第三章 麦克斯韦方程.doc

1、88第三章 麦克斯韦方程第一章我们已提到电磁场可以用以下四个场量描述，它们是：E(r, t)电场强度 (伏特/米，V /m)D(r, t)电通量密度或电位移（库仑 /米 2，C/ m2）H(r, t)磁场强度（安培/米，A/ m）B(r, t)磁感应强度或磁通量密度（韦伯/ 米 2，Wb /m2）这四个量都是矢量，都是时间坐标 t 和空间矢径 r 的函数。这些场量在我们周围总是存在的，有来自太阳和其它星球的场，也有来自闪电的场。传播电视的无线电波、激光则是用人工方法产生的场。本章主要讨论电磁运动服从的基本方程麦克斯韦方程。需要指出的是，麦克斯韦方程不是从几个公理推导出来的，而是根据科学实验总结

2、出来的电磁运动基本规律。麦克斯韦方程是正确的，因为宏观世界电磁运动都遵循麦克斯韦方程。本章 3.1-3.2 分别讨论积分形式、微分形式的麦克斯韦方程以及用复矢量表示的时谐场的麦克斯韦方程。3.3 与 3.4讨论电荷守恒定律与物质的本构关系。麦克斯韦方程描述源产生的场，而场对源的作用由洛仑兹力方程描述。洛仑兹力方程在 3.5 讨论。3.6 讨论坡印廷定理，它表示电磁运动满足能量守恒关系。3.7 简要介绍唯一性定理、镜像定理、等效原理、磁流和磁荷以及互易定理。3.1 积分与微分形式的麦克斯韦方程本节根据基本电磁现象以及对实验规律的总结，得出积分形式的麦克斯韦方程组，然后利用散度定理与斯托克斯定理，

3、又从积分形式的麦克斯韦方程组得到微分形式的麦克斯韦方程组。3.1.1 从库仑定理到高斯定理根据库仑定理，真空中带电量 q 的质点对周围试验电荷 q1 的作用可以看作点电荷 q 激发的电场 E 对试验电荷 q1 的作用，点电荷 q 激发的电场强度 E 为（V/ m） （3.1.1）0r24式中电场强度 E 的单位为 V/m，电量 q 的单位为库仑（C） ， ，mF/0854.120为真空介电常数，r 为点电荷 q 到试验电荷 q1 之间距离，用米（m）做单位，r 0 表示由 q 指向 q1 的单位矢量。将点电荷 q 放到介质中，由于介质极化的影响，点电荷 q 在介质中产生的电场强度 E为（3.1

4、.2）0rE24式中 叫做介质的介电常数 = r0 （3.1.3）89r 叫做介质的相对介电常数。与电场强度 E 相关连的电通量密度或电位移 D 为D = E （3.1.4）那末根据式（3.1.2） ，点电荷 q 产生的电通量密度（3.1.5）0r24将点电荷 q 置于原点，其电通量密度 D 在半径 r 方向。以原点为球心作一球面（图 3-1） ，则通过该球面的电通量 D 为图 3-1 点电荷 q 产生的电通量密度 DdSrdSD0 2 4S球 面球 面 ，r 为球面的半径，d为球面上面积元 dS 对球心所张立体角，r 0 为 r 方向的02dS单位矢量，即面积元 dS 法线方向单位矢量，将

5、dS 代入上式，得到（3.1.6）qddrqSSD 球 面球 面球 面 S 02 44这就是说穿过球面的电通量等于球心处点电荷 q。实验证明电荷产生的电场满足叠加原理，即 N 个点电荷产生的场等于每个点电荷产生的场的叠加。 014nNnrq由此进一步得到穿过任意闭曲面的电通量 等于该闭曲面包围的总电荷 Q，即S dDQS dD如果 v 为体电荷密度，则总电荷 Q 为闭曲面包围的体积 V 内电荷密度 v 的体积分n0 = r0假想球面D90，所以上式成为VvdQ （3.1.7）VvSd D这就是积分形式的高斯定理。注意库仑定理、高斯定理都是实验规律的总结，两者等价。3.1.2 磁通连续性原理迄今

