1、1专题一 函数 一、知识网络结构：性 质图 像反 函 数F:AB对 数指 数 对 数 函 数指 数 函 数二 次 函 数具 体 函 数一 般 研 究函 数定 义映 射二、知识回顾：（一）映射与函数1. 映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数 （ ）的值域是 ，根据这个函数中 ， 的关系，()yfxACxy用 把 表示出，得到 . 若对于 在 中的任何一个值，通过()yy， 在 中都有唯一的值和它对应，那么， )就表
2、示 是自()xyx (xy变量， 是自变量 的函数，这样的函数 ( )叫做函数y()xyC（ ）的反函数，记作 ,习惯上改写成()yfxA1f1(yfx（二）函数的性质函数的单调性定义：对于函数 的定义域 内某个区间上的任意两个自变量的值 ,()fxI 1x，2x若当 时，都有 ,则说 在这个区间上是增函数；12x12()fxf()fx若当 2时，都有 ,则说 在这个区间上是减函数.()2若函数 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 在这()yfx ()yfx一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 的单调区间.此时也()yfx说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性偶函数的定义：
3、如果对于函数 的定义域内任意一个，都有 ，()fx()fxf那么函数 就叫做偶函数。()fx是偶函数 （ ） 。()f()ffx()0ffx()1fx()0f奇函数的定义：如果对于函数 的定义域内任意一个，都有 ，f ffx那么函数 就叫做奇函数。()fx是奇函数 （ ） 。()f()(ffx()0ffx()1fx()0fx正确理解奇、偶函数的定义，必须把握好：1、定义域在数轴上关于原点对称是函数 为奇函数或偶函数的必要不充分()fx条件；或 是定义域上的恒等式。()fxf()(fxf2、奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于 轴成轴对称图y形。反之亦真。因此，也可以利用函数图象
4、的对称性去判断偶函数的奇偶性。3、奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反。4、如果 是偶函数，则 ，反之亦成立。若奇函数在 时有意()fx()fx0x义，则 。07. 奇函数，偶函数：偶函数： ()fxf设 为偶函数上一点，则 也是图象上一点.(,)ab(,)ab偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于 轴对称，例如： 在 上不是偶函数.y21yx,)满足 )(xff，或 0)(xff，若 0)(f时， 1)(xf.3奇函数： )(xff设 为奇函数上一点，则 也是图象上一点.(,)ab,)ab奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如： 3xy在 )1,
5、上不是奇函数.满足 )(xff，或 0)(xff，若 0(f时， 1)(xf.8. 对称变换： y = f（ x） ）（轴 对 称 xfyy y =f（ x） ）（轴 对 称 f y =f（ x） ）（原 点 对 称 xfy9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数 f（ x）= 1+ x1的定义域为 A，函数 的定义域是 B，则()fx集合 A 与集合 B 之间的关系是 . B解： )(xf的值域是 )(f的定义域 ， )(xf的值域 R，故 B，而A 1|，故 .11. 常用变换： )()()(
6、 yfxfyfxyf .证： )()( yffxfff )()()( yfyfxyf 证： )(fxfyf12. 熟悉常用函数图象：例： 关于 y轴对称. 2x211()()()xxy x x(0,1) xy(-2,1)212122121 )()( bxxbff ）（4 xy关于 x轴对称.21yxy熟悉分式图象：例： 3721xy定义域 ,3|Rx，值域 ,|R值域 x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数 （ 且 ）的图象和性质xya01a1图象4.543.532.521.510.5-0.5-1-4 -3 -2 -1 1 2 3 4y=14.543.532.521.510.5-0.
