1、武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书I设计任务书学生姓名： 梅浪奇 专业班级： 自动化 1002 班 指导教师： 肖纯 工作单位： 自动化学院 题 目: 零极点对系统性能的影响分析 初始条件：系统开环传递函数为 或 ，其中1)s(/a21)G1)s(s/p)22(GG1（s）是在阻尼系数 的归一化二阶系统的传递函数上增加了一个零点得到的，5.0G2（s）是在阻尼系数 的归一化二阶系统的传递函数上增加了一个极点得到的。要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）（1） 当开环传递函数为 G1（s）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线；（2） 当开环传递函数为
2、 G1（s）时，a 分别取 0.01，1，100 时，用 Matlab 计算系统阶跃响应的超调量和系统频率响应的谐振峰值，并分析两者的关系；（3） 画出(2)中各 a 值的波特图；（4） 当开环传递函数为 G2（s）时，绘制系统的根轨迹和奈奎斯特曲线；（5） 当开环传递函数为 G2（s）时，p 分别取 0.01，1，100 时，绘制不同 p 值时的波特图；（6） 对比增加极点后系统带宽和原二阶系统的带宽，分析增加极点对系统带宽的影响； （7） 用 Matlab 画出上述每种情况的在单位反馈时对单位阶跃输入的响应； （8） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须写清楚分析计算的过程，并
3、包含 Matlab 源程序或 Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书II时间安排：任务 时间（天）指导老师下达任务书，审题、查阅相关资料 2分析、计算 2编写程序 1撰写报告 2论文答辩 1指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书目 录1 综述 .12 增加零极点对系统稳定性的影响 .12.1 增加零点对系统稳定性的影响 22.1.1 开环传递函数 G1（s）的根轨迹曲线 22.1.2 开环传递函数 G1（s）的奈奎斯特曲线 32.2 增加极点对系统稳定性的影响 32.2.
4、1 开环传递函数 G2（s）的根轨迹曲线 32.2.2 开环传递函数 G2（s）的奈奎斯特曲线 53 增加零极点对系统暂态性能的影响 .73.1 增加零点对系统暂态性能的影响 73.1.1 零点 a=0.01 时的阶跃响应和伯德图 73.1.2 零点 a= 1 时的阶跃响应和伯德图 93.1.3 零点 a= 100 时的阶跃响应和伯德图 103.1.4 原系统的阶跃响应和伯德图 .123.1.5 综合分析 .133.2 增加极点对系统暂态性能的影响 143.2.1 极点 p=0.01 时的阶跃响应和伯德图 143.2.2 极点 p=1 时的阶跃响应和伯德图 .153.2.3 极点 p=100
5、时的阶跃响应和伯德图 .173.2.4 综合分析 .184 增加零极点对系统稳态性能的影响 .194.1 增加的零极点在 s 的左半平面 .194.2 增加的零极点在 s 的虚轴上 .235 设计心得体会 .266 参考文献 .27附录 1：课程设计中所用到的程序 .28附录 2：本科生课程设计成绩评定表 .40武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书1零极点对系统性能的影响分析1 综述在自动控制系统中，对系统各项性能如稳定性，动态性能和稳态性能等有一定的要求，稳定性是控制系统的本质，指的是控制系统偏离平衡状态后自动恢复到平衡状态的能力。系统动态性能是在零初始条件下通过阶跃响应来定义的，对于稳定
6、的系统，动态性能一般指系统的超调量、超调时间、上升时间、调整时间，描述的是系统的最大偏差以及反应的快速性；稳态性能指的是系统的稳态误差，描述的是系统的控制精度。在本文中，采用增加零极点并变化其值的思路，从时域和频域两个方面来研究高阶系统的各项性能指标，并借助工程软件 matlab 通过编程来绘制系统的根轨迹曲线、奈奎斯特曲线，阶跃响应曲线以及波特图曲线，研究系统的零极点对系统性能的影响。2 增加零极点对系统稳定性的影响线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为 S 平面的左半部分（不包括虚轴） 。由于此处讨论的是开环零极点对系统稳
