1、12010 年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1. 若 均为整数且满足 ，则 （ B ,abc1010()()abc|abca）A1. B2. C3. D4.解： 由已知可推得 或 ，分别代入即得。01bcac10bcac2若实数 满足等式 ， ，则 可能取的最大值为 （ C ,b23|649|6）A0. B1. C2. D3.解：由已知， ， .649()1521cababb2c3若 是两个正数，且 则 （ C ba, ,01）A . B . C . D .103ab413ab2ab解：当 时，可计算得 ，从而 。观察 4 个选项，只能选
2、 C.ab234若方程 的两根也是方程 的根，则 的值为 （ A 210x420xcc）A13. B9. C6. D 0.解：由已知： 一定能被 整除。42xabc231x 42(31)(0)(3)(10)abxac ，故(3)0abxac 21bc5在 中，已知 ，D ，E 分别是边 AB，AC 上的点，且 ，ABC6AB 60AED， ,则 ( B )ED2CA15. B20. C25. D30.解：如图，由已知，ADE 是正三角形。作 BFDE 交AC 于 F，则 BDEF，从而 ECDE+BDABBF，DEFC，又12120 ，故 EDCFCB .故 .xCDB2 ，BDE120 ，
3、，故 40402由 ，得： .4062020x6对于自然数 ，将其各位数字之和记为 ，如 ，nna20991，则 20103a1232091a（ D ）A28062. B28065. C28067. D28068.解：将 0，1，2，999 这 1000 个自然数分为 500 个数组：（0，999） 、 （1，998） 、（2，997） 、 （499，500）.注意到：这 500 个数组中，每个数组的两个自然数各位数字之和均为99927，故 0，1，2，999 这 1000 个自然数各位数字之和等于 .7503于是，1000，1001，1002，1999 这 1000 个自然数各位数字之和等于
4、 13500100014500.从而 .1231935014280aa显然： ，故： .0268 320186aa二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1已知实数 满足方程组 则 13 。,xy319,xy2xy解：23 219131xyxy2二次函数 的图象与 轴正方向交于 A，B 两点，与 轴正方向交于点 C已知cb2xy， ，则 ACB330O9解：如图，由已知可推得：，设 ，则 ，23cAB12(,)(,)xB123xc由 .199xc3在等腰直角ABC 中，ABBC5，P 是ABC 内一点，且 PA ，PC5，则 PB 10解：见上图。4将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行
5、，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有 5 个或 10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 15 个球.解：先画一个“初始图”： A B C D E A B C D E 按照题目要求，逐一确定各个字母的颜色，得到： D D 显然，D 应为黑色。即：3 再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下： 第二试 （A）一 （本题满分 20 分）设整数 （ ）为三角形的三边长，满足,abc，求符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数.2213abcac解 由已知等式可得222()()()6令 ，则 ，其中 均为自然数.,abmcnacmn,于是，等式变为 ，即22()213n由
6、于 均为自然数，判断易知，使得等式成立的 只有两组： 和 ,m,mn3,1n,.m（1）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，3,1nbc34abc,abcbca即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过 30，即 ，()4c (4)30c解得 .因此 ，所以 可以取值 4，5，6，7，8，对应可得到 5 个符合条件的三角形. 253253cc（2）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，1,mnb1abc,abcbca即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过 30，即 ，()4c1c (4)30c解得 .因此 ，所以 可以取值 2，3，4， 5，6，7，对应可得到 6 个符合条件的三