7、5-1-4 -3 -2 -1 1 2 3 4y=1(1)定义域： R（2）值域： (,)（3）过定点 ，即 时，010x1y(4) 时， ；0x1y时，(4) 时， ；时， .xy性质（5）在 上是增函数R（5）在 上是减函数R对数函数 的图象和性质:logayx对数运算：log()llaaaMNNogll()naa1oglaN xy25换底公式： loglbaN推论： logl1abc12113l lognaan（以上 ,0M, , , , , , , 、 、 ，且 ）Nab0c1a20na1注：当 ， 时， .log()l()log()cccabb：当 时，取“+” ，当 n是偶数时且 时
8、， ，而 ，故取0MnM“”.例如： （因为 中 而 中 ，且 ）2loglaax2logax02logaxR0x y（ , ）与 yl互为反函数.01当 时， xyalog的 值越大，越靠近 x轴；当 时，则相反.1 1（四）方法总结.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.对数运算：.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.反函数的求法：先解 ,互换 、 ，注明反函数的定义域(即原函数的值xy域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为 0；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于
9、 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法” ；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法.单调性的判定法：设 , 是所研究区间内任两个自变量，且 ；1x2 12x判定 与 的大小；作差比较或作商比较.1()fx2)f.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 与()fx之间的关系： 为偶函数； 为奇函数；()fx()fxf()(fxf为偶； 为奇； 是偶； 为0ff()0ff1()f()1fx奇函数.6.图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象
10、与对称性描绘函数图象.三、小试牛刀:一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域： 2153xy21()xy021(2)4yxx2、设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _ _；函数fx()01， fx()2的定义域为_； f(3、若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 ；函数(1)fx23， (21)fx的定义域为 。2f4、 知函数 的定义域为 ，且函数 的定义域存在，fx() 1,()()Fxfmfx求实数 的取值范围。m二、求函数的值域5、求下列函数的值域： 23yx23yx1,231xy 1x(5)62x25941x 31yxyx245yx7 245yx12yx6、已知函数 的
11、值域为1，3，求 的值。2()1xabf,ab三、求函数的解析式1、 已知函数 ，求函数 ， 的解析式。2(1)4fxx()fx21)f2、 已知 是二次函数，且 ，求 的解析式。()fx 2(1)()4fxfx()fx3、已知函数 满足 ，则 = 。()fx2()3fx()fx4、设 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则当0,)3()1)fx时 = , 在 R 上的解析式为 . (,0)x(fx(fx。5、设 与 的定义域是 ， 是偶函数， 是奇函数，()fg|,1且 ()fx()gx且 ，求 与 的解析表达式1x()fxg四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间： 23yx23yx26
12、1yx87、函数 在 上是单调递减函数，则 的单调递增区间是 ()fx0,)2(1)fx8、函数 的递减区间是 ；函数 的递减区236y 236xy间是 五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ， ； ， 3)5(1xy 52xy 11xy； 2 ， ； ， ； ， xf)(2)(gxf)(3()gx21)5()xf。 52A、 B、 、 C、 D、 、10、若函数 = 的定义域为 ,则实数 的取值范围是 （ ）()fx342mxRmA、( ,+) B、(0, C、( ,+) D、0, 443)11、若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）2)1fx(A) (B)