6、为止，对磁现象的研究表明，世界上没有单独的磁极存在，磁力线永远构成闭合回路（见图 3-2） ，这就是磁通连续性原理。因为磁力线自成闭合回路，对于任何封闭曲面，穿出闭曲面的磁通量，一定等于穿进闭曲面的磁通量，这就是说穿出或穿进闭曲面的净磁通量等于零，（3.1.8）0SdB（a） （b）图 3-2 圆环电流（磁偶极子）与永磁体产生的磁场（a）磁偶极子 （b）永磁棒因此，磁力线与电力线不同，电力线总是从正电荷出发，终止于负电荷，电力线“有头有尾” ，而磁力线没有起始， “无头无尾” 。3.1.3 法拉电第磁感应定理1831 年法拉第发现电磁感应现象，这是人们第一次对随时间变化的电磁场进行研究。法拉第

7、定理表示随时间变化的磁场会产生电场。参看图 3-3，如果穿过闭合导线 l 所包围的面积的磁通量 m 随时间变化，则会感应一个电动势 Vemflemf dEVemf 的大小等于穿过闭合导线 l 所包围面积 S 的磁通量随时间变化率的负数，即Sm B Smlemf tt dB因为微分对时间坐标进行，积分对空间坐标进行，两者次序可调换，这样就得到随时间增加SIR B12+ Vemf图 3-3 穿过闭合导线 l 的磁通量随时间变化会感应一个电动势91（3.1.9）Sl dtBE这就是积分形式的法拉第定理。图 3-4 用来说明得出法拉第定理的原理实验装置（在大学物理课程中已见过） 。矩形导电线圈与一电流

8、计相连，如有电流通过线圈，电流计指针将偏转。螺线管与电池连接，当螺线管与电池接通，流过螺线管的电流会产生磁场，部分磁力线穿过矩形导电线圈包围的面积。不管采用什么方法，比如螺线管与电池的接通或断开，通电螺细管靠近或远离矩形导电线圈等，只要使螺线管产生的磁力线穿过线圈包围面积的磁通量 m 随时间变化，电流计指针就会偏转，表示矩形线圈上有电流流过。此电流由感应的电动势 Vemf 驱动，而指针偏转的大小反映电动势的大小。指针偏转的方向，也就是电流的方向取决于感应电动势的符号。实验得出的规律是，感应电动势 Vemf 大小与穿过线圈磁通量随时间的变化率 成正比，而感应电动势驱动的电流方向，使得该电流激发d

9、tm的磁场抵抗螺线管产生的磁场随时间的变化，式（3.1.9）右边的负号就说明这一点。3.1.4 安培全电流定理电流流过导体，在其周围产生磁场，如果右手大姆指与电流方向一致，则右手四指方向就是磁场方向，安培全电流定理告诉我们，磁场强度 H 沿任一闭合回路 l 的线积分等于穿过回路 l 所包围面积的电流 It，即（3.1.10）dtl H式中 It 是全电流。右边第一项 I 在导电媒质中叫传导电流 Ic，它由导体中自由电子的定向运动引起；在气体或真空中叫运流电流 Iv，它由真空或气体中荷电粒子的运动引起。所以I 包括传导电流与运流电流两部分，即I =Ic + Iv （3.1.11）第二项 Id 叫

10、位移电流，它并不代表电荷的运动，因而与传导电流、运流电流不同。传导电流、运流电流和位移电流之和叫全电流。如果引入电流密度 Jc 、J v 与 Jd，则 Ic、 Iv 与 Id可表示为图 3-4 说明法拉第定理的原理实验装置I IB矩形导电线圈 螺线管电池电流计92SddvvSccII J于是式（3.1.10）式成为（3.1.12）SdSl JH式中 J =Jc+ Jv （3.1.13），为传导电流密度，其中为导体的电导率，E 为导体内电场强度。 ，c vJ为真空中或气体中电流密度，其中 v 和 v 分别为真空或气体中荷电粒子的密度和速度。J d为位移电流密度，它等于（3.1.14）tdDJD

11、为电通量密度或电位移。J d 是麦克斯韦（James Clerk Maxwell，1831-1879 年）在 1873年首先引入的。为了说明位移电流的概念，参看图 3-5 所示电路，电容器 C 通过导线连到交流电源 VS(t)，设 tcos0显然导线中电流 ccSSI dEJ式中 Sc 为导线截面， dS 的方向为电流流过导线的方向。在电容器极板上有电荷 Q = CVS，C 为电容器的电容量。对于平行板电容器，电容，其中 A 为极板面积，d 为两平板间距，为两平行极板间填充介质的介电常数，CVS 为电容器两极板间电压。Q 随时间的变化率即极板上的电流 IqtVtdttVtISq sincos0

