1、完全二部图的平衡划分数学与系统科学学院应数 06-1 班：张莹 指导教师：颜娟摘要：图 的一个二部划分 ，如果满足 则称它是G21)(VG121V平衡的。Bollobas 和 Scoot 在文献 1 中提出了猜想：设 是一个最小度至少为 2 的G图，则 存在顶点集 的平横二部划分 ， 使得 )( 1。由完全图 可以看出界 是最好的，由星图 可3)(,max21mVe3K3)(enK,1以看出最小度至少为 2 的条件是必要的。文中计算了完全二部图 的平衡二部划分的 ，以及 的平衡二部划分的最大割所包含的边数。)(,axin211,)(21 eVGV G关键词：平衡划分；最大割；完全二部图The
2、balanced bipartition for the completed bipartition graphAbstract: A bipartition of a graph is called a balanced partition if 21)(V. Bollobas and Scott conjectured in (1). If is a graph with , there exist a 121VG2balanced partition , of vertice s.t. . The bound is 2)( 3)(,mx21mVe3)(Gethe best from th
3、e complete graph and the condition is necessary from the Star . In 3KnK,1this paper, we calculate the of the balanced bipartition for )(,ain211,)(21 eVGVthe completed bipartition graph and the number of the edges contained by the graph s Gmaximum cut.Key words: balanced partition; maximum cut; compl
4、eted bipartition graph一、定义及定理本文中，我们只考虑无向的有限简单图。我们采用图论中常用的定义和术语(见文献 5，6)。下面只列出几个重要的定义和定理。定义 1：对图 和图 。若 ， ，则称 ),(EVG),(EVHV E H是 的一个子图。若 ，用 表示 在 中的导出子图。即图 XXGG以 为顶点集， 当且仅当 且 。用 X)(xyeXyx, )(e表示 在 中的导出子图所包含的边数，即 。特别的，)(eG()Ee。若 是图 的顶点集的一个二部划分，则)()(EV21)(VG用 表示 与 之间的边数。),(21Ve12V定义 2：设 是图 的顶点集，如果 ，且 ，)(
5、G21)(VG21则称 ， 是图 的顶点集的一个 2-划分，也称其为图 的一个 2-划分。如果 1，则称这个划分是平衡的。2V定义 3：对于图 ，用 表示 的最大割所包含的边数。用 表示 G)(fG)(Gf的平衡划分的最大割所包含的边数。即 G)(|,(max)( 2121 的 二 部 划 分是VVef 。| 的 平 衡 二 部 划 分是Bollobas 和 Scott 在文献 1 中提出了下述猜想：猜想 2.1：任意给定图 ， ，则 存在顶点集 的平衡二部划分 G2)(G)(V，使得 。21)(VG3)(,max1eVe由完全图 可以看出界 是最好的，由星图 可以看出最小度至少为 23K)(
6、 nK,1的条件是必要的。二、完全二部图平衡二部划分的 )(,maxin211,)(21 VeVGV本节通过讨论 的顶点集 ， 的元素个数的奇偶性，计算完全二部图平衡二部划分的 。)(,maxin211,)(21 eVGV定理 1：设 为完全二部图 ， 。则当 和 均为偶数时，取遍 nmK,mn的所有平衡二部划分 ，有 21)(（1） ， 、 为偶数 )2(,2,4)(,axmin211,)(21 mnVeVGV n（2） ， 、 为奇数 )1(,24)1)(,axin211,)(21 neVGV n（3） ， 奇数 偶 )2(,14)(),(maxin211,)(21 mnVeVGV n数（
7、4） ， 偶数 奇数 )12(,34)(),(axin211,)(21 neVGV n下面只证明定理 3.1（3） ，其余的证明与其类似。定理 3.1（3）的证明：设 ， ， 为独立集， ， 。YXG)( mXnY当 是奇数， 是偶数时，mn将 分成两部分 ，且 ，其中 。那么 Y21Y21211nYG的一个平衡二部划分为 ， ，则 ， 。XV1VV从而 的所有平衡二部划分可表示为G， 。)()(11Y)(22YX其中 ， ，且 。 只需取 0 到 之间的所有整数即可。X2Yx m此时， nxmnxVe 2123)1)()( 21 xnx)1(22me3)(1.(3)xnmn)()1因为(3)
8、式是 的减函数，所以若令 。则当 时 。因此考虑 ，令210)(1Ve2)(1Ve0xf。将 ， ， 分别代入 中，得 43nm01x432n3x， ，mnxf2112)1()413(22 mnxf 4)1(23mnxf。比较三者，得：当 ， 时， 在 处，有最小)(n20xf2值 。4)1(2n（2）当 时， ，)(m)1(4)(2故综上知，当 时， 取遍 0 到 之间的所有整数时，xm= = 。)(,main211,)(21 VeVGV 1f4)1(2n同情况一的方法一样我们可以证明下述情况：情况二：当 时， 取遍 0 到 之间的整数时， x= = 。)(,axmin211,)(21 eV
9、GVfmn21综合情况一和情况二知定理 3.1（3）得证。三、完全二部图最大割所包含的边数本节通过讨论 的顶点集 ， 的元素个数之间的同余关系，计算完全二部图1V2平衡二部划分的最大割所包含的边数。定理 2：设 为完全二部图 ， 。GnmK,（a）如果 ，则 ；)2(od0n2)(mnGf（b）如果 ，则 。11证明：设 ， ， 为独立集， ，YXGV)( XnY(1) 当 时，)2mod0n将 分成两部分 ，且 ，其中 。那么 的Y21Y2121mnYG一个平衡二部划分为 ， ，则 。XV2V从而 的所有平衡二部划分可表示为G， 。)()(11Y)(22YX其中 ， ，且 。 只需取 0 到
10、 之间的所有整数即可。X 2Yx m则 xnmVe )2()(),(21 x令 ，因函数 的图像为一开口向上的抛物线，故 的最大值),()21exf)(f )(xf在 0 或 处达到。 ， 。故 ，即mmn20nf2)(2mnG（a）成立。（2）用与上述相同的方法证得（b） ，即如果 ，则 。)(od1n 1)(Gf综合（1）和（2）定理得证。参考文献1 B.Bollobas and A.D.Scott. Problems and results on judicious partitionsJ. Random Structures and Algorithms, 2002, 21: 414-
11、430.2 B.Bollobas and A.D.Scott. Judicious partitions of graphsJ. Periodica Math Hung, 1993, 26: 127-139.3 B.Bollobas and A.D.Scott. Judicious partitions of hypergraphsJ. J. Combin. Theory Ser. A, 1997, 78: 15-31.4 B.Bollobas and A.D.Scott. Exact bounds for judicious partitions of graphJ. Combinatorica, 1999, 19: 473-486.5 C.S.Edwards. Some extremal properties of bipartite subgraphsJ. Can. J. Math, 1973, 25: 475-485.6 C.S.Edwards. An improved lower bound for the number of edges in a largest bipartite subgraphJ. Proc. 2nd Czech Symp. Graph Theory, Praguc, 1975, 10: 167-181.
