1、鲁教版八年级上册数学知识点第一章 分式一、分式1分式的概念：如果整式 A 除以整式 B, 可以表示成 的形式,且除式 B 中含有字母，那A么称式子 为分式。其中, A 叫分式的分子, B 叫分式的分母。B注意：判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后是整式也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。如:x 2x 是分式,虽然约分之后等于 x 是整式,但约分前是分式。 是常数 ,所以 a/ 不是分式 而是整式。2有理式：整式和分式统称有理式。(整式的分母中不含有字母)3关于分式的几点说明:(1)分 式 的 分 母 中 必 须 含 有 未 知 数 ；(2)分式
2、是两个整式相除的商式,对任意一个分式，分母都不为零；(3)分数线有除号和括号的作用,如： 表示（ a b）( c d)；dc(4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母0)，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零” 。4一般的，对分式 AB 都有：分式有意义 B0 ；分式无意义 B=0；分式的值为 0 A=0 且 B0；分式的值大于 0 分子分母同号；分式的值小于 0 分子分母异号。5基本性质：分 式 的 分 子 和 分 母 同 乘 以 （ 或 除 以 ） 同 一 个 不 为 0 的 整 式 ， 分 式 值 不变 。二、分式的乘除法1.分式的乘除法则:分式乘
3、以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。2.约分:把 一 个 分 式 的 分 子 和 分 母 的 公 因 式 (不 为 1 的 数 ） 约 去 ， 这 种 变 形 称 为 约 分 。注意:当分式的分子分母都是单项式或 者 是 几 个 因 式 乘 积 的 形 式 时,直接约分；分 式 的 分 子 和 分 母 都 是 多 项 式 时 ， 将 分 子 和 分 母 分 解 因 式 再 约 分 。3.最简分式: 一 个 分 式 的 分 子 和 分 母 没 有 公 因 式 时 ，
4、这 个 分 式 称 为 最 简 分 式 。 约 分 时 ，一 般 要 将 一 个 分 式 化 为 最 简 分 式 。三、分式的加减法1.通分:利用分式的基本性质 ,把异分母的分式化为同分分母的过程。通分原则:异分母通分时, 通常取各分母的最简公分母作为它们的共同分母。通 分 步 骤 :先 求 出 所 有 分 式 分 母 的 最 简 公 分 母 ， 再 将 所 有 分 式 的 分 母 变 为 最 简 公 分母 ， 同 时 各 分 式 按 照 分 母 所 扩 大 的 倍 数 ,相 应 扩 大 各 自 的 分 子 。最 简 公 分 母 的 确 定 方 法 :系 数 取 各 因 式 系 数 的 最 小
5、 公 倍 数 、 相 同 字 母 的 最 高 次 幂 及单 独字母的幂的乘积。2.法则:同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,再按同分母分式的加减法法则进行计算。四、分式方程1.概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2.分 式 方 程 的 解 法 : 去 分 母 (方 程 两 边 同 乘 以 最 简 公 分 母 ， 将 分 式 方 程 化 为 整 式 程 若遇 到 互 为 相 反 数 时 ， 不 要 忘 了 改 变 符 号 )； 按 解 整 式 方 程 的 步 骤 求 出 未 知 数 的 值 ； 验 根 。3.分 式 方 程 的 增 根 :
6、在 方 程 变 形 时 ， 有 时 会 产 生 不 适 合 原 方 程 的 根 即 代 入 方 程 后 分 母的 值 为 的 根 ， 叫 做 原 方 程 的 增 根 。例题： 取 时，方程 会产生增根(或说无解)。m32xm(思路)在这里增根就是 x=3,但不能直接带入方程求 m,所以要先去分母再将 x=3 带入求 m第二章 相似图形一、线段的比1.概念:在同一单位长度下,两条线段的长度的比叫这两条线段的比。在 a:b 或 中,a 叫ab比例的前项,b 叫比例的后项。2.注意:若 a:b=k,说明 a 是 b 的 k 倍；两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求比时两条线段的长度单位必须一致；
7、两条线段的比值是一个没有单位的正数；除 a=b 外,a:bb:a, a/b 与 b/a 互为倒数。二、比例线段1.概念:四条线段 a,b,c,d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比 , 即 a:b=c:d (或 a/b=c/d), 那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段 ,简称比例线段。a、b、c、d 叫比例的项,其中,a、d 叫外项,b、c 叫内项。2.比例中项:当 a:b=b:c 时,称 b 为 a 与 c 的比例中项。(b 2=ac)3.性 质 : 内 项 之 积 等 于 外 项 之 积 若 a/b=c/d 则 ad=bc 合 比 性 质 若 a/b=c/d 则 (
8、a+b)/b=(c+d)/d 分 比 性 质 若 a/b=c/d 则 (a-b)/b=(c-d)/d 等 比 性 质 若 a/b=c/d=m/n(b+d+n0)， 则 (a+c+m) (b+d+n)=a/b 合 分 比 性 质 若 a/b=c/d 则 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) 更 比 性 质 若 a/b=c/d 则 c/a=d/b(当 然 也 就 有 a/c=b/d) 反 比 性 质 若 a/b=c/d 则 b/a=d/c 三、形状相同的图形例如:两个半径不相等的圆；所有的等边三角形；所有的正方形；所有的正六边形。一个图形各点的横坐标、纵坐标都乘以或除以同一个数，则连接所