13、 (C) (D) 040012、对于 ，不等式 恒成立的 的取值范围是（ 1a2()0xax）(A) (B) 或 (C) 或 (D) 2x1x31x13、函数 的定义域是（ ）2()44fxA、 B、 C、 D、2,(,)(,2)(,)2,14、函数 是（ ） 1()0fxA、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B、奇函数，且在 (0，1)上是减函数C、偶函数，且在(0，1) 上是增函数 D、偶函数，且在(0，1)上是减函数15、函数 ，若 ，则 = 2(1)()xf()3fx916、已知函数 的定义域是 ，则 的定fx()(01， gxfafxa()()120义域为 。17、已知函数 的最大值
14、为 4，最小值为 1 ，则 = ， = 2mnymn18、把函数 的图象沿 轴向左平移一个单位后，得到图象 C，则 C 关于原点对称1xx的图象的解析式为 19、求函数 在区间 0 , 2 上的最值2)(af20、若函数 时的最小值为 ，求函数 当 -3,-22(),1fxxt当 ()gt()gt时的最值。21、 已知 ，讨论关于 的方程 的根的情况。aRx2680xa22、 已知 ，若 在区间1，3上的最大值为 ，最小值为13a2()1fxa()Ma，令 。 （1）求函数 的表达式；（2 ）判断函数 的单()N()gMN()gag调性，并求 的最小值。23、记函数 132)(xf的定义域为
15、A, )1(2)1lg() axax的定义域为 B。10求 A;若 B A,求实数 a的取值范围。24、绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶 4 元，每月可售出 400 瓶；若每瓶售价每降低 005 元，则可多销售 40 瓶，在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？25、已知方程 022ax，分别在下列条件下，求实数 a的取值范围。方程的两根都小于 1；方程的两个根都在区间 ),(内；方程的两个根，一个根大于 ，一个根小于 1。26、已知函数 )1,0)(1log)(,
16、1log)( axxxf aa 且其 中求函数 的定义域；判断函数 )(xf的奇偶性，并予以证明；求使 )(g0,d0 时，满足 01m的项数 m 使得 s取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。（三） 、数列求和的常用方法1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。2.裂项相消法:适用于 1nac其中 n是各项不为 0 的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。3.错位相减法:适用于 nb其中 n是等差数列， nb是各项不为 0 的等比数列。4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.5.常用结论1） : 1+2+3+.+
17、n = 2)1( 2） 1+3+5+.+(2n-1) =n3）233)1(14） )(622nn 5） 1)(1n 21)(6） )(qpqp二、经典习题1、若等差数列 的前三项和 且 ，则 等于（ ）na93S1a2A3 B4 C5 D62、等差数列 的前 项和为 若 （ ）nx 则 432,SA12 B10 C8 D63、等差数列 的前 项和为 若 （ ）naxS则 432,1a18A12 B10 C8 D64、等差数列 的前 项和为 若 （ ）naxS则 432,1SaA12 B10 C8 D65、已知数列 的前 项和 ，第 项满足 ，则 （ n29nk58ka）A B C. D9876
18、6、在等比数列 （ ）中，若 ， ，则该数列的前 10 项和为naN*1a48（ ）A B C D41221102127、已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 A 和 ，且 ，nabnnB7453n则使得 为整数的正整数 的个数是（ ）nabA2 B3 C4 D58、已知 成等比数列，且曲线 的顶点是 ，则acd 23yx()bc等于（ ）d3 2 1 9、已知 是等差数列， ，其前 10 项和 ，则其公差 （ na0a107Sd） 2313132310、等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 （ ）246,10,S则 等 于A12 B18 C24 D4211、等差数列 an中，a 1=1
19、,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n=（ ）A9 B10 C11 D1212、各项均为正数的等比数列 的前 n 项和为 Sn，若 Sn=2,S30=14,则 S40 等于（ a）19A80 B30 C26 D1613、设等差数列 的公差 不为 0， 若 是 与 的等比中项，则nad19adk1a2k（ ）k2 4 6 814、设 为公比 q1 的等比数列，若 和 是方程 的两根，na204a0503842x则 _.207615、已知数列的通项 ，则其前 项和 5nannS16、等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的nS123na公比为 17、已知 是等差