7、角形.323综合可知：符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 5611. 二 （本题满分 25 分）已知等腰三角形ABC 中，ABAC，C 的平分线与 AB 边交于点 P，M为ABC 的内切圆I 与 BC 边的切点，作 MD/AC，交 I于点 D.证明：PD 是I 的切线. 证明 过点 P 作I 的切线 PQ（切点为 Q）并延长，交BC 于点 N.因为 CP 为ACB 的平分线，所以ACPBCP.又因为 PA、PQ 均为I 的切线，所以APCNPC.又 CP 公共，所以ACP NCP ，所以PACPNC.由 NMQN，BABC ，所以 QNMBAC ，故NMQ ACB ，所以 MQ/AC
8、.又因为 MD/AC，所以 MD 和 MQ 为同一条直线.又点 Q、D 均在I 上，所以点 Q 和点 D 重合，故 PD 是I 的切线. NQIPCAMB4三 （本题满分 25 分）已知二次函数 的图象经过两点 P ，Q .2yxbc(1,)a(2,0)（1）如果 都是整数，且 ，求 的值.,abc8ca,（2）设二次函数 的图象与 轴的交点为 A、B，与 轴的交点为 C.如果关于 的方2yxxyx程 的两个根都是整数，求ABC 的面积.0xc解 点 P 、Q 在二次函数 的图象上，故 ，(1,)a(2,0)2yxbc1bca，421a解得 ， . 93b8c（1）由 知 解得 .a93,a1
9、3a又 为整数，所以 ， ， .a25b824c(2) 设 是方程的两个整数根，且 .,mnmn由根与系数的关系可得 ， ，消去 ，得 ，39a98()6mn两边同时乘以 9，得 ，分解因式，得 .8172()54n(98)10所以 或 或 或,0mn,9810,mn5,2n解得 或 或 或1,2,93,n2,7,93,n又 是整数，所以后面三组解舍去，故 .,m1,2m因此， ， ，二次函数的解析式为 .()3bncn23yx易求得点 A、B 的坐标为（1,0）和（2,0） ，点 C 的坐标为（0,2） ，所以ABC 的面积为.1(2)1第二试 （B）一 （本题满分 20 分）设整数 为三角
10、形的三边长，满足 ，求符,abc2213abcabc合条件且周长不超过 30 的三角形的个数（全等的三角形只计算 1 次）.解 不妨设 ，由已知等式可得abc5222()()()6abca令 ，则 ，其中 均为自然数.,mncmn,于是，等式变为 ，即22()213n由于 均为自然数，判断易知，使得等式成立的 只有两组： 和 ,m,mn3,1n,.m（1）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，3,1nbc34abc,abcbca即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过 30，即 ，()4c (4)30c解得 .因此 ，所以 可以取值 4，5，6，7，8，对应可得到 5 个符合条件的三角形
11、. 253253cc（2）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，1,mnb1abc,abcbca即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过 30，即 ，()4c1c (4)30c解得 .因此 ，所以 可以取值 2，3，4， 5，6，7，对应可得到 6 个符合条件的三角形.323综合可知：符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数为 5611. 二 （本题满分 25 分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三 （本题满分 25 分）题目和解答与（A ）卷第三题相同. 第二试 （C）一 （本题满分 20 分）题目和解答与（B）卷第一题相同. 二 （本题满分 25 分）题目和解答与（A ）卷第二
12、题相同. 三 （本题满分 25 分）设 是大于 2 的质数，k 为正整数若函数 的图p 4)1(2pkxy象与 x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求 k 的值解 由题意知，方程 的两根 中至少有一个为整数04)1(2x21,x由根与系数的关系可得 ，从而有4)(,221 pxpkxx)()2(1（1）若 ，则方程为 ，它有两个整数根 和 k 0(22p（2）若 ，则 .01因为 为整数，如果 中至少有一个为整数，则 都是整数.12xp21,x21,x6又因为 为质数，由式知 或 p2|1xp|2x不妨设 ，则可设 （其中 m 为非零整数） ，则由式可得 ，2|1x21kxm故 ，即 ()()km1214kxp又 ，所以 ，即12xp4p)(km如果 m 为正整数，则 ， ，从而 ，与式矛盾.(1)()3610km1()6kpm如果 m 为负整数，则 ， ，从而 ，与式矛盾.0p()0因此， 时，方程 不可能有整数根 1k4)(2kx综上所述，
