1、关于薛定谔方程一 定 义 及 重 要 性薛 定 谔 方 程 （ Schrdinger equation） 是 由 奥 地 利 物 理 学 家 薛 定 谔 提出 的 量 子 力 学 中 的 一 个 基 本 方 程 ， 也 是 量 子 力 学 的 一 个 基 本 假 定 ，其 正 确 性 只 能 靠 实 验 来 检 验 。 是 将 物 质 波 的 概 念 和 波 动 方 程 相 结 合 建立 的 二 阶 偏 微 分 方 程 ， 可 描 述 微 观 粒 子 的 运 动 ， 每 个 微 观 系 统 都 有 一个 相 应 的 薛 定 谔 方 程 式 ， 通 过 解 方 程 可 得 到 波 函 数 的 具
2、 体 形 式 以 及对 应 的 能 量 ， 从 而 了 解 微 观 系 统 的 性 质 。薛 定 谔 方 程 是 量 子 力 学 最 基 本 的 方 程 ， 亦 是 量 子 力 学 的 一 个 基本 假 定 ， 它 的 正 确 性 只 能 靠 实 验 来 检 验 。 二 表 达 式三 定 态 方 程 2VrErm所 谓 势 场 ， 就 是 粒 子 在 其 中 会 有 势 能 的 场 ， 比 如 电 场 就 是 一 个 带 电 粒 子的 势 场 ； 所 谓 定 态 ， 就 是 假 设 波 函 数 不 随 时 间 变 化 。其 中 ， E 是 粒 子 本 身 的 能 量 ； v(x， y， z)是
3、 描 述 势 场 的 函 数 ， 假 设 不 随时 间 变 化 。2222222 zyx 可 化 为0)(222 vEhmdx薛 定 谔 方 程 的 解 法一 初 值 解 法 ； 欧 拉 法 ， 龙 格 库 塔 法二 边 值 解 法 ； 差分法，打靶法，有限元法龙 格 库 塔 法 （ 对 欧 拉 法 的 完 善 ）给 定 初 值 问 题).()()( (3) ),( ),()( ,(2) )( ),( 31 121 22111021hOtyty hkyhtfk ytfkkckchyyyccay btaytfdtdyii iiiiii 的 局 部 截 断 误 差使 以 下 数 值 解 法的 值及
4、确 定 常 数 .)(,(, (3) )()(2)()( ,)(,()(,()(,()( )(,()( )()(2)()()( )( 3213211处 的 函 数 值分 别 表 示 相 应 函 数 在 点其 中 得代 入 上 式将 处 展 成 幂 级 数在首 先 将iiyt ytiiytiiiiiitytfff hOffhhftytytytftytftytfty tytftyhOtyhtyhtytytty .)( 21 1 , 021,01 ),()()()(21()1()( ,)( 322121221311 3222111的 计 算 公 式局 部 截 断 误 差 为 可 得 到但 只 有 两
5、 个 方 程 ， 因 此方 程 组 有 三 个 未 知 数 ，满 足 条 件即 常 数 当 且 仅 当要 使 局 部 截 断 误 差得下假 设在 局 部 截 断 误 差 的 前 提hO ccccc ccc hOytyhOffchfcchyty tyyii ytii ii 有限元方法有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形（有限个直线单元）逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被提出，则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及
6、，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的函数的 Rayleigh Ritz 法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。