12、0这里我们假定导线的电导率很大很大，导线上压降可忽略，极板两端电压等于源电压。由源、导线、电容器构成的电流回路，其上通过的电流应连续，导线中电流要等于极板上介质极板极板面积 AyVS(t)=V0costy=0y=d边缘电场线ssdS图 3-5 交流电源与平行板电容器相连构成的回路+QEE93电流 Iq，那末电容器中电流是什么呢？位移电流的引入可解释回路电流连续的问题。两极板上加电压 VS 后，在电容器空间产生电场 E00cosyyEtdE 的大小为 VS /d，方向在 y0 方向，总的位移电流 Id 为 tCVtdAdStI AS sinsincos00 00 yyDJ因为 dS 方向为极板法

13、线方向，故 ，C 为平行板电容器电容。这个电流与极板d上电流刚好相等。注意，上面的例题不是给位移电流的正确性进行证明，而是说明位移电流概念解释了由电容器构成的回路中电流的连续性。引入位移电流的正确性是因为引入位移电流概念后得出的结论被其后的实验证明，其中最重要的一点是，麦克斯韦引入位移电流概念后预言电磁波的存在，其后赫兹在 1886-1889 年间通过实验证明电磁波的存在。迄今宏观世界观察到的电磁现象没有一个与位移电流的概念相冲突，所以我们说位移电流概念的引入是正确的。将式（3.1.14）代入式（3.1.12） ，安培全电流定理为（3.1.15）SSl dtDJdH这就是安培全电流定理的积分形

14、式。3.1.5 积分与微分形式的麦克斯韦方程组现在我们把法拉第电磁感应定理、安培全电流定理、高斯定理、磁通连续性原理的积分形式重写如下：（3.1.16a）Sl dtBE（3.1.16b）l DJH（3.1.16c）VvS （3.1.16d）0 dB这就是积分形式的麦克斯韦方程组，它们是在实验基础上得出的电磁运动规律的科学概括。根据矢量场的斯托克斯定理 Sl dA麦克斯韦方程中两个旋度方程式（3.1.16a, b）可写为 SSl t BEd94 SSl t dDJdHd由上两式可得（3.1.17a）tBE（3.1.17b）DJ同样根据矢量场的散度定理 VSd A麦克斯韦方程组中两个散度方程（3.

15、1.16c,d）可写成 VvS 0 VB由此得到（3.1.17c）vD（3.1.17d）0式（3.1.17）就是微分形式的麦克斯韦方程组。积分形式的麦克斯韦方程组反映电磁运动在某一局部区域的平均性质。而微分形式的麦克斯韦方程反映场在空间每一点的性质，它是积分形式的麦克斯韦方程当积分域缩小到一个点的极限。以后我们对电磁问题的分析一般都从微分形式的麦克斯韦方程出发。【例 3-1】如果 ，B 随时间变化吗？ycos0E解：从式（3.1.17a） t所以，B 不随时间变化。【例 3-2】在 0y1，0z1 区域，磁场 存在吗？zysini00解：因为 ，在 0y1，0 z1 区域，zcos，即 ，与麦

16、克斯韦方程（3.1.17d）矛盾。所以在cosB0y1，0 z1 区域 的磁场不存在。ini0【例 3-3】如果 ，求区域内电荷密度 v。0shnhxD解：根据式（3.1.17c） isiyxyv区域内电荷密度 ，场可以由包围区域的界面上的面电荷产生。体电荷密度 不包0 v括面电荷密度 。s麦克斯韦方程组中式（3.1.16a）或式（3.1.17a）表示变化的磁场产生电场，而式（3.1.16b）或式（3.1.17b）表示变化的电场产生磁场。麦克斯韦方程组中式（3.1.16d）或式（3.1.17d）表示磁通的连续性，即磁力线既没有起始点也没有终点。这意味着空间不存在自由磁荷，或者说在人类研究所能达

17、到的空间区域中至今还没有发现单独的磁荷存在。式（3.1.16c）或式（3.1.17c）对时变电荷与静止电95荷都成立，它表明电场是有源的。时变场中电场的散度和旋度都不为零，所以电力线起始于正电荷而终止于负电荷。磁场的散度恒为零，而旋度不为零，所以磁力线是与电流交链的闭合曲线，并且磁力线与电力线两者还互相交链。在远离场源的无源区域中，电场和磁场的散度都为零，这时磁力线和电力线将自行闭合，相互交链，在空间形成电磁波，在下章将专门讨论。3.2 时谐场的麦克斯韦方程组麦克斯韦方程包含的四个电磁场量 E、D、B 和 H 以及场源 J 和 v 都是时间和空间的函数。其中场源 v 是标量，其余均是矢量。如果

