1、长沙理工大学二手货 QQ 交易群 146 808 417长沙理工大学模拟考试试卷试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011 专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一、判断题（正确答案填,错误答案填。每小题 2 分，共 10 分）1.设 n阶方阵 CBA,可逆且满足 EAB，则必有 ECBA （ ）2.设 21,x是 bX的解，则 21x是 bX的解 （ ）3.若矩阵 的列向量组线性相关，则矩阵 的行向量组不一定线性相关 （ ）4.设 表示向量 的长度，则 （ ）5.设 21,x是 bA的解，则
2、21x是 0A的解 （ ）二、填空题：(每小题 5 分，共 20 分)1.计算行列式 23104 ；2.若 ,为 )(,bX的解，则 或 必为 的解；3.设 n 维向量组 m,:，当 n时， 一定线性 ，含有零向量的向量组一定线性 ；长沙理工大学二手货 QQ 交易群 146 808 4174.设三阶方阵 A有 3 个特征值 2，1，-2，则 2A的特征值为 ；三、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1. 21； 第 1 页（共 2 页）2.若线性方程组 41433221ax有解，问常数 4321,a应满足的条件？3.设 s,21 是方程组 bXA的解向量 )0(，若 skk21也是的解，则
3、 skk21；4.求齐次线性方程组 023241xx的基础解系；5.已知矩阵 yA3与矩阵 1B相似，求 yx,的值；6.设 323212215axf为正定二次型，求 a.四、证明题（10 分）：设向量组 32,线性无关，长沙理工大学二手货 QQ 交易群 146 808 417证明 3211线性无关。长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称： 线性代数 试卷编号：1一、判断题（正确答案填,错误答案填。每小题 2 分，共 10 分）1， 2， 3， 4, 5, 二、填空题：(每小题 5 分，共 20 分)1，42；2， 0AX；3，相关，相关； 4，4，1，4.三、计算题（每小题 10 分，共 60
4、 分）1. 21= 215=5 21 （5 分）=5 105 （5 分）2. )(bA432101a（2 分）432110aa（5 分）若有解，则 A 的秩与 )(b的秩相等，即 4321a0。 （3 分） 3. 2671706124430 23132 rr（6 分）(1) 当 时，矩阵的秩为 2； （2 分）(2) 当 2时，矩阵的秩为 3. （2 分）第 1 页（共 3 页）4.对系数矩阵作作初等行变换 102213213r 0130)( 2123 rr得同解方程组 4231x令 0142x， ； 得 013x， 3基础解系为： TT,0215.解： A与 B相似， 特征多项式相同，即 E
5、BA亦即 xyyxE31)(3126)4(42)(13)(2xy 17,2yx6.解： f的矩阵为 52aA f为正定二次型， 的各阶主子式大于 0即 1a0， 2211aa0)45(A0第 2 页（共 3 页）解联立不等式组 21a0 或 )45(a0 1或 0 0即当 54 a0 时， f为正定二次型四、证明题（10 分）：证明：设存在一组数 321,k使得 0)()(32132121 kk0)()( 31321 k， （3 分）又向量组 ,线性无关，因此 0,00321321 kkk， （7 分）由此可知，只有当 ,3时，等式 )()(3212121 才成立，即向量组 , 线性无关。 （
6、10 分）第 3 页（共 3 页）长沙理工大学模拟考试试卷试卷编号 2 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 课程名称（含档次）线性代数 课程代号 专 业 层次（本、专） 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一、判断题：(正确填,错误填. 每小题分，共 10 分)1. BA,是 n阶矩阵，则 BA；（ ）2.若 均为 阶矩阵，则 )()(BRR；（ ）3.向量组 s,21 线性相关，则至少含有一个零向量；（ ）4.若 是齐次线性方程组 0X的两个线性无关解向量，则 11k不是0X的解； （ ）5.设 为 n阶矩阵，则 与 2具有相同的特征向量。 （ ）二、填空题：(每小题 5 分，共 20 分)1