20、数列， ，其前 5 项和 ，则其公差 na46a510Sd 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则nnS122581a18、已知数列 的前 项和 ，则其通项 ；若它的第na29nn项满足 ，则 k58k19、若数列 的前 项和 ，则此数列的通项公式为n210(3)nS， ， ，；数列 中数值最小的项是第 项 a20、已知数列 中的相邻两项 是关于 的方程n21ka， x的两个根，且 2(3)20kkxxA2(13)kk ， ， ，（I）求 ， ， ， ；1a37a（II）求数列 的前 项和 ；n2nS2021、已知数列 中的相邻两项 、 是关于 x 的方程na21kak的两个根，且 (k 1，
21、2，3，)2(3)20kkxx21a(I)求 及 (n4)( 不必证明) ；1357,()求数列 的前 2n 项和 S2nna22、 在数列 中， ， ， na121431nan*N（）证明数列 是等比数列；（）求数列 的前 项和 ；nnS（）证明不等式 ，对任意 皆成立14 *N23、若有穷数列 （ 是正整数） ，满足 即12,.na1211,.nnaa（ 是正整数，且 ） ，就称该数列为“对称数列” 。1iniai（1）已知数列 是项数为 7 的对称数列，且 成等差数列，nb1234,b，试写出 的每一项42,bn21（2）已知 是项数为 的对称数列，且 构成首项为nc21k12,.kkc
22、50，公差为 的等差数列，数列 的前 项和为 ，则当 为何值时，4nc2S取到最大值？最大值为多少？21kS（3）对于给定的正整数 ，试写出所有项数不超过 的对称数列，使得1m2m成为数列中的连续项；当 时，试求其中一个数列的前 200821,.m 150项和 208S24、已知实数列 等比数列,其中 成等差数列.是na 547,1,aa且()求数列 的通项公式;()数列 的前 项和记为 证明: 128 ).n,nS,n,32(2225、设数列 满足 ， na21133naa*N（）求数列 的通项；（）设 ，求数列 的前 项和 nbanbnS26、设 是公比大于 1 的等比数列， 为数列 的前
23、 项和已知 ，nanSna37S且 构成等差数列1234， ，（1）求数列 的等差数列n（2）令 求数列 的前 项和 31l2ba， ， ， ， nbT2327、设等比数列 的公比 ，前 项和为 已知 ，求na1qnnS3425aS，的通项公式na设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ，nb1b，3521b53a（）求 ， 的通项公式；n（）求数列 的前 n 项和 nbnS28、数列 的前 项和为 ， ， nanS1a*12()nSN（）求数列 的通项 ；（）求数列 的前 项和 nnT数列 中， ， （ 是常数， ） ，且 成公na121ac 123n， ， ， 123a， ，比不为
24、 的等比数列（I）求 的值；c（II）求 的通项公式na24专题三 三角函数一、知识要点（1 ） 任意角的三角函数：（2 ） 弧长公式： R 为圆弧的半径， 为圆心角弧度数， 为弧长。alal（3 ） 扇形的面积公式： R 为圆弧的半径， 为弧长。lS21l（4 ） 同角三角函数关系式：倒数关系： 商数关系： ， cotanacosintasincot平方关系： 1ssi22（5 ） 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k /2+ 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性函 数xxsinxcosxtanxcotaaa2 cossincottn2.两角和与差的三角函数：（1 ）两角和与差公式：sinco
25、s)cos(a sincosin)si(aa注：公式的逆用或者变形t1tantan（2 ）二倍角公式：acosisi 1cos2sin1sico2s22 aaa从二倍角的余弦公式里面可得出a2tn1t降幂公式： ， 2scs22ssi2（3 ）半角公式（可由降幂公式推导出）：， ，2cos1sinaa2o1aasincicst 253.三角函数的图像和性质：（其中 ）zk三角函数 xysinxycosxytan定义域 （-，+） （-，+） 2k值域 -1,1 -1,1 （-，+）最小正周期 2T2TT奇偶性 奇 偶 奇单调性,k单调递增 23,单调递减,)1(k单调递增 2单调递减)2,(k
26、单调递增对称性 kx)0,(kx)0,2()0,2(k零值点 kxkx最值点2kx1mayin，2；1maxy，)(kin无4.函数 的图像与性质：)sin(xAy（本节知识考察一般能化成形如 图像及性质）)si(xAy（1 ） 函数 和 的周期都是)sin(xyco2T（2 ） 函数 和 的周期都是)ta(A)t(xAy（3 ） 五点法作 的简图，设 ，取 0、 、 、 、 来sinxyt232求相应 的值以及对应的 y 值再描点作图。x（4 ） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多
27、少。 （附上函数平移伸缩变换）:函数的平移变换： 将 图像沿 轴向左（右）平移 个单位)0()(axfyf )(xfya26（左加右减） 将 图像沿 轴向上（下）平移 个单位)0()(bxfyf )(xfyyb（上加下减）函数的伸缩变换： 将 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的)()(wxfyxfy )(xfy倍（ 缩短， 伸长）w110 将 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来)0()(Axfyxfy )(xfy的 A 倍（ 伸长， 缩短）函数的对称变换： ) 将 图像绕 轴翻折 180（整体翻折）()(xfyxfy)(xfyy（对三角函数来说：图像关于 轴对称） 将 图像绕 轴翻折 180（整体