18、这些量对时间作简谐变化，就称为时谐变量。根据 1.4 关于时谐标量与时谐矢量的复数与复矢量表示，设与时谐电磁场量、 、 以及 对应的复矢量为 、),(tzyxE),(tzyxD),(tzyx),(tzyx),(zyxE、 以及 ，则有BH（3.2.1）tje,R,E（3.2.2）ztz)()(（3.2.3）tjyxyx,（3.2.4）t同样，时谐电流密度矢量 与时谐电荷密度标量 与其对应的复矢量),(tzJ(,)vxyzt与复数 的关系是),(zJ,v（3.2.5）tjveyxtzyx,Re),(（3.2.6）z)(根据复矢量的定义，对时谐矢量 的运算与对应的复矢量乘以 j等效，如：t（3.2

19、.7）tjeyxjtzyxt ,e),(BB这样，麦克斯韦方程（3.1.17a） ),(),(tzttE可写为 tjtj eyxjezyx,(R,RB因为算符只对空间求导数，所以运算与取实部运算 Re 可调换次序，即 tjtj z),),(e所以时谐电磁场量用复矢量表示时，麦克斯韦方程（3.1.17a）表示为（3.2.8）),(zyxjzyxE同理，麦克斯韦方程（3.1.17b,c,d）可表示为（3.2.9）),(),(JDH（3.2.10）),(v（3.2.11）0,zyxB方程（3.2.8）（3.2.11）就是时谐场的麦克斯韦方程。注意，时谐场的麦克斯方程，96场量只是空间坐标(x,y,z

20、)的函数，与时间 t 无关。这就是说，引入时谐场量的复数或复矢量表示后，就将麦克斯韦方程的四维场问题简化为三维场问题，这给麦克斯韦方程的分析、求解带来极大的方便。本课程主要研究简谐变化的电磁场，式（3.2.8）（3.2.11）就是本书以后分析电磁场的基本方程。因为任何周期场可用傅里叶级数展开为基波及各次谐波的叠加，非周期场也可用傅里叶积分展开，所以对谐变电磁场的分析并不失起一般性。现在我们把积分形式的麦克斯韦方程、微分形式的麦克斯韦方程以及用复矢量表示的时谐场的麦克斯韦方程列于表 3-1，以便查阅。表 3-1 麦克斯韦方程微分形式 积分形式 时 谐 场 的 复 矢 量 形 式法拉第定理 tBE

21、Sl tdB BEj安培定理 DJHl DJ DJH高斯定理 v VvSv磁通连续性原理 0B0dB0【例 3-4】已知复矢量 zjkyyexaE sin0求复矢量 B解：根据（3.2.8） zjkyzjkyz yyy exaEjexaEkzj cos/ sin10000 x这里要再次强调一下，微分形式的麦克斯韦方程与积分形式的麦克斯韦方程中有关场量 等都是时间坐标与空间坐标的函数，而复矢量形式的麦克tt, , , , rBHrD斯韦方程中有关场量 等只是空间坐标的函数，复矢量形式的场量乘r ,上 ejt 取实部才是微分形式、积分形式麦克斯韦方程中的场量。本书以后对交变场的研究主要针对随时间作

22、简谐变化的场，主要从复矢量形式的麦克斯韦方程研究电磁运动的特性，为简化书写，复矢量形式的电磁场量 E(r)等没有采用特殊符号以跟与时间有关场量 E(r, t) 等区分，请读者留意。如果场量与时间坐标有关，一般将标明 E(t)、H( t)等，不会引起混淆。3.3 电流连续性原理麦克斯韦方程包含的内容极其丰富。下面将证明麦克斯韦方程包含电流连续性原理。用算符点乘式（3.1.17b）两边，并利用矢量运算恒等关系 得到0)(A0)(DJt而根据式（3.1.17c） ， D = v，所以上式成为970tvJ这是关于电流和电荷的连续方程。如果把上式左边第二项移到等式右边，（3.3.1）tv则式（3.3.1

23、）的物理意义就是流出体积元的电流等于体积元内电荷随时间的减少率。显然，这是电荷守恒原理所要求的。所以式（3.3.1）也是电荷守恒原理的数学表达式。J(x, y, z, t)和 v(x, y, z, t)随时间作简谐变化时，引入与 J(x, y, z, t)对应的复矢量 J(x, y, z) 以及与 v(x, y, z, t)对应的复数 v(x, y, z)，则式（3.3.1）成为（3.3.2）jv,J式（3.3.2）表示时谐场的电流连续性原理。3.4 物质的本构关系在我们用式（3.1.17）所示的麦克斯韦方程组求解具体电磁问题之前，有一个问题要弄清楚，麦克斯韦方程组中有几个是独立的？为此对式（

