1、选修 2-1、2-2. 2-3 知识点选修 2-1第一章 常用逻辑用语1. 命题及其关系 四种命题相互间关系: 逆否命题同真同假2. 充分条件与必要条件是 的充要条件:pqpq是 的充分不必要条件: ,p是 的必要不充分条件: q是 的既充分不必要条件:pq,3. 逻辑联结词 “或” “且” “非”4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式(联系反证法的反设) ,主要是量词的变化.例:“a=1”是“ ”的( )0,21axA充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件第二章 圆锥曲线与方程1. 三种圆锥曲线的性质(以焦点在 轴为例)x椭圆 双曲线 抛物线定
2、义与两个定点的距离和等于常数 122 (|)aF与两个定点的距离差的绝对 值等于常数 12 (|)aF与一个定点和一条定直线的距离相等标准方程2(0)xyba2(,0)xyb2(0)ypx图形顶点坐标 (a,0),(0,b) (a,0) (0,0)对称轴 x 轴,长轴长 2ay 轴,短轴长 2b x 轴,实轴长 2ay 轴,虚轴长 2b x 轴焦点坐标 ( ,0)2ab( ,0)2ab( ,0)2p离心率 ca210ee21ceee1互 否为 逆为 逆互 否互 否 互 否互 逆原命题若 p 则 q互 逆 逆命题若 q 则 p逆否命题若 则qp逆否命题若 则p2. “回归定义” 是一种重要的解题
3、策略。如:(1)在求轨迹时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程,写出所求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时,常用定义结合解三角形(一般是余弦定理)的知识来解决;(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意义去解决。3. 直线与圆锥曲线的位置关系(1)有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题,直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程(注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为 0),直线和圆锥曲线相交、相切、相离的
4、充分必要条件分别是、 、 .0应注意数形结合(例如双曲线中,利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)常见方法:联立直线与圆锥曲线方程,利用韦达定理等;点差法(主要适用中点问题,设而不求,注意需检验,化简依据:)12122100,xyykx(2)有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理来解决;(注意斜率是否存在) 直线具有斜率 ,两个交点坐标分别为k12(,),AxyB221121212(4ABx y2kk 直线斜率不存在,则 .12y(3)有关对称垂直问题,要注意运用斜率关系及韦达定理,设而不求,简化运算。考查三个方面:A 存在性(相交) ;B 中点;C 垂直( )1
5、2k注: 1.圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。2.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法.3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数,用求值域的方法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。4.注意向量在解析几何中的应用(数量积解决垂直、距离、夹角等)(4)求曲线轨迹常见做法:定义法、直接法(步骤:建设现(限)代化) 、代入法(利用动点与已知轨迹上动点之间的关系) 、点差法(适用求弦中点轨迹) 、参数法、交轨法等。例 1.已知定点 ,在满足下列条件的平
6、面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是(答:)0,3(,21F准线2axc2axc2px渐近线 by焦半径 102|PFaex 0|2pPFxa,b,c,e,p 知二 求二C) ;A B C D421PF621PF1021PF21例 2 已知双曲线的离心率为 2,F 1、F 2 是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 ,6021PF求该双曲线的标准方程(答: )312FPS 214xy例 3 已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1 ) ,焦点在 x 轴上,若由焦点到直线的距离为 3.(1)求椭圆分方程;(2)设椭圆与直线相交于不同的两点 M,N,当|AM|=|AN|时,求 m 的取值范围。 (答: )21;
7、 (,2)xym例 4 过点 A(2,1)的直线与双曲线 相交于两点 P1、P 2,求线段 P1P2 中点的轨迹xy21方程。第三章 空间向量与立体几何1. 空间向量及其运算2211axyz, 222111dxyzA 共线向量定理: /ab(0) 共面向量定理: ;, (,)ppxaybR共 面四点共面 (,)MPxAyB 空间向量基本定理 (不共面的三个向量 构成一组基 ,)zcxy ,abc底,任意两个向量都共面)2. 平行:(直线的方向向量,平面的法向量) ( 是 a,b 的方向向量, 是平面 的法向量),abn线线平行: /ab/线面平行: 或 , 或 是 内不共线向量)n/(xycb