9、得到点的图形与原图形形状相同。四、相似三角形1.概念:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形(相似符号为“”)。平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。AB CD ED EOB C相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。2.全等一定相似,相似不一定全等(全 等 是 相 似 中 相 似 比 为 1 时 的 特 殊 情 况 )五、探索三角形相似的条件1定义判定：对应角相等、对应边成比例2判定 1：两个角对应相等判定 2：两边对应成比例且夹角相等判定 3：三边对应成比例Rt相似的判定:(除上述三个外 )斜边与一直角边对应成比例的两直角三角形
10、相似。3.三 角 形 相 似 的 判 定 定 理 推 论 推 论 一 ： 顶 角 或 底 角 相 等 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 。 推 论 二 ： 腰 和 底 对 应 成 比 例 的 两 个 等 腰 三 角 形 相 似 。 推 论 三 ： 有 一 个 锐 角 相 等 的 两 个 直 角 三 角 形 相 似 。 推 论 四 ： 直 角 三 角 形 被 斜 边 上 的 高 分 成 的 两 个 直 角 三 角 形 和 原 三 角 形 都 相 似 。 推 论 五 ： 如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 和 其 中 一 边 上 的 中 线 与 另 一 个 三 角 形 的 对 应 部 分
11、 成比 例 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 。 推 论 六 ： 如 果 一 个 三 角 形 的 两 边 和 第 三 边 上 的 中 线 与 另 一 个 三 角 形 的 对 应 部 分 成 比例 ， 那 么 这 两 个 三 角 形 相 似 。4.(补充)射 影 定 理 : 在 RtABC 中，ACB=90 0，CD 是斜边 AB 上的高,则AC2=ADAB BC2=BDAB CD2=ADBD5.(补充)三角形的重心概念:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。六、相似三角形的性质1相似三角形的三个对应角相等，三边对应成比例；2相似三
12、角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，3相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。 七、测量旗杆的高度(略)八、相似多边形1.概念:对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。2.性质:性质 1：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；性质 2：相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方。九、位似图形1.概念:如果两图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比。2.性质:位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 3.探索:利用位似可以
13、把一个图形放大或缩小；对应点连线都交于位似中心,对应线段平行或在一条直线上；在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为 k,那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或-k.。第三章 证明(一)一、定义与命题1.定义的概念:能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的定义。2.命题的概念:一般地,判断一件事情的句子，叫做命题(命题必须是对某事作出判断) 。3.命题的特征:每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地,命题都可以写成“如果，那么”的形式其中,“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论。4.真假命题:如果条件
14、成立，那么结论成立(正确的命题),像这样的命题叫做真命题；条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立( 错误的命题 )，这样的命题叫做假命题。二、证明的必要性三、公理与定理1.公理:通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。2.定理:通过推理得到证实的真命题叫做定理,可以作为判断其它命题真假的依据。本教科书选用如下命题作为公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。也可以简单说成：同位角相等，两直线平行。两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。也可以简单说成：两直线平行，同位角相等。两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。两角及其夹边对应相等的两个