28、翻折）)()(ff )(f（对三角函数来说：图像关于 轴对称）y 将 图像在 轴右侧保留，并把右侧图像绕 轴翻折到)()(xfyxfy)(xf y左侧（偶函数局部翻折） 保留 在 轴上方图像， 轴下方图像绕 轴翻折上去)()(ff)(fyxx（局部翻动）5、方法技巧三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin 2=tanxcotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin 2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），= 等。（3）降次与升次。 （4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。a
29、sin+bcos= sin(+ )，这里辅助角 所在象限由2baa、b 的符号确定， 角的值由 tan = 确定。二、沙场点兵一、基础题1已知 tanx=2，求 sinx，cos x 的值2求 的值。)30cos()15sin()690ta(48i2273若 ，求 sinxcosx 的值,2cosinx4求证：tan 2xsin2x=tan2xsin 2x5求函数 在区间 0，2上的值域)62sin(xy6求下列函数的值域(1)ysin 2xcosx +2； (2)y2sinx cosx(sinxcosx) 7若函数 y=Asin(x+)( 0，0) 的图象的一个最高点为 ，它到其相邻的最低)
30、2,(点之间的图象与 x 轴交于(6 ，0) ，求这个函数的一个解析式8已知函数 f(x)=cos4x2sin xcosxsin 4x()求 f(x)的最小正周期； ()若 求 f(x)的最大值、最小值,2028数 的值域xycos3in19 已知 ，求（1） ；（2） 的值.2tansinco22cos.sini10、求函数 的值域。21sinco(sinco)yxx10 已知函数 y= cos2x+ sinxcosx+1 （xR）,当函数 y 取得最大值时，求13自变量 x 的集合。二、选择题1. 是 （ ）2(sinco)1yxA最小正周期为 的偶函数 B最小正周期为 的奇函数2C最小正
31、周期为 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数292.为得到函数 的图象，只需将函数 的图像（ ）cos3yxsinyxA向左平移 个长度单位 B向右平移 个长度单位66C向左平移 个长度单位 D向右平移 个长度单位553.若 且 是，则 是 （ ）sin0taA第一象限角 B 第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角4函数 的最大值为 （ ）xxfcosi)(A1 B C D2235.函数 图像的对称轴方程可能是 （ ）sin(2)3yxA B C D6x126x12x6.函数 y=cosx(xR)的图象向左平移 个单位后，得到函数 y=g(x)的图象，则 g(x)的解析式为 ( )A.-si
32、nx B.sinx C.-cosx D.cosx7.已知函数 ，则 是 （ ）2()1cos)in,f R()fA、最小正周期为 的奇函数 B、最小正周期为 的奇函数2C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数8.函数 的最小值和最大值分别为 （ ）()cos2infxxA. 3，1 B. 2，2 C. 3， D. 2，239.将函数 的图象 F 向右平移 个单位长度得到图象 F，若 F的一条对称si()yx轴是直线 则 的一个可能取值是 （ ）,1A. B. C. D. 52512121210.函数 是 （ ）sin()xfxA以 为周期的偶函数 B以 为周期的奇函数4 2C以
33、为周期的偶函数 D以 为周期的奇函数2 43011.若动直线 与函数 和 的图像分别交于 两点，则xa()sinfx()cosgxMN，的最大值为 （ ）MNA1 B C D22312.已知 ，则 的值是（ ）4cossin657sin6A B C D23523454513. 等于 （ ）sin0A B C D3212123214. ( )tancotsxx. . . .incosxcotx15.把函数 si()yR的图象上所有的点向左平行移动 3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是 （ ） A sin23yxR， B sin26xyR，C i， D i3，16.设 5sin7a， 2cosb， tan7，则 （ ）A B a C bc D bac17.函数 2(si)1yx的最小正周期是 （ ）A. 2 B. C. 32 D.218.在同一平面直角坐标系中，函数 )0)(cos(，xy的图象和直线 21y的交点个数是 （ ）A.0 B.1 C.2 D.4