8、,面面平行: 12/3. 垂直线线垂直: ab0ab线面垂直: 或 是 内不共线向量)/n ,(cb, 面面垂直: 124. 夹角问题线线角 (注意异面直线夹角范围 )|cos|,|ab02线面角 |in|,|na二面角 (一般步骤求平面的法向量;计算法向量夹角;1212|cos|,回答二面角(空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向) ,只需说明二面角大小,无需说明理由) )5. 距离问题(一般是求点面距离,线面距离,面面距离转化为点到面的距离)P 到平面 的距离 (其中 是平面 内任一点, 为平面 的法向量)|PAndn6. 立体几何解题一般步骤坐标法:建系(选择两两垂直的直线,借
9、助于已有的垂直关系构造) ;写点坐标;写向量的坐标;向量运算;将向量形式的结果转化为最终结果。基底法:选择一组基底(一般是共起点的三个向量) ;将向量用基底表示;向量运算;将向量形式的结果转化为最终结果。几何法: 作、证、求异面直线夹角平移直线(借助中位线平行四边形等平行线) ;线面角找准面的垂线,借助直角三角形的知识解决;二面角定义法作二面角,三垂线定理作二面角;作交线的垂面.选修 2-2第一章 导数及其应用1. 平均变化率 xffxy)(002. 导数(或瞬时变化率) fffxlim)( 000导函数(导数) : )(3. 导数的几何意义:函数 yf (x)在点 x0 处的导数 (x0)就
10、是曲线 yf (x)在点(x 0,f( x0)处的切线的f斜率,即 k (x0)f应用:求切线方程,分清所给点 是否为切点4. 导数的运算:(1)几种常见函数的导数:(C)0( C 为常数); ( ) (x0, ); (sinx) cosx;x1Q(cosx)sinx; (e x)e x; (a x)a xlna(a0,且 a1) ; ; (a0,且 a1)1(ln(loglna(2)导数的运算法则:u(x)v( x)u(x)v(x); u(x)v(x)u(x)v( x)u(x) v(x); .)0()()(2xvxvuxvu5. 设函数 在点 处有导数 ,函数 在点 的对应点 处有导数x (
11、)yfuxu,则复合函数 在点 处也有导数,且 或uyf()yfxxy。复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以()()xx中间变量对自变量的导数。6. 定积分的概念,几何意义,区边图形的面积的积分形式表示,注意确定上方函数,下方函数的选取,以及区间的分割.微积分基本定理 .()()|()babfxdFFaa物理上的应用:汽车行驶路程、位移;变力做功问题。7. 函数的单调性(1)设函数 在某个区间(a,b)可导,如果 ,则 在此区间上为增函数;)(xfyf)(x0)(xf如果 ,则 在此区间上为减函数;f0(2)如果在某区间内恒有 ,则 为常数。f0)(x)(xf反之,若已知
12、可导函数 在某个区间上单调递增,则 ,且不恒为y ()0fx零;可导函数 在某个区间上单调递减,则 ,且不恒为零.)(xfy()0fx求单调性的步骤: 确定函数 的定义域(不可或缺,否则易致错) ;)(f 解不等式 ;0x或 确定并指出函数的单调区间(区间形式,不要写范围形式) ,区间之间用“, ”隔开,不能用“ ”连结。8. 极值与最值对于可导函数 ,在 处取得极值,则 .()fxa()0fa最值定理:连续函数在闭区间上一定有最大最小值.若 在开区间 有唯一的极值点,则是最值点。()f(,)b求极值步骤: 确定函数 的定义域(不可或缺,否则易致错) ;)(xfy 解不等式 ;=0 检验 的根
13、的两侧的 符号(一般通过列表) ,判断极大值,极小值,还是非极()fx()fx值点.求最值时,步骤在求极值的基础上,将各极值与端点处的函数值进行比较大小,切忌直接说某某就是最大或者最小。9. 恒成立问题 “ ”和“ ”,注意参数的取值中max()()fxfmin()()fxafxa“=”能否取到。例 1 ,过 的切线方程为 3y8(2,)P例 2 设函数 在 处取得极值。3)fxaxbc1,2x(1)求 的值;,ab(2)若对于任意的 ,都有 成立,求 c 的取值范围。0,3x2()fx(答:(1)a=-3,b=4;(2) )(19,c例 3 设函数 .10231)(2abxaxf(1)求函数
14、 的单调区间、极值.(2)若当 时,恒有 ,试确定 a 的取值范围.,f|)(|(答:(1) 在(a,3a)上单调递增,在(-,a)和(3a,+)上单调递减; 时,()fx xa, 时, (2)a 的取值范围是 )34()fb极 小 fxb极 小 4,1)5第二章 推理与证明1. 分清概念:合情推理与演绎推理 2. 综合法 分析法的步骤规范3. 反证法 步骤:提出反设;推出矛盾 ;肯定结论 4. 数学归纳法 步骤规范:(1)归纳奠基;(2)递推步骤(最后一定说明当 n=k+1 时,结论成立,根据(1) (2) ,结论对于 (或者其他)成立,必不*nN可少)例 1 用综合法和分析证明 sin2s
15、ico例 2 已知 00abcab, 求 证 :例 3 ,求 的值,由此猜想 的通项公式,并证明。113,nnn数 列 中 , 234,ana(答: )5na第三章 数系的扩充与复数的引入1. 复数的概念 三种表示形式:代数形式: ,复平面内点 Z(a,b),向量 .zabiOZ2. 区分实数,虚数,纯虚数,复数3. 复数的四则运算及其几何意义4. 复数的模例 1 ( )的充要条件是_abicdi,abcR例 2 设复数 满足条件 那么 的最大值是( )z1ziz2(A)3 (B)4 (C) (D) 32例 3 实数 m为何值时,复数 216(815)5mzmii(1)为实数;(2)为虚数;(