15、三角形全等。三边对应相等的两个三角形全等。全等三角形的对应边相等，对应角相等。此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。例如“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替” ，简称为“等量代换” 。4、平行线的判定定理五、平行线的性质定理把一个命题的条件和结论交换后,就构成了一个新的命题。如果把原来的命题叫做原命题,那么这个新的命题就叫做原命题的逆命题。一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题。六、三角形内角和定理三角形三个内角之和为 1800 ； 直角三角形的两个锐角互余。关于辅助线：辅助线是为了证明需要在原图上添画的线(辅助线通常画成虚线)；它的作用是把分散的条件集中，把隐含
16、的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用；添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结。第四章 数据的收集与处理一、普查和抽样调查1.普查:为了一定的目的而考察对象进行的全面调查,称为普查。其中,所要考察的对象的全体称为总体,而组成总体的每一个考察对象称为个体。普查的优点及缺陷:可以直接获得总体情况,但总体中个体数目很多时,工作量大,无法一一考察；有时受客观条件的限制,无法对个体一一考查；有时调查具有破坏性,不允许对个体一一考查。2.抽样调查:从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查,其中从总
17、体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本,样本中的个体的数目称为样本容量。二、数据的收集议一议: 抽样调查时应注意什么?答:抽样调查时要注意样本的代表性、广泛性和真实性:即被调查的对象不得太少，被调查对象应是随意抽取的，调查数据应是真实的。抽样调查的可行性：1.抽样调查只考查总体的一部分，因此其优点是调查范围小，节省时间、人力、物力和财力；2.但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。三、数据的整理对数据进行分组整理,就是将收集到的所有数据按照一定的标准划分为若干组。通过分组整理,可比较清晰地掌握数据的整体分布情况。四、频数和频率我们称每个考查对象出现的次数为频数,而每个对象出现的次数与总次数的比
18、值为频率。公式:频率=频数总次数频数=总次数频率；总次数=频数频率频数之和=总次数； 频率之和=1频数、频率、频数分布表、频数分布直方图和频数分布折线图都反映了一组数据的分布情况。五、数据的波动1.极差的概念:刻画数据离散程度(即相对于“平均水平”的偏离情况)的一个统计量,是指一组数据中最大数据与最小数据的差(极差=最大值-最小值)。极差的意义:极差是最简单的一种度量数据波动情况的量(一般而言,极差小,各个数据的波动也就小,它们的平均数对这组数据一般水平的代表性也就大；极差大,平均数的代表性也就小),但只能反映数据的波动范围,不能衡量每个数据的变化情况,而且受极端值的影响较大(当个别极端值远离
19、其它数据时,极差往往不能充分反映全体数据的实际离散程度)。2.方差的概念:各个数据与平均数的差的平方的平均数。方差越小，波动越小；方差越大，波动越大。公式: 22212 )(.)()( xxxns n标准差：就是方差的算术平方根规律：有两组数据，设其平均数分别为 、 方差分别为 、 (1) 当第二组每个数据比第一组每个数据增加 m 个单位时,则有= +m， =(2) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍时, 则有=n ， =(3)当第二组每个数据是的第一组每个数据 n 倍加 m 时，则有=n +m， = 12s21x21s21212x21s21221n第五章 二次根式一、二次根式1.概念
20、:形如 0) 这样的式子叫做二次根式 (a 也是二次根式 )。其中 a 可以是数,(ab也可是单项式和多项式。2.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。二、二次根式的性质基本性质一： = ( 0)2()a基本性质二： 积的性质： = ( 0,b0)b商的性质： = ( 0,b0)a注：一般地，二次根式化简的结果中分母中不含根号，而且根号内的数就是一个自然数，且自然数的因数中，不含有除 1 以外的自然数的平方数，被开方数为带分数时，还要先化为假分数再利用性质化简。三、二次根式的加减法1.最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母(即因数是整
21、数，因式是整式) ；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。2.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式(与二次根式的系数无关)。3.二次根式的加减:(在二次根式加减或其它运算时，把根号前的乘数看作它的系数)合并同类二次根式化为最简二次根式；系数相加减；二次根式不变。与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变四、二次根式的乘除法1.算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根 = ( 0,b0)aba2.两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数 ( 0,b0)b注意:如果被开方数是带分数，应先化成假分数。