7、定性的影响，而闭环传递函数的特征方程不易求出，在时域中直接分析较为困难。相比之下，以开环零极点作为研究对象的根轨迹法和频域法则更显优势。基于这层考虑，本节主要通过根轨迹法和频域法分析增加零极点对系统稳定性的影响。设系统开环传递函数分别为 和 ，其中1)s(/a21)G1)s(s/p)22(GG1（s）和 G2（s）分别是在阻尼系数 的归一化二阶系统的传递函数上增加了一5.0个零点或极点的结果。下面将首先通过根轨迹法对 和 的稳定性进行分析，接着1(s)2在频域中通过奈奎斯特曲线对得出的结论作进一步验证。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书22.1 增加零点对系统稳定性的影响2.1.1 开环传
8、递函数 G1（s）的根轨迹曲线系统开环传递函数 的根轨迹为广义根轨迹，系统闭环特征方12(/a)s)程为： 。将上式变换可得 20ssa12ks0其中 。1ka设 ，所以，绘制开环传递函数 的根轨迹，实际上就是原12s()+G1G(s)系统 的根轨迹。1s在 MATLAB 中建立 M 文件 M2_1.m(程序内容见附录 1)，运行后的结果如图 1 所示。图1 的根轨迹图G(s)从根轨迹图上可以看出，随着 k1值的改变，系统的闭环极点始终在 S 平面的左半部分，即增加零点并不改变原系统的稳定性。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书32.1.2 开环传递函数 G1（s）的奈奎斯特曲线当 a 分别
9、取 1,2,3,10 时，分别画出其对应的奈奎斯特曲线。在 matlab 中建立 M 文件 M2_2.m(程序内容见附录 1)。运行结果如图 2 所示。图2 G1（s）的奈奎斯特曲线由运行结果可以发现，当 a 取 1,2,3，10 不同的值时，其对应的奈奎斯特曲线均不包含点（-1j，0） ，根据奈奎斯特稳定判据知，此时的系统稳定。实际上当 a 取其它的值时，其对应的奈奎斯特曲线也不可能包围点（-1j，0） ，此处证明从略。2.2 增加极点对系统稳定性的影响2.2.1 开环传递函数 G2（s）的根轨迹曲线系统开环传递函数 的根轨迹为广义根轨迹，系统闭1)s(s/p)22(环特征方程为： 。将上式
10、变换可得 2s(+1)=0p武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书432k(s+)10其中 。21kp设 ，所以，绘制开环传递函数 的根轨迹，实际上就322(s+)G2G(s)是原系统 的根轨迹。2(在 MATLAB 中建立 M 文件 M2_3.m(程序内容见附录 1)，运行后的结果如图 3 所示。图3 G2（s）的根轨迹曲线从根轨迹上可以发现，当 k2 在 0 到间变化时，系统的闭环极点始终在 S 平面的左半部分，增加极点对该系统的稳定性无影响。但考虑到曲线有向右拉的的趋势，此时还不能断定增加极点对所有的闭环系统无影响。当原系统的 不再是 0.5 时，增加极点后系统的传递函数为 21(s/p
11、)s)G变换后可得 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书5322k(s+)10其中 。21kp下面分别画出阻尼系数 ，0.3，1，1.5，2 时增加极点的根轨迹图。0.在 matlab 中建立 M 文件 M2_4.m(程序内容见附录 1)，运行后的结果如图 4 所示。图 4 G（s）的根轨迹曲线由图 4 可以发现，当阻尼系数 =0.05,0.1 时，其对应的根轨迹曲线有一部分在 s平面的右边，即增加极点后系统的稳定性会受到影响。2.2.2 开环传递函数 G2（s）的奈奎斯特曲线当 p 分别为 0.01,0.1，1,10,100 时，分别画出 G2（s）和 =0.1 时 G（s）的奈奎斯特曲线