24、3.1.17a）取散度，因为旋度的散度等于零，故得到 0 BEtt这就是说 为一与时间无关的常数，而（3.1.17d）告诉我们这个常数就是零。所以式B（3.1.17d）包含在式（3.1.17a）中。在 3.3 节对式（3.1.17b）取散度已得到0 DJDJHtt如果把电荷与电流的连续方程(3.3.1)作为一个基本方程，那末将上式与 (3.3.1)比较便得到vD所以 也不是一个独立的方程。归纳起来麦克斯韦方程组中两个散度方程（3.1.17c,d）包含在两个旋度方程（3.1.17a,b）以及电流与电荷的连续方程(3.3.1)中。所以如果把电流与电荷的连续方程作为基本方程，麦克斯韦方程组中只有两个

25、旋度方程是独立的。两个独立的旋度方程（3.1.17a,b）以及电流与电荷的连续方程(3.3.1)共包含E、D、B 、H，J 五个矢量和一个标量 ，每个矢量又有三个分量，所以这三个独立的方程共有 16 个独立的标量场分量，而这三个独立的方程总共只包含 7 个独立的标量方程，所以仅从麦克斯韦方程以及电流与电荷的连续方程出发还不足以解出 16 个独立的标量场分量。我们还需要另外九个标量场方程，这就是第一章提到的由介质特性决定的三个方程（3.4.1）（3.4.2）（3.4.3）EJc式（3.4.1） 、 （3.4.2）将 D 跟 E、B 跟 H 联系起来，式（3.4.1 ）反映介质在电场作用下发生极化

26、，而式（3.4.2）反映介质在磁场作用下发生磁化。其中叫介质介电常数，叫介质的磁导率。引入相对介电常数 r、相对磁导率 r 后， 、可表示为980rF/m， H/m 分别叫做真空或自由空间介电常数与磁导率。12085.714式（3.4.3）将导体中电流密度 Jc 与电场强度 E 联系起来。式中是导体的电导率，单位是 S/m。方程(3.4.1)-(3.4.3)叫做物质的本构关系，每个方程可分解为三个标量方程，共有九个标量方程。它们作为辅助方程与麦克斯韦方程组一起构成一组自洽的方程。如果媒质在电场作用下既发生极化又发生磁化，同样在磁场作用下既发生磁化又发生极化。这种媒质称为磁电媒质，其本构关系为（

27、3.4.4）HED（3.4.5）B这种媒质是双各向异性的，各向异性介质在第四章会进一步讨论。式中 都是以并矢表示的张量。,若以上四个量都是标量，它仍然具有磁电交叉耦合，则成为双各向同性的，其本构关系为（3.4.6）HED（3.4.7）B对于氨基酸、DNA 这类物质，本构关系为（3.4.8）t（3.4.9）具有这种本构关系的介质称为手征介质。、等完全由电磁场所在空间的介质的特性决定。不同的介质，、就不一样。自由空间、水、等离子体等都是电磁场所存在空间的介质，它们各自的特性不同，、 、也就不等。所以电磁场所存在空间的介质可以按 、进行分类。如果 、与空间坐标无关，就是均匀介质，否则就是不均匀介质。

28、、与频率无关叫非色散介质，否则就是色散介质。如果、与电磁波在空间传播的方向性无关，叫做各向同性介质，否则就是各向异性介质。本构方程为线性关系所表示的介质称为线性介质。线性介质中、不是电场 E 或磁场 H 的函数。在非线性介质中，电极化强度 P、磁化强度 M 与 E、H 不再是线性关系（3.4.10）1230eeeEEP（3.4.11）mmHM因此 、不再是常量而跟 E、H 幅度有关。 和 等分别叫做介质123,ee123,m的一次、二次、三次电极化率和磁化率。根据物质结构的经典电子理论，、为频率的函数，在高频电场作用下，D 滞后于合成电场强度 E，B 滞后于合成磁场强度 H。、为复数（3.4.

