1、第 1 页（共 6 页）河南科技大学2014 年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 652 考试科目名称： 离散数学 一、单项选择题(本大题共 15 小题，每小题 2 分，共 30 分)在每小题列出的备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。1-5：A D B D C 6-10：C D B A B 11-15：A D A B B二、填空题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)1. QP或 P2. 1 3. P 真值为 1，Q 的真值为 0 4. )()( RSRS5. R=, 6. 2,2, 7. , IA 8. ， 9. )1(2tn 10.
2、rev三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)1利用主析取范式，求公式 的类型。( 注：重言式、矛盾式或可满足式)()PQR解： FPR)()( )()(6 分)它无成真赋值，所以为矛盾式。(2 分)2 给定解释 I： D=2，3，L （x, y）为 L( 2 , 2 ) = L ( 3 , 3 ) = 1 , L ( 2 , 3 ) = L (3 , 2 )=0，求在解释 I 下的真值。(,)yxL解： (2 分) (2 分)010()3,(,2(,32,(),3(,2(, LLyLyxy(2 分) (2 分)第 2 页（共 6 页）3设 是模 12 的整数加群，求 G
3、 的生成元和所有子群12,GZ解：(1) ，小于 12 且与 12 互质的数是 1,5,7,11；所以，G 的生成元是 1,5,7,11 (2 分)()4(2) 12 的正因子有 1,2,3,4,6,12，则 的子群有：12Z1 阶子群 (1 分)1202 阶子群 (1 分 )26,3 阶子群 (1 分)1340,84 阶子群 (1 分)2,696 阶子群 (1 分)160,28,112 阶子群 (1 分)21,34,57,9014求下图的邻接矩阵和可达矩阵。解：(1) 求邻接矩阵 (4 分) 00100)(GA(2) 求可达矩阵 001)(2GA(1 分) 00100)(3GA(1 分)54
4、)(O(1 分)所以可达矩阵 00100432AP(1 分)第 3 页（共 6 页）5. 如下图所示的赋权图表示某七个城市 721,v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小，并计算其总造价。 解：(1) 用 Kruskal 算法求产生的最优树。算法为： 6161 54543377 2271712),(,9)(, vevwvevw选选选选选选(3 分)结果如图：(3 分)(2) 树权 C(T)=23+1+4+9+3+17=57 即为总造价。 (2 分)四、证明题 (本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分)1设论域 D=a
5、, b , c，求证： )()( xBAxBxA。证明： )( )()( )() )()xBAx cBAbaccbacbcbaxBxA(3 分)(3 分)(3 分)(1 分)第 4 页（共 6 页）2设 R 是 A 上一个二元关系， ),(),(|, RbccaAcAbaS 且有对 于 某 一 个试证明：若 R 是 A 上一个等价关系，则 S 也是 A 上的一个等价关系。证明：（1） S 自反的 (3 分)a，由 R 自反， ),(),(Raa， Sa,（2） S 对称的 (3 分) 传 递对 称定 义RSabbccS , ),()(,（3） S 传递的 (3 分) 定 义传 递SScaRcb
6、RceebddAca , ),()( ),(),(,由（1） 、 （2） 、 （3）得；S 是等价关系。 (1 分)3. 设是一代数系统，*是 R 上二元运算， ， ，则 0 是幺元且是独异点。,abRab证明：幺 a ， 00*,0*0 a即 为 幺 元 (3 分)乘 Rb,，由于+，在 R 封闭。所以 Rbaba，即*在 R 上封闭。(3 分)半群 c)*()*( )()()(cbacbaba c 所 以(3 分)因此 ， R，*是独异点。 (1 分)五、应用题(本大题共 2 小题，每小题 15 分，共 30 分)1假设英文字母 a，e ，h，n，p，r，w，y 出现的频率分别为 12%，
7、8%，15% ，7%，6%，10% ，5%，10%，求传输它们的最佳前缀码，并给出 happy new year 的编码信息。解： (1) 根据权数构造最优二叉树： (5 分)第 5 页（共 6 页）(2) 传输它们的最佳前缀码如上图所示， (5 分)a011；e111；h10；n110；p0101；r000；w0100；y001(3) happy new year 的编码信息为： (5 分)10 011 0101 0101 001 110 111 0100 001 111 011 000 附：最优二叉树求解过程如下：2设集合 A= a ,b , c , d 上关系 R= , , , ，请写出 R 的关系矩阵 MR 和关系图GR，并用矩阵运算求出 R 的传递闭包 t (R)。解：(1) R 的关系矩阵 MR01R(4 分)第 6 页（共 6 页）(2) R 的关系图 GR(4 分)(3) 用矩阵运算求 R 的传递闭包 t (R)012RRM(1 分)0123RR(1 分)0134RRM(1 分) 01432)( RRRt(1 分)所以，t (R)= , , , , , , , , (3 分)