12、。matlab 中建立 M 文件 M2_5.m(程序内容见附录 1)。运行结果如图 5、图 6 所示。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书6图 5 G1（s）的奈奎斯特曲线图 6 G（s）的奈奎斯特曲线（=0.1）武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书7分析以上曲线，,当 p 变化时，G2（s）系统的奈奎斯特曲线不会包含点（-1j，0） ，根据奈奎斯特稳定判据知，此时的系统稳定。但当原系统的阻尼系数 =0.1 时，此时若增加极点-1，即 p=1，则系统的奈奎斯特曲线与实轴的交点将在（-1j，0） ，的左边，即包含点（-1j，0） ，此时的系统将不再稳定通过本节根轨迹曲线及奈奎斯特曲线分析可以
13、得出结论：增加零点不改变系统的稳定性；增加极点改变极点的稳定性。3 增加零极点对系统暂态性能的影响系统稳定是系统能够正常工作的前提，因为当系统不稳定时，任何扰动都会使系统的输出趋于无穷。但对于稳定系统，还需要有较好的动态性能。一般要求系统跟踪输入跟踪变化的速度要快，跟踪精度要高。本节将从时域和频域两个方面进行讨论。在时域中将主要分析系统的超调量和调节时间，在频域中将主要讨论系统的谐振峰值和带宽，分析增加开环零极点对系统暂态性能的影响。为了讨论方便，这里仍选用第二节中的 G1（s）和 G2（s ）为研究对象。3.1 增加零点对系统暂态性能的影响在开环传递函数 G1（s）中，当增加的零点分别是 0
14、.01，1,100 时，画出其对应的阶跃响应曲线和伯德图，并分析其对应的超调量，调节时间谐振峰值和带宽。3.1.1 零点 a=0.01 时的阶跃响应和伯德图此时，系统的开环传递函数为 ,闭环传递函数为 。120s1G()120s1()在 matlab 中建立 M 文件 M3_1.m(程序内容见附录 1)。运行结果如图 7、图 8 所示，同时在 matlab 命令窗口得到 Mr=100.0050，Mb=141.2573 。由图 7 可以算出超调量 0.98.5%1097.8%p调节时间武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书8ts =270s 图 7 a=0.01 时 G1 的阶跃响应曲线武汉理工
15、大学自动控制原理课程设计说明书9图 8 a=0.01 时 G1 的伯德图3.1.2 零点 a= 1 时的阶跃响应和伯德图当零点 a=1 时，系统的开环传递函数为 122(s)1G)闭环传递函数为 122(s)在 matlab 中建立 M 文件 M3_2.m(程序内容见附录 1)。运行结果如图 9、图 10 所示，同时在 matlab 命令窗口得到 Mr=1.4676，Wb=1.816 。由图 9 可以算出超调量 0.64.5%102.8%p调节时间ts =3.82s 图 9 a=1 时 G1 的阶跃响应曲线武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书10图 10 a=1 时 G1 的伯德图3.1.3
16、 零点 a= 100 时的阶跃响应和伯德图当零点 a=100 时，系统的开环传递函数为 132(0.s1)G)闭环传递函数为 132(.s)01s)在 matlab 中建立 M 文件 M3_3.m(程序内容见附录 1)。运行结果如图 11、图 12 所示，同时在 matlab 命令窗口得到 Mr=1.1547，Wb=1.2712。由图 11 可以算出超调量 0.65%103%p调节时间武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书11ts =8.83s图 11 a=100 时 G1 的阶跃响应曲线武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书12图 12 a=100 时 G1 的伯德图3.1.4 原系统的阶跃