16、3)为纯虚数;(4)对应点在第二象限.例 4已知 1ziab,为实数 (1)若 234z,求 ;(2)若21zabi,求 a,b的值数学选修 23第一章计数原理知识点:1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有 N 类办法,在第一类办法中有 M1 种不同的方法,在第二类办法中有 M2 种不同的方法,在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法,那么完成这件事情共有 M1+M2+MN 种不同的方法。 2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成 N 个步骤,做第一 步有 m1 种不同的方法,做第二步有 M2 不同的方法,做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2.MN 种不
17、同的方法。3、排列:从 n 个不同的元素中任取 m(mn)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列4、排列数: ),()!)()1( mnnA 5、组合:从 n 个不同的元素中任取 m(mn )个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。6、组合数: )!(!)1()nCnACmn m;n 117、二项式定理: ()abababCnnnnrrn 0128、二项式通项公式二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 : ,TCrrr1()第二章随机变量及其分布1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是
18、随着试验的结果的 不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 、 等表示。2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量 X 可能取的值,我们可以按 一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量3、3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,. ,xi ,xnX 取每一个值 xi(i=1,2,)的概率 P(=x i)P i,则称表为离散型随机变量 X 的概率分布,简称分布列4、分布列性质 p i0, i =1,2, ; p 1 + p2 +pn= 15、二点分布:如果随机变量 X 的分布列为
19、:其中 03.841 时,X 与 Y 有 95%可能性有关;K 26.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关回归分析回归直线方程 bxay其 中 , xSPyxnb222 )()(1 xbya数学选修 4-4极坐标1伸缩变换:设点 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 的作用下,),(yxP).0(,yx:点 对应到点 ,称 为平面直角坐标系中的 坐标伸缩变换,简称伸缩),(yx变换。2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 ,叫做极点;自极点 引一条射线 叫做极轴;再选OOx定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系。3点 的极坐标
20、:设 是平面内一点,极点 与点 的距离 叫做点 的极径,记为 ;MM| 以极轴 为始边,射线 为终边的 叫做点 的极角,记为 。有xx序数对 叫做点 的极坐标,记为 . 极坐标 与),(),(),(表示同一个点。极点 的坐标为 .Z2kOR,04.若 ,则 ,规定点 与点 关于极点对称,即 与 表示同0),(),()()(一点。如果规定 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;同 ,时,极坐标 表示的点也是唯一确定的。),(5极坐标与直角坐标的互化:6。圆的极坐标方程:在极坐标系中,以极点为圆心, 为半径的圆的极坐标方程是 ; r r在极坐标系中,以 为圆心, 为半径的圆的极坐标方程
21、是 ;)0,(aCacos2a在极坐标系中,以 为圆心, 为半径的圆的极坐标方程是 ;2 in)0(nt,si,cos22 xyyx7.在极坐标系中, 表示以极点为起点的一条射线; 表示过极点的一条)0( )R(直线.在极坐标系中,过点 ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 .,aA acos参数方程1.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的 yx,t函数 并且对于 的每一个允许值,由这个方程所确定的点),(tgyfxt都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系,M变数 的变数 叫做参变数,简称参数。相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2圆 的参数方程可表示为 .22)()(rbyax )(.sin,co为 参 数rbyax椭圆 的参数方程可表示为 .120.i,为 参 数抛物线 的参数方程可表示为 .pxy )(.2,为 参 数tpyx经过点 ,倾斜角为 的直线 的参数方程可表示为 ( 为参数)),(oOMl.sin,cotyxt.3在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使 的取值范围保持一致.yx,