 和 2222 , pnms ， 两 直线 1L 和 2L 互 相 垂 直 相 当 于 212121 ppnnmm 。 （ ）4. 如 果 级 数 1n nu 收 敛 ， 则 它 的 一 般 项 nu 当 n 时 以 零 为 极 限 ， 即0lim nn u 。 （ ）二 .填 空 题 （ 每 小 题 4分 ， 共 16 分 ） 。1. 设 3,1,2a ， 1,2,1 b ， 则 ba = （ 7， 5， -3） 。解 ： 121 312 kji = kji 357 2. 设 1y ，
3、2y 是 二 阶 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 两 个 线 性 无 关 的 解 ， 那 么 该 方 程 的通 解 是 2211 ycycy 为 任 意 常 数 ）21,( cc 。解 ： 根 据 定 理 即 得 。3. 交 换 积 分 次 序 ： ba xa dyyxfdx ),( = ba by dxyxfdy ),( 。4. 设 L 为 下 半 圆 周 21 xy ， 则 曲 线 积 分 L dsyx )( 22 的 值 为 。解 ： 令 2sincos yx则 L dsyx )( 22 = 2 2222 cos)sin()sin(cos d = 2 d = 。三 .选 择 题 （
4、每 小 题 4分 ， 共 16 分 ） 。1. 一 平 面 过 点 （ 1， 0， -1） 且 平 行 于 平 面 13 zyx ， 则 这 个 平 面 的 方 程是 B 。A. 23 zyx ; B. 43 zyx ;C. 31111 zyx ; D. 31111 zyx 。解 ： 所 求 平 面 法 向 量 为 : )3,1,1( n , 将 点 （ 1， 0， -1） 代 入 平 面 点 法 式 方 程 即得 B答 案 正 确 。2. 设 区 域 0,1|),( 22 xyxyxD ， 则 二 重 积 分 dxdyxyD )2( 的 值 为C 。A.0; B.2; C. ; D. 2 。
5、解 ： dxdyxyD )2( = DD xydxdydxdy2 =2 2 - 0 = 。3. 下 列 级 数 中 收 敛 的 是 C 。A. 1 10n n ; B. 1 10 1n nn ;C. )111()1(1 1 nnn n ; D.1 1sinn n 。解 ： )111()1(1 1 nnn n = 1 11 1 11)1(1)1( n nn n nn ， 两 个 收 敛 级 数 之 和 仍 收敛 。 4. 微 分 方 程 dxyedyexx )1( 的 通 解 是 A 。A. )1( xecy ; B. xey 1 ;C. )1ln( xy ; D. )1ln( xcy 。解 ：
6、 将 dxyedye xx )1( 分 离 变 量 得 ： dxeedyy xx11上 式 两 端 积 分 得 ： )1( xecy 四 .计 算 题 （ 本 题 8 分 ） 。设 函 数 ),( xyyxfz ， 且 f 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 求 xz 和 yz 。解 ： 21 yffxvvzxuuzxz 21 xffyvvzyuuzyz 五 .计 算 题 （ 本 题 8 分 ） 。计 算 曲 线 积 分 dyxyydxyxxL )2()2( 22 ， 其 中 2: 22 yxL 顺 时 针 方向 。解 ： 令 yxxyxP 22),( ， 22),( xyyyxQ ， 则
7、 2yxQ ， 2xyP ，由 格 林 公 式 ， dyxyydxyxxL )2()2( 22 = dxdyxyD ）（ 22 d 20 20 2= 2 。六 .计 算 题 （ 本 题 8 分 ） 。求 微 分 方 程 xeyxyx 2)1( )0( x 满 足 初 始 条 件 0)1( y 的 特 解 。解 ： 所 给 方 程 为 一 阶 线 性 非 齐 次 方 程 ， 先 写 成 标 准 形 式 ： xexyxy 2 1)11( 对 应 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 通 解 为 : xcey x常 数 变 易 法 ： 令 xexuy x)( 求 导 得 ： 2 )()(1 x exe
8、xuxuexy xxx 代 入 原 方 程 整 理 得 ： xexu )( ， 即 cexu x )( ，原 方 程 通 解 为 ： )( cexey xx 代 入 初 始 条 件 ： ec ， 特 解 为 ： )( eexey xx 。七 .应 用 题 （ 本 题 10 分 ） 。设 曲 线 的 参 数 方 程 为 ： x t , y t 2,z t 3,求 该 曲 线 的 与 平 面 x y z 2 4平 行 的 切 线 方 程 。解 ： 由 ： 2321tz tyxtt t 得 ： 曲 线 任 意 点 的 切 向 量 为 : 23,2,1 tt ,与 平 面 x y z 2 4平 行 ，