17、响应和伯德图增加零点前，系统的开环传递函数为 142(s1)G)闭环传递函数为 142(s)在 matlab 中建立 M 文件 M3_4.m(程序内容见附录 1)。运行结果如图 13、图 14 所示，同时在 matlab 命令窗口得到 Mr=1.1547，Wb=1.2711。由图 11 可以算出超调量 0.652.%103.4%p调节时间ts =8.38s 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书13图 13 a=100 时 G1 的阶跃响应曲线图 14 a=100 时 G1 的伯德图3.1.5 综合分析按上述方法，还可算出 a=0.1 和 a=10 时系统的各项参数，现将结果总结如表 1 所示
18、。表 1 零点 a 取不同值时系统的各暂态指标 超调量 % 谐振峰值 Mr 调节时间 ts(s) 带宽 Wb原系统 30.4% 1.1547 8.38 1.2711a=0.01 97.8% 100.005 270 141.2573a=0.1 78% 10.05 16.62 14.1609a=1 20.8% 1.4676 3.82 1.816a=10 26.8% 1.1576 5.50 1.2766a=100 30% 1.1547 8.83 1.2712分析表 1 可以发现，增加零点会对系统的超调量、调节时间、谐振峰值和带宽产生影响，且增加的零点越大，对系统的暂态性能影响越小。当 a 增加到 1
19、00 时，系统的武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书14各项暂态参数均接近于原系统的参数。增加的极点越靠近虚轴，其对应系统的带宽越小。同时还可以发现，时域中的超调量和频域中的谐振峰值在数值上亦存在一定的关系。具体表现为超调量减小时，谐振峰值也随之减小。综上分析，增加零点对系统暂态性能的影响可以总结为：增加的零点离虚轴越近，对系统暂态性影响越大，零点离虚轴越远，对系统的影响越小。3.2 增加极点对系统暂态性能的影响在开环传递函数 G2（s）中，当增加的极点分别是 0.01，1,100 时，画出其对应的阶跃响应曲线和伯德图，并分析其对应的超调量，调节时间，谐振峰值和带宽。3.2.1 极点 p=0
20、.01 时的阶跃响应和伯德图此时，系统的开环传递函数为 ,闭环传递函数为2121(0s+)()G)2132s()在 matlab 中建立 M 文件 M3_5.m(程序内容见附录 1)。运行结果如图 15、图 16 所示，同时在 matlab 命令窗口得到 Mr=1，Wb=0.0100 。由图 7 可以算出超调量 ，调节时间 ts =250s 。%0p武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书15图 15 p=0.01 时 G2 的阶跃响应曲线图 16 p=0.01 时 G2 的伯德图3.2.2 极点 p=1 时的阶跃响应和伯德图此时，系统的开环传递函数为 122(s+)G闭环传递函数为 3s2s(
21、)在 matlab 中建立 M 文件 M3_6.m(程序内容见附录 1)。运行结果如图 17、图 18 所示，同时在 matlab 命令窗口得到 Mr=1，Wb=0.9992 。由图 7 可以算出超调量 ，0.73-5%10=4.6%p调节时间武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书16ts =19s图 17 p=1 时 G2 的阶跃响应曲线武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书17图 18 p=1 时 G2 的伯德图3.2.3 极点 p=100 时的阶跃响应和伯德图此时，系统的开环传递函数为 1232(0.s+)()G)闭环传递函数为 3.1s.1.0s2()在 matlab 中建立 M 文件
22、 M3_7.m(程序内容见附录 1)。运行结果如图 19、图 20 所示，同时在 matlab 命令窗口得到 Mr=1.1547，Wb=1.2711 。由图 7 可以算出超调量 ；0.654-%10=3.8%p调节时间ts =8.6s 武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书18图 19 p=100 时 G2 的阶跃响应曲线图 20 p=100 时 G2 的伯德图3.2.4 综合分析按上述方法，还可算出 p=0.1 和 p=10 时系统的各项参数，现将结果总结如表 1 所示。表 1：极点 p 取不同值时系统的各暂态指标超调量 % 谐振峰值 Mr 调节时间 ts(s) 带宽 Wb原系统 30.4%
