1、零诊复习资料（仅供 7 班使用）第 2 讲 函数的性质【知识梳理】一、单调性1.定义：设 是函数 定义域的子区间，对任意 ，当 时：Dfx12,xD12x(1) 都有 在区间 上是增函数；12ff(2) 都有 在区间 上是减函数.f2.判定：(1) 定义法；(2) 图象法：(3) 结论法(所学初等函数的单调性) ；(4) 复合函数的单调性：同增异减，小心范围.3. 用定义证单调性的步骤：任取作差变形定号结论.二、奇偶性1.定义：对函数 定义域内的任意 ：fxx(1)都有 为奇函数；ff(2)都有 为偶函数.f点拨：奇、偶函数的定义域关于原点对称.2.性质：(1) 奇函数 图象关于原点对称；若
2、有意义，则 ；x0f0f（2）偶函数 图象关于 轴对称 ；fyfx(3) 在关于原点对称的两个区间上：奇函数同单调；偶函数异单调.3.用定义判奇偶性的步骤：求定义域定 与 的关系下结论.f三、对称性:轴对称,中心对称.对函数 的定义域内的任何一个自变量 ：()fxx1.若都有 ，则 的图象关于直线 对称；()afx()f a若都有 ，则 的图象关于直线 对称。()fb 2b2.若都有 ，则 的图象关于点 对称；()f()fx,0若都有 ，则 的图象关于点 对称。()faxa若都有 ,则 的图象关于点 对称.2byf,b四、周期性1. 定义：如果存在非零常数 ，对函数 定义域内任意的 ，都有 ，
3、TxxfTfx则称函数 是周期函数， 是它的一个周期. fx2.性质：(1) 若 是 的一个周期, 则 也是 的周期；f ,0kTZf(2) 若 是 的一个周期，则 是周期函数，且一个周期是 .Tf fx|3. 结论：(1)若 图象有两条对称轴 ，则 必是周期函()yfx,()ab()yfx数，且一周期为 ；2|ab(2)若 图象有两个对称中心 ，则 是周期函数，且()f (,0),AB一周期为 ；|T(3)如果函数 的图象有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数()yfx(,0)Aa()xba必是周期函数，且一周期为 ；()f 4|Tb(4)若函数 满足下列条件之一, 则 是周期函数,且一个周
4、期为 ：fx2T0 ； ； .faxf1()(f1()()ffx例 2(1) 若定义在 上的奇函数 以 为周期，则函数 在区间 上至少Rf ,有5 个零点.(2)函数 的定义域为 ，若 和 都是奇函数，则函数 ，()fx1fxf()gxf的值域是 .1,30(3)定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是增函数，在锐R()f(2)()ffx6,4角 中，令 ， ，则 和 的大小关系为ABCsinmABcosnACmn_ . (4)函数 在区间 上的所有零点之和等于 8 .12ifxx,4,sinyy数 形 结 合 1,0关 于 点 对 称(5) 设 是连续的偶函数，且在 是单调函数，则方程 所有f
5、x0,34xff根之和为 .8第 3 讲 初等函数【知识梳理】1指数与对数的运算性质：（1）指数式与对数式的互化：。log(0,1)baaNN（2）对数的运算性质 ：,0M恒等式： ； 。allba ； ； logogaMlloglaaaN。n换底公式及推论：； ； ； 。llogcabloglnmaabloglnaab1loglab2 指数函数 与对数函数 的图象和性质：(0,1)xy(0,)yxxy xyal1a图 象 10a定义域值 域过定点 1a1a单调性 00点拨： 与 互为反函数，其图象关于 对称。xylog(,)axyx3. 幂函数 （ ）Q在一象限的图像 奇偶性 在 上的单调性
6、,1xy10O 当 时： 偶奇当 时： 奇奇当 时： 奇偶 当 时： 0, 增1, 增当 时： 0【典例精析】例 1. （1）若 用 和 表示 = ,58,9log18ba45log36（2）已知 ，则 _2(3)4l3.xf8(2)()(2)fff(3)已知函数 若 互不相等，且 ,01,6.x,abcabfc则 的取值范围是 .abc,2解：（1） ，又 ，1885log18log9。1368 18l45log 21lababa （2）令 ，则kx222log3l4og3xxk4.5.ff k故 8()()()f 183.5201（3）设 ,如图有：0abc112lgff ab10,2c例
7、 5. 已知函数 )3(o)(21xx（1）若 的定义域为 ，求实数 的取值范围；fR（2）若 的值域为 ，求实数 的取值范围；()a（3）若 在 内为增函数，求实数 的取值范围fx,解：令 ， 。23ua12logyu（1） 的定义域为 恒成立。()fR30xa。2410,（2） 的值域为 能取 的一切值 的值域，()fx2u,0,u。2,3aa（3） 在 内为增函数 在 内递减且恒正，()f, 2xa1,(。min11,420u第 4 讲 函数与方程【知识梳理】1函数零点的定义:对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数yfxD0fxx的零点yfxD2等价关系:方程 有实数根函数 的图像与 轴