9、 就 是 与 法 向 量 垂 直 ，即 0341 2 tt ， 得 31,1 tt切 点 为 )1,1,1( 和 )271,91,31( ，从 而 与 x y z 2 4平 行 的 切 线 有 两 条 :312111 zyx 和 312713291131 zyx 。八 计 算 题 （ 本 题 10分 ） 。按 要 求 完 成 下 列 一 个 题 ：1.（ 数 学 I） 设 )(xf 是 周 期 为 2 的 周 期 函 数 ， 它 在 , 上 的 表 达 式 为 .0,1 ,0,1)( x xxf 将 )(xf 展 开 成 傅 里 叶 级 数 。2.（ 数 学 II） 求 幂 级 数 1n nn
10、x 在 1| x 上 的 和 函 数 。3.（ 数 学 III） 求 幂 级 数 1 53n nnn xn 的 收 敛 区 间 。答 案 ：1.解 ： 所 给 函 数 满 足 收 敛 定 理 的 条 件 ， 它 在 点 ),2,1,0( kkx 处 不 连 续 ，在 其 它 点 处 连 续 ， 从 而 由 收 敛 定 理 知 道 )(xf 的 傅 里 叶 级 数 收 敛 ，kx 时 级 数 收 敛 于 0； kx 时 ， 级 数 收 敛 于 )(xf 。计 算 傅 里 叶 级 数 如 下 ： nxdxxfan cos)(1 = nxdxnxdx cos11cos)1(1 0 =0 ,2,1,0
11、( n ） ； nxdxxfbn sin)(1 = nxdxnxdx sin11sin)1(1 0 = )1(12nn = ,6,4,2,0 ,5,3,1,4 nnn )12sin(12 13sin31sin4)( xkkxxxf = 1 )12sin(12 14 k xkk2. 解 : 1n nnx = dttdttdtt xn x x n nn 01 0 0 1 11 11 = )1ln( x 。3. 解 ： nnaa nnnnnnnn 53/153limlim 111 =5， 故 收 敛 半 径 R=51，故 收 敛 区 间 为 :（ -1/5， 1/5） 。九 应 用 题 （ 本 题
12、10分 ） 。按 要 求 完 成 下 列 一 个 题 ：1.（ 数 学 I） 求 均 匀 曲 面 2 2 2z a x y 的 质 心 坐 标 。2.（ 数 学 II） 求 由 xoy平 面 及 2 2z x y 和 2 2 4x y 所 围 成 的 空 间 立 体 的 质 量（ 体 密 度 为 常 数 ） 。3.（ 数 学 III） 平 面 薄 片 所 占 平 面 区 域 为 , 0, 1y x y x 所 围 ， 各 点 的 面 密 度( , )x y xy ， 求 平 面 薄 片 的 质 量 。答 案 ：1.解 ： 由 对 称 性 得 ： 0 yx 而 dSzdSdSdSzz ，dxdy
13、yxa ayxazdS xyD 222222 = 3a 。半 球 面 的 面 积 为 22 a ， 重 心 坐 标 为 )2,0,0( a 。2.解 ： dvM 202020 r dzrdrd 842 204 r 。3.解 ： dyxydxdxdyyxM xD 010),( 81 。十 证 明 题 （ 本 题 6 分 ） 。设 二 元 函 数 ),(),( yxyxf ， 在 ),( 00 yx 点 的 某 一 邻 域 内 均 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ，且 0),( 00 yxy .给 出 ),( yxfz 在 条 件 0),( yx 下 取 得 极 值 的 必 要 条 件 ， 并
14、 证明 你 的 结 论 。答 案 ：必 要 条 件 为 ： 0),( 0),(),( 0),(),( 00 000 000 00yx yxyxf yxyxf yy xx 。证 明 ： 假 设 所 求 函 数 在 ),( 00 yx 取 得 所 求 极 值 ， 首 先 有 0),( 00 yx 。 （ 1）由 条 件 ),(),( yxyxf ， 在 ),( 00 yx 点 的 某 一 邻 域 内 均 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 且0),( 00 yxy 及 隐 函 数 存 在 定 理 知 ， 方 程 0),( yx 确 定 一 个 连 续 且 有 连 续 导 数的 函 数 )(xy
15、 ， 则 此 题 相 当 于 求 一 元 函 数 )(, xxfz 在 0xx 取 得 极 值 的 必要 条 件 。 由 一 元 可 导 函 数 取 得 极 值 的 必 要 条 件 知 道 ：0)(),(00 0,000 xxyxxx dxdyyxfyxfdxdz由 隐 函 数 求 导 公 式 ： ),( ),( 00 000 yx yxdxdy yxxx 代 入 上 式 ， 得0),( ),(),(),( 00 000000 yx yxyxfyxf yxyx （ 2）（ 1） 、 （ 2） 两 式 即 为 所 求 必 要 条 件 。 设 ,),( ),( 00 00 yx yxf yy 上 述 必 要 条 件 就 变 为 ： 0),( 0),(),( 0),(),( 00 000 000 00yx yxyxf yxyxf yy xx 。