23、 1.1547 8.38 1.2711p=0.01 0 1 250 0.01p=0.1 0 1 25 0.1008p=1 40.6% 1 19 0.9992p=10 34.6% 1.1518 10.6 1.2653p=100 30.8% 1.1547 8.6 1.2711分析表 1 可以发现，增加极点会对系统的超调量、调节时间、谐振峰值和带宽产生影响，且增加的极点越大，对系统的暂态性能影响越小。当 p 增加到 100 时，系统的武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书19各项暂态参数均接近于原系统的参数。增加的极点越靠近虚轴，其对应系统的带宽越小。综上分析，增加极点对系统暂态性能的影响可以总结为
24、：增加的极点离虚轴越近，对系统暂态性影响越大，极点离虚轴越远，对系统的影响越小。通过本节对时域和频域的各暂态指标分析，可以得到增加开环零极点对系统暂态性能的影响如下： 增加零点，会使系统的超调量增大，谐振峰值增大，带宽增加。 增加极点，会使系统的超调量减小，谐振峰值减小，带宽减小。 增加的零极点离虚轴越近，对系统暂态性影响越大；零极点离虚轴越远，对系统的暂态性影响越小。4 增加零极点对系统稳态性能的影响稳态性能指的是系统的稳态误差，描述的是系统的控制精度。本节主要研究原系统系统和增加零极点后系统在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下的稳态误差，分析增加零极点对系统性能的影响。原系统的开环传递函
25、数 为 0 型系统，不能跟踪斜坡输入和加速度输21sG()入。但能跟踪阶跃输入，其稳态位置误差系数和稳态误差分别为 x0Kp=limG(s)1().5+e当增加的零极点的位置不同，对系统的型别和稳态误差会产生不同的影响。应平时遇到的以最小相位系统为多，故下面主要分析其在 s 的左半平面，s 的虚轴上两种情况下对系统的暂态性能的影响。4.1 增加的零极点在 s 的左半平面当增加的零极点在 s 的左半平面时，系统的开环传递函数 32(sc)1G)武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书20421(sd)G仍为 0 型系统，不能跟踪斜坡输入和加速度输入。但能跟踪阶跃输入，其稳态位置误差系数 33x0K
26、p=lim(s)c221Gd稳态误差 13()=+Kp1ce24()/d由此可以发现，当增加的开环零极点在 s 左半平面时不改变系统的类型，但会改变系统的开环增益，使系统能跟踪的信号类别不变，但跟踪误差会有差别。下面将用 matlab 对上述结论进行验证。取 c，d 分别为 0.01， 1，100，在 matlab 中建立 M 文件 M4_1.m(程序内容见附录 1)画出其对应的单位阶跃响应，单位速度误差响应，单位加速度误差响应如图 21 图 26。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书21图 21 c 取不同值时对应的阶跃响应曲线图 22 d 取不同值时对应的阶跃响应曲线武汉理工大学自动控制
27、原理课程设计说明书22图 23 c 取不同值时对应的速度误差响应曲线图 24 d 取不同值时对应的速度误差响应曲线武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书23图 25 c 取不同值时对应的加速度误差响应曲线图 26 d 取不同值时对应的加速度误差响应曲线分析上述 matlab 仿真结果可以发现：当输入为单位阶跃信号时，c，d 取不同的值，输出均能趋于稳定，只是稳定值不同，当 c，d 分别为 1 时，实现无差跟踪，与理论相符；当输入稳单位速度信号和单位加速度信号时，c，d 取不同的值，其误差响应均趋于无穷，不能对输入信号进行跟踪，与理论相符。4.2 增加的零极点在 s 的虚轴上当增加的零极点在 s