29、12）“j99（3.4.13）“j()是复介电常数的实部，它与频率函数的关系确定电磁波在介质中传播的色散特性；“()为复介电常数的虚部，由它确定电磁波在介质中的损耗。对于复磁导率() 的实部()和虚部“( )也可作类似的解释。一种具有电子极化、离子极化和偶极子极化三种机构的假想介质的和“与频率关系如图 3-6 所示。这个图着重示出了这三种极化机构所影响的频率范围。在技术科学中通常用介质损耗角 e 来表示介电损耗。 e 定义为（3.4.14）1tan“/e由于实际上对于一般介质，总有 ，所以11“/ejjDE此式表明介质损耗角 e 实际上表示电介质中电位移矢量 D 与电场强度 E 之间的相位差。

30、关于金属材料的介电常数，对于微波及其以下频率的电磁波，介电常数虚部是主要的，这时金属呈现导电性，电磁波在金属中受到强烈衰1“减。对于紫外线或更短波长的电磁波， ，金属呈现电介质特性，对于电磁波1“,近乎透明。介电常数实部和虚部之间有内在关系，这是克莱末-克郎宁关系（3.4.15）20“1rr d（3.4.16）1“rr式中为复频率， 为的某一实正值。克莱末-克郎宁关系指出，色散介质（ r 与频率有关）一定有损耗，而损耗介质（“ 0）一定色散。导出克莱末-克郎宁关系时所依据的原则是十分基本的。除因果律外，仅要求系统是线性的，因此克莱末-克郎宁关系具有普遍性。其它线性系统的复响应函数实部和虚部之间

31、也有类似关系。线性、均匀、各向同性、无色散的介质，通常叫做简单介质。很大的介质称为导体，很小的叫做绝缘体。为无穷大的介质称为完纯导体，而 = 0 的介质叫完纯介质。良导体的介电常数很难测量，其相对介电常数的实部通常视作 1。对于一般介质， r1。在等离子体中 r 可以小于 1，甚至为负。对于大多数线性介质，其磁导率与真空磁导率非常接近，r 一般可视作 1。对于铁磁介质， r1，通常是非线性的。用麦克斯韦方程求解电磁问题时，首先要把场所在空间的介质特性描述出来。、 、是描述介质特性的量。这就是说，只有在所研究空间、的具体表达式知道后，才能对麦克斯韦方程求解。所以，对于两无限大平行导电板 图 3-

32、7(a)空间电磁场问题的求图 3-6 典型介质的和 “与频率关系100解，首先要对所研究空间（y = 0 到 y = d 两平行板之间的空间）填充的介质特性进行具体描述。在图 3-7 所示情况下介电系数 是 y 的函数，并表示为（3.4.17a）dy121其图解示于图 3-7(b)。如果假定介质 1、2 是绝缘介质，不导电，其磁导率 1、 2 近似为 0，则得到（3.4.17b）0（3.4.17c）式（3.4.17）就是对我们所研究空间介质特性的具体描述。从麦克斯韦方程以及辅助方程（3.4.17） ，并在给定的边值条件下，就能得出图 3-7 所示系统场问题的解。因此我们对电磁问题的研究，一定要

33、学会如何用、描述介质的特性。（a） （b）图 3-7 层状介质填充的平行导电板系统（a）两层状介质填充的平行导电板系统（b）导电板间介质介电系数分布3.5 洛仑兹力3.5.1 洛仑兹力方程带电量 q、速度为 v 的质点在电磁场中受到的力为洛仑兹力方程所描述（3.5.1）)(BEF力 F 的单位是牛顿（N） ，电量 q 的单位是库仑（C ） 。洛仑兹力中第一项 qE 是电场力。如果把点电荷 q1 作用于点电荷 q2 的库仑力 Fe 理解为点电荷 q1 产生的电场 对点电荷 q2 的作用，那末洛仑兹力第一项反映的就是库214r仑力，它是带电体相互间作用规律的实验总结。第二项磁场力也是实验规律的总结

34、。实验得出通电导线在磁场中受力 ，I 为导线上流过的电流，dl 的方向为导线上电BdlFm流方向。如果电流 I 只是电荷 q 运动引起的，即 ，此时 。磁场力 FmvlBvqFm正比于 v 与 B 的叉积。静止电荷 v = 0，所以磁场对静止电荷不起作用。对运动电荷也仅当其速度 v 有与 B 垂直的分量时， ，磁场才对运动电荷起作用。磁场对运动电荷的作用力总是与运动电荷的速度 v 垂直，所以磁场力总是使荷电质点运动轨迹弯转。洛仑兹力方程将电磁学与力学联系起来。因为物质是由原子构成的，而原子由带负电的电子与带正电的核组成。所以洛仑兹方程描述了电磁场对构成物质的基本单元电子和核（它们都可看成荷电质