7、.若行列式 aDij，则 ija ；2. 321；3.设向量组 T： m,21 ，若 T 线性相关，则秩 T m；若 T 线性无关，则秩 T m;4.如果三阶矩阵 A对应于特征值 321,的特征向量为 321,p，令 ),(321p，则 1 。三、计算题：(每小题 10 分，共 60 分)第 1 页（共 2 页）1. efcfbda； 2.计算 321；3.设 21aA, 3210xb,若线性方程组 bAx无解,则 a ；4.求解非齐次线性方程组: 144321；5.设 3 阶矩阵 的特征值为 ，对应的特征向量依次为 ,010321pp求 A；6.用配方法化二次型 32214xxf为标准形，并
8、求所用的可逆变换矩阵 四、证明题：(10 分)设 B,为 n阶矩阵，且 A为对称矩阵，证明 ABT也是对称矩阵.第 2 页（共 2 页）长沙理工大学模拟试卷标准答案课程名称： 线性代数 试卷编号：2一、判断题（每小题 2 分，共 10 分）1，2，3，4，5，；二、填空题：(每小题 5 分，共 20 分)1， an)；2， 96341；3， mT,；4， 3210三、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1. ffdabcefcfbd（4 分）afaef41；（10 分）2. AXE)2( （2 分） 02EA, EA可逆X1)( （5 分） 0101001,2EA（8 分）X（10 分）
9、3.解 01251053632A（5 分）4324x（7 分）第 1 页（共 3 页）通解为 1021432kx4. 20143213056,4321 aaa（5 分）当 时， 4),(42R向量组 31线性相关. （10 分）5. 解 令 01,2pP， P可逆 10111,E0P（4 分） 12PA（6 分） 2435（10 分）6.解： 32214)(xxf = 23321 4)()(xx （4 分）令 3321y, 即 331y（6 分）则原二次型化为标准形 23214f（8 分）可逆变换矩阵第 2 页（共 3 页）102C（10 分）四、证明题：（10 分）证明：因为 ABBATTT
10、)()( （8 分）所以 BT也是对称矩阵。 （10 分）第 3 页（共 3 页）长沙理工大学模拟考试试卷 试卷编号 3 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 专 业 层次（本、专） 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一、判断题：(正确填,错误填. 每小题分，共 10 分) 1.若五阶方阵的行列式 的行列式 ，则 ；（ ） 2.设 为 阶方阵， 为 阶单位阵，则 ；（ ） 3.若向量 不能用向量 表示，则 线性无关；（ ） 4.任何一个齐次线性方程组都有解；（ ） 5.若 均为 阶正交矩阵，则 也必为正交矩阵。（ ） 二、填空题：(每小题 5 分，共 20
11、 分) 1.若 阶方阵 中有一列向量是其余列向量的线性组合，则 ； 2.若有 阶可逆矩阵 ，则 可逆， 的逆矩阵为 ； 3.齐次线性方程组 的基础解系中的解向量一定线性 ； 4.设 则 由 表示是为 = 。 三、计算题：(每小题 10 分，共 60 分) 1.； 2.设，求 ； 3.已知三阶方阵 且 的每一个列向量都是的解，1）求 的值，2）求 ； 第 1 页（共 2 页） 4.求矩阵的行向量组的一个最大无关组； 5.设三阶矩阵 的特征值为 ，对应的特征向量为 ，求 ； 6.写出二次型 的矩阵 ，并判断 是否为正定。 四、证明题：(10 分) 若 线性无关，试证 也线性无关。 长沙理工大学模拟
12、试卷标准答案课程名称： 线性代数 试卷编号：3一，判断题（每小题 2 分，共 10 分）1，2，3， 4，5，；二：填空题：(每小题 5 分，共 20 分)1，0；2， A*；3，无关；4 ， 3；三：计算题（每小题 10 分，共 60 分）1， 果根 据 范 德 蒙 行 列 式 的 结原 式 81612794311 （3 分） 280)()2(3)()3(2)( ；（10 分）2， ,0AB（3 分） ,025BA（3 分） 135A；（4 分）3， （1）根据已知 ，可知方程组有非零解，则系数行列式 0132；（6 分）（2）因为已知齐次方程组有非零解，则解空间的维数 2，所以 0B；（4
13、 分）4， 001120203148（6 分）因此第一列与第二列是一个最大无关组；（10 分）5，根据已知存在矩阵 321,pP，使得 101AP， （4 分）第 1 页（共 2 页）所以 9219032011PA（8 分）98254（10 分）6， 021A， （5 分）因为 04105,451,0， 04A， （9 分）因此 f既非正定也非负定；（10 分）四：证明题：（10 分）证明；设存在一组数设 321,k使得 0)2()()2(31 kk， （3 分）0)()2( 3231 k， （4 分）又向量组 2,线性无关，因此 ,0321321k， （9 分）由此可知， ,也线性无关。 （10 分）第 2 页（共 2 页）