28、 的左半平面时，系统的开环传递函数 52s(1)G)武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书24621s()G)可见增加零极点后系统的型别将会发生变化。增加零点后，系统的型别降低，将不能跟踪阶跃信号，速度信号和加速度信号；增加极点后，系统的型别升高，若系统稳定，则能够跟踪阶跃信号和速度信号。因 G6 的特征方程为 3210s在 matlab 中输入：roots(1 1 1 1)回车后得到ans =-1.0000 0.0000 + 1.0000i0.0000 - 1.0000i即说明 G6 临界稳定。为用 matlab 对增加零极点后的跟踪能力进行有效的仿真，这里设 721s()G)可以验证此时的
29、系统是稳定的。在 matlab 中建立 M 文件 M4_2.m（程序内容见附录 1） ，画出 G5 和 G7 的单位阶跃响应，单位速度误差响应和单位加速度误差响应如图 27 至图 29。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书25图 27 G5 和 G7 的单位阶跃响应图 28 G5 和 G7 的单位速度误差响应武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书26图 29 G5 和 G7 的单位加速度误差响应分析以上仿真结果可以发现：G5 系统的阶跃响应趋于 0，速度误差响应和加速度误差响应均为无穷大，即 G5 系统不能跟踪这三种典型信号，与理论相符；G5 系统的阶跃响应和速度误差响应趋于常值，速度误差响
30、应均为无穷大，即 G5 系统不能跟踪这三种典型信号，与理论相符。由以上分析可将增加零极点对系统稳态性能的影响总结如下：当增加的零极点在 s 的左半平面时，不改变系统的类型，使系统能跟踪的信号类别不变，但跟踪精度会有差别。 当增加的零点在 s 的虚轴上时，系统的型别降低，跟踪不同输入信号的能力下降。当增加的极点在 s 的虚轴上时，系统的型别升高，跟踪不同输入信号的能力增强。5 设计心得体会直接在时域中分析开环零极点对系统性能的影响较为困难，特别是系统的稳定性和动态性能，而这在频域中就相对简单多了。同时，对于系统的稳定性，利用根轨迹法分析更为直观，便捷。在设计过程中时有理论与 matlab 仿真结
31、果不相符的地方，例如分析增加不同极点对加速度信号的跟踪能力时，各输出加速度有部分重叠了，与理论分析不合。此时，想到了画加速度误差输出的加速度响应，直接观察误差终值，上述问题自然就得到了解决，且看起来更加直观，清晰。通过这些问题的发现，培养了我独立解决问题的能力，并对理论和 matlab 的使用有了更深的理解。通过本次课程设计，加深了对所学自动控制原理课程知识的理解，特别是系统稳定性分析，系统各项动态性能指标，稳态误差以及系统根轨迹等相关知识的理解。设计武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书27时借助MATLAB软件进行控制系统分析，进一步熟悉了 MATLAB语言及其应用，例如MATLAB中伯德
32、图绘制函数bode()，单位阶跃响应函数step() ，根轨迹绘制函数rlocus()，背景颜色修改函数figure(Color,1 1 1)等等。书写课程设计说明书时使用 WORD软件，使我掌握了许多WORD编辑和排版技巧。在此次课程设计中，我也深刻体会到了查阅资料的重要性。通过查阅网上和图书馆的相关内容，我才对本课题有了更深的理解，同时对课题中的问题有了更广的思路和更有的解决办法。总之，这次课程设计不仅加深了我对课本知识的理解，还让我体会到了很多在课本上学不到的知识，为将来的学习和毕业设计打下了良好的基础。6 参考文献1 王万良 . 自动控制原理M. 北京：高等教育出版社，2008.6.2 胡寿松 . 自动控制原理(第五版). 北京：科学出版社，20073 李道根. 自动控制原理. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，20074 吴晓燕，张双选. MATLAB 在自动控制中的应用. 西安：西安电子科技大学出版社，20065 王正林，王胜开等. MATLAB/Simulink 与控制系统仿真(第 2 版). 北京：电子工业出版社，2008