35、点）的作用，而物质对电磁场的作用则由麦克斯韦方程和物质的y0d2d121导电板导电板yd1 d2120101本构关系反映出来。本书较少涉及洛仑兹力方程，当研究场与电荷相互作用时，洛仑磁力方程是必不可少的。下面我们用洛仑兹力方程推导等离子体的本构关系。3.5.2 等离子体等离子体是电离了的气体，含有大量带正电的离子和带负电的电子，与束缚在原子中的带负电的电子和带正电的核不同，等离子体中的电子和离子可以自由运动。离开地面80120km 高空的电离层就是一个等离子体，电离层是由太阳辐射来的紫外光电离高空大气而形成的。如果电场作用于等离子体，等离子体中的电子和离子将受电场力作用而运动。因为电子质量比离

36、子质量小得多，离子的运动可忽略。对于时谐场，电子受到的力，按洛仑兹力方程为（3.5.2）EFe式中 库，所以电子受到的力也是随时间作简谐变化的。在此简谐力作用下，1906.e电子将在平衡位置附近作简谐振动。假设 x 为电子离开正离子的位移，在电子作简谐振荡假定下，按牛顿第二定律。（3.5.3）x22mdt式中 kg 为电子质量。为时谐电场 E 的角频率。根据偶极子定义，偶极矩310.9m密度 P 为（3.5.4）Ne式中 N 为等离子体中单位体积内的电子数。将式（ 3.5.3）的 x 代入式（3.5.4） 、再利用式（3.5.2）得到（3.5.5）E2m后面将证明，任何介质中 D 由自由空间部

37、分 与介质极化产生的电偶极矩 P 两部分构成。E0等离子体也是一种介质，所以等离子体中 D 也由自由空间部分 与等离子体部分 P 构成，0即（3.5.6）PE20200 1PNe式中 （3.5.7）02me叫做等离子体频率。所以等离子体可用一有效介电常数为（3.5.8）201Pe的介质等效。电离层中电子浓度随电离层离开地面的高度以及昼夜时间而变化。白天的典型值为1012 电子/m 3，相应的 P=5.64107rad/s，或 fP=9MHz。因此，如果电磁场的频率 ffP，电离层与自由空间无多大差别。但是对于较低频率的电磁场，可以为负。第五 章我们将对102为负的介质进行讨论。3.6 坡印廷定

38、理电场 E 的量纲是 V/m，磁场 H 的量纲是 A/m，E 与 H 乘积的量纲是 W/m2，与功率流密度的量纲相同。所以 E 与 H 的乘积与电磁功率流有关。两矢量的乘积有点积和叉积，因为点积是标量，而功率流是矢量，所以我们定义一个矢量 S(r, t)，它是 E(r, t)与 H(r, t)的叉积，即（3.6.1）ttt,rrS矢量 S(r, t)是否表示电磁功率流尚需进一步分析。电磁运动服从麦克斯韦方程，关于电磁功率流的分析还得从麦克斯韦方程组出发。为此用 E 点乘式（3.1.17b） 、H 点乘式（3.1.17a） ，得到（3.6.2）ttttHHE（3.6.3）tJ这里我们利用了本构关

39、系 ， 。两式相减并利用恒等关系DB()ttttE得到（3.6.4）22ttttttSHJE对上式两边在域 V 内作体积分并利用散度定理（1.5.32）得到dVtdVttdVtttVS 22 JEHSd（3.6.5）， 具有单位体积能量的量纲。以后将证明， 表2tHtE 2tH示单位体积中瞬时储存的磁场能，而 表示单位体积中瞬时储存的电场能。根2t据电路原理 表示单位体积中功率损耗，而 表示源提供的功率。tJ tJE所以式（3.6.5）的右边表示体积 V 内源提供的功率以及 V 内储存能量随时间的减少率。根据能量守恒关系，它应当等于从体积 V 流出的功率。所以式（3.6.5）左边 就表St d

40、示从 V 流出的电磁功率，而 S(t)就表示电磁功率流。式（ 3.6.4）或（3.6.5）表示的电磁能流关系叫做坡印廷定理，而矢量 S(r, t)叫做瞬时坡印廷功率流。对于时谐场，定义复数坡印廷功率流 S(r)，它是复矢量 E(r)与 H(r)的共轭复矢量 H*(r)的叉积。103（3.6.6）*SrEHr记住（3.6.6）定义的复数坡印廷矢量不是时间 t 的函数。通过复数坡印廷功率流 S(r)求瞬态坡印廷功率流 S(t)的时间平均值极为方便（3.6.7）rHE*2 0 Re1)(,(),(,1tdzyxtzyxtT因此时间平均坡印廷功率流的计算可简化为取复数坡印廷功率流 实*ErH部的运算。