8、有交点 函数0f yf有零点f3零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，yfx,ab并且有 ，那么函数 在区间 内有零点，即存在 ，fab, ,cab使得 ，这个 也就是 的根 （定理之逆不成立）0cc0f b bababaa推论：若 在区间 上是连续的单调函数，并且有 ，则函数yfx, 0f在区间 内有唯一零点。ab4.二分法：对于在区间 上连续不断，且 的函数 ，通过不, 0fabyfx断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而fxO1 1210 xy得到零点近似值的方法叫做二分法口 诀： 定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算
9、，零点落在异号间；周而复始怎么办? 精确度上来判断.点拨：连续的异号零点可用二分法求其近似值。【典例精析】例 6. (1) 已知 是函数 的零点, 是函数 的零1x25xf2x2log5xx点. 则 5 ；12(2) 已知 是 函数的零点, 是函数1xf 2的零点. 则 2logxx127解：(1) 由图(1)知 5.22505logl xf 12x(2) 由图(2)知12 25log150l2xxf xx 12751x 1xy74215yx2log5yx2xyO2logxO1图 图第 6 讲 三角函数【知识梳理】1. 象限角与轴线角 2. 定义 3.单位圆与三角函数线20rxyAPOMxy,
10、PrMOxTsincotanyicostanT32k,2k1kZ,2k终 边思考 1： ； ；sinsi1； coco2, :0sinta2结 论4.同角关系： (1)平方关系： ； (2)商数关系： ；22sincos1sintaco5.诱导公式：纵变横不变，符号看象限. 思考 2: (1)若 ,则 2410,xyxyxyu20,4(2)若 ,则 tan3sicosn7256. 图象与性质(五点法)函数 正弦 xysi余弦 xycos正切 xytan值 域奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称性 对称轴： 2kx对称中心： )0,(对称轴： kx对称中心： )0,2(对称中心： ，),(kZ周期
11、性思考 3：(1) 的图象的对称轴为 ；对称中心为 sin36yx(2)函数 的图象与直线 有多少个公共点？y7. 图象变换第 7 讲 平面向量【知识梳理】1.向量的线性运算：加法、减法、数乘.2.重要结论：(1)任意向量 ： ； 。MNPNMPQN PM(2)若 三点不共线，则 三点共线 ；,OAB,AB1OABZZ23OOO2332图 象定 义 域单 调 性 RR,xkZR1,1,23,k增 减kZ2,k增减 k,2增sinsisinsinyxyxxyAx 横 移 横 伸 缩 纵 伸 缩 n 横 伸 缩 横 移 纵 伸 缩 BACaDbababB(3) 为线段 的中点 ；PAB2OABP(
12、4) 在 中： ； 。CDabab = ab + = 平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和222ab(5) ， . - + - 3. 向量的数量积：(1) 定义： .规定 与任何向量的数量积为 0.|cosab0(2) 投影： 叫做向量 在 方向上的投影(可正可负可为零) |ba点拨：(1) ；(2) ；(3) ；2 22a2abab(4) ；(5) 。,0acbc4.向量的坐标运算：（1）若 ， ，则： ；1(,)xy2(,)xyab),(2121yx； ； 。1212(,)xy（2） 若 ， ，则 ，A,2B21,Axy2211ABxy5.重要定理、公式：(1)基本定理：若 不共线
13、，则任一向量 ( 是唯一的)。2,e 21ea1,(2)平行条件：若 ，则 。0b/ 0abxy(3)垂直条件： 12(4)夹角公式： 。21cos|xy【典例精析】例 1. 若点 、 、 分别是 的重心、外心、垂心，有下列向量等式：GOHABC ； ； ；0CBA)(3OCBAH 。其中正确有_例 2. (1)在正 所在平面上有两点 、 ，满足： ，PQ1()2PAB， 。则 _()QBR()|PCBQ3点 在以 为圆心的圆弧 上变动,若COA,其中 ,则 的范围是_.xyxyx10,2共 线 同 向取 等反 向取 等 反 向取 等共 线同 向取 等ab或 BObA1解：令 ，则cos,in
14、02xy11sin20,xy例 3 O 是 所在平面上的一定点,动点 P 满足条件:ABC(1) ，则点 P 的轨迹过 的( C )(PABA外心 B内心 C重心 D垂心(2) ，则点 P 的轨迹过 的( B )|(A外心 B内心 C重心 D垂心(3) ，则点 P 的轨迹过 的( D )cos|cos|(AOP ACA外心 B内心 C重心 D垂心(4) ，则点 P 的轨迹过 的( A )s|s|(2C BA外心 B内心 C重心 D垂心(5) ，则点 P 的轨迹过 的( C )sin|sin|(AOP A外心 B内心 C重心 D垂心提示：对(3)(4) cocos() 0|cos|s|s|BBCBA 对(5): 由正弦定理 iniA第 8 讲 三角函数的恒等变换【知识梳理】 221cosin4siico升 幂降 角 2sn51sco降 幂升 角 2 2226sincossincossinabaxbbxxabxa 归 一 22i令 co=sinsicosincotanta1t,2kZ1和222sinicoscon1i1tatan3倍 sinsicosincotanta,kZ2差点拨：(1)正用逆用变形用；如： (2) 变角变名变形式.如： (3) 图象性质先归一.如：,2sincosin4yxxtatta1tan