41、注意本书瞬态坡印廷功率流与复数坡印廷功率流虽然用了相同的符号 S，但瞬态坡印廷功率流都标明是 t 的函数，即 S(t)，不会引起混淆。复数坡印廷功率流的物理意义也可从复矢量形式的麦克斯韦方程得出，将代入式（3.2.8） 、 （3.2.9）BED ,（3.6.8）jrHr（3.6.9）JE式中 、可以为复数，也可能与空间坐标有关 “j以 H(r)的共轭复数 H*(r)点乘式（3.6.8） ，再用 E(r)点乘式(3.6.9) 的复共轭，相减，如果媒质中只有传导电流，即 J ，可得c（3.6.10）2*22|jEHEr或者 2*|jS2 22211(“|“|)|j rrrH（3.6.11）emrw

42、jp式中 （3.6.12）222R(|“|)|SEr（3.6.13）21|Hr（3.6.14）|eEwe、w m 分别表示时间平均电场能密度与磁场能密度，p r 代表单位体积内电阻损耗与介质损耗。欧姆损耗由媒质的有限电导率引起，它等于 ，而介质损耗反映介质的极化或2E磁化跟不上电场或磁场的变化，即存在迟滞效应，产生迟滞损耗。例如水分子极化恢复力较强，在交变场中就存在迟滞损耗，而且电场随时间变化愈快，迟滞损耗功率就愈大，这部分损耗与欧姆损耗一起转化为热能。如对式（3.6.12）由封闭曲面 S 包围的元体积 V 积分，并利用矢量分析中的散度定理(1.5.32)，得到104 VemrS dVwjpd

43、 0 )(2(nr（3.6.15）RWP（3.6.16）V VR EdP 222 |)|“|(H（3.6.17）mdwW （3.6.18）Vee 式中 n0 为闭曲面 S 向外的法向单位矢量。式（3.6.15）左边 表示通过闭曲Sd 0nr面 S 流入体积 V 的总电磁功率，它是复数。式（3.6.15）右边第一项实部 PR 表示体积 V 内的介质损耗与欧姆损耗；右边第二项虚部中 Wm、W e 分别表示体积 V 内总的磁场能和电场能。所以式（3.6.15）表示，流入闭曲面 S 包围的体积 V 内的复数坡印廷功率的实部等于体积 V 内平均损耗的功率。当体积 V 内储存的磁场能与电场能的时间平均值不

44、相等时，对于时间呈现电性的或磁性的这部分平均净储能，需要用复数坡印廷功率流的虚部来平衡。在一个闭合的区域中所包含的电磁场系统与外界交换能量时，可以等效地表示成具有一定端口的网络系统，系统中贮存的电能和磁能的时间平均值之差可用网络输入阻抗的电抗部分等效地表示。【例 3-5】如果某区域内 ，假定、是实数，求 E(t)、H (t)、S(t)、，jkzeE0x以及电场能 UE(t)，磁场能 UH(t)及其平均值、。解：根据式（3.6.9） jkzej 01yrr所以 )cos(Re)(0tttjkzxx )s(0kztEeEtjy)(cs)( 20ztktt zHSRe21*)(cos20kztEtU

45、2kH04tE202EkUH【例 3-6】由半径为 a 的两圆形板构成一平板电容器，间距为 d，其间充以介电常数为 、+Vmcost dz, 图 3-8 例 3-6 之图2a105电导率为的介质，如图 3-8 所示。假设两板间加电压 V = Vmcost，且 很低并可略去电容器的边缘效应，电容器中电场 ，求tdmcos0zE（1）电容器中任一点之 H（2）坡印廷功率流的瞬时值 S(t)（3）电容器中热损耗功率 P（4）证明供给电容器的平均功率等于其中的平均热损耗功率解：（1）电通量密度 ，位移电流密度 ，tdVmcos0zED tdVtmdsin0zDJ传导电流密度 ，根据全电流定律 得cJ lSc JH到 22cossinmmcdVHJttd 所以 01osinmVt（2） 221ccossinosin4mmmtt ttdddtt00SE z（3）热损耗功率 P 为 tVdatdVtaVJI mmmc 2222 coscoss平均功率损耗为 2 0t1Tv（4）供给电容器的功率：将 E、H 写成复矢量形式 012mmVdjd0z供给电容器功率流密度Sav * 01Ree2mav Vjd sEHz进入电容器的功率为 22 4 mmS