向量知识点归纳总结.doc

1、1向量知识点归纳与常见题型总结1与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量） ，而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“ ”错了，ab而| | |才有意义.ab有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向） ，故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.单位向量是模为 1 的向量，其坐标表示为（ ）,其中 、 满足 yxxy2xy1（可用（cos ,sin ） （0 2

2、）表示）.特别： 表示与 同向的单位向|AB量。例如：向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所()(0|ACBC在直线)；例 1、O 是平面上一个定点，A、B、C 不共线，P 满足则点 P 的轨迹一定通过三角形的内心。()0,).|P(变式)已知非零向量 与 满足( + ) =0 且 = , 则ABC 为( )AB AC AB |AB |AC |AC | BC AB |AB |AC |AC |12A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06 陕西) 的长度为 0，是有方向的，并且方向是任意的，实数 0 仅仅是一个无方向的实数.有向线段是向量的一种表示

3、方法，并不是说向量就是有向线段. （7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。)aa2与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则）当两个向量 和 不共线时， 的方向与 、 都不相同，且ababb| | | |；当两个向量 和 共线且同向时， 、 、 的方向都相同，且 |ba；|当向量 和 反向时，若| | |， 与 方向相同 ，且| |=| |-| |；ababa2若| | |时, 与 方向相同，且| |=| |-| |.abbaba向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求

4、和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。;ACBB例 2：P 是三角形 ABC 内任一点，若 ，则 P 一定在（ ）,CPABRA、 内部 B、AC 边所在的直线上 C、AB 边上 D、BC 边上例 3、若 ，则ABC 是：A.Rt B.锐角 C.钝角 D.等腰 Rt02特别的： ,baba例 4、已知向量 ，求 的最大值。)1,3()sin,(co|2|ba分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。解：原式= |i2,3| 2)1sin()cos= 。当且仅当 时， 有最大值)sin(8(65Zk|.4评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“ ”就显| ba

5、ba得简洁明快。原式 = ，但要注意等号成立的条件|2ba421| （向量同向） 。围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.如， ,（在ABC 中） .( ABCD 中)ABC0CDBA0A判定两向量共线的注意事项：共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab存在实数 使 a=b如果两个非零向量 ， ，使 = （R） ，那么 ；abb反之，如 ，且 0，那么 = .ab这里在“反之”中，没有指出 是非零向量，其原因为 =0 时，与 的方向规定为平a行. 数量积的 8 个重要性质两向量的夹角为 0 .由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，

6、其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.设 、 都是非零向量， 是单位向量， 是 与 的夹角，则abeab)1|.(cos|e （ =90，00cs在实数运算中 =0 =0 或 b=0.而在向量运算中 = = 或 = 是错误的，a0ab0故 或 是 =0 的充分而不必要条件.ab当 与 同向时 = ( =0,cos =1);|b当 与 反向时， =- ( =,cos =-1)，即 的另一个充要条件是|.当 为锐角时， 0，且 不同向， 是 为锐角的必|a ab、 0a3要非充分条件；当 为钝角时， 0，且 不反向， 是 为钝角的必要ab a、 0ab非充分条件；例 5.如已知

7、， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是)2,(a)2,3(_（答： 或 且 ） ；41例 6、已知 , 为相互垂直的单位向量， ， 。且 与 的夹角为锐ij jiajibab角，求实数 的取值范围。分析：由数量积的定义易得“ ”，但要注意问题的等价性。b,0解：由 与 的夹角为锐角，得 有ab.21.21而当 即两向量同向共线时，有 得 此时其夹角不为锐角。),0(t t.故 .21,评析：特别提醒的是： 是锐角与 不等价；同样 是钝角与ba0baba,不等价。极易疏忽特例“共线” 。0ba特殊情况有 = 。或 = = = .2|22yx如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为

8、( , ),( , ),则 =1|2121)(yx 。 （因 ）|ba 1cos数量积不适合乘法结合律.如 （因为 与 共线，而 与 共线）).()( cba)( )(cba数量积的消去律不成立.若 、 、 是非零向量且 并不能得到 这是因为向量不能作除数，abc即 是无意义的.c1(6)向量 b 在 方向上的投影bcos ab(7) 和 是平面一组基底,则该平面任一向量 ( 唯一)1e2 21e1,特别：. 则 是三点 P、A、B 共线的充要条件.OP12AB12注意：起点相同，系数和是 1。基底一定不共线例 7、已知等差数列a n的前 n 项和为 ，若 ，且 A、B、CnS1Oa 20三点

9、共线（该直线不过点 O） ，则 S200（ ）4A50 B. 51 C.100 D.101例 8、平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 , ,若点 满足O)13(A)BC O,其中 且 ,则点 的轨迹是_（直线 AB） BO21R21,21C例 9、已知点 A,B,C 的坐标分别是 .若存在实数 ,)(5),3(t使 ,则 的值是:A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D.不确定AC)(t例 10 下列条件中，能确定三点 不共线的是：PBA,A BMMP2cos2sin MBAP20tan2secC D7 3co3分析：本题应知：“ 共线，等价于存在 使 且, ,R”。1(8)在 中， 为

10、 的重心，特别地B1()3GPACG为 的重心； 则 过三角形的重心；0PAB12BA例 11、设平面向量 、 、 的和 。如果向量 、 、 ，满足1a23130a1b23，且 顺时针旋转 后与 同向，其中 ，则（D） （06 河南高考）2iibi oib,iA B13123C D20 为 的垂心； PBCPAC向量 所在直线过 的内心( 的角分线所在直线)；()(|AC 的内心；(选)| |0ABPSAOB ;AByx21例 12、若 O 是 所在平面内一点，且满足 ，则C2OBO的形状为_（答：直角三角形） ；例 13、若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足DACP，设 ，则 的

11、值为_（答：2） ；0PAB|P例 14、若点 是 的外心，且 ，则内角 为_（答： ） ；OAC 0OBC120(9)、 P 分 的比为 ,则 = , 0 内分; 0 且 -1 外分.2112 ;若 1 则 ( + );设 P(x,y),P1(x1,y1),P125P2(x2,y2)则 ;中点 重心.1,21yx.2,12yx.3y,x213说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点，分母是分点至终点，不能改变顺序和 分子分母的位置。例 15、已知 A（4，-3） ，B（-2，6） ，点 P 在直线 AB 上，且 ，则 P 点的坐|AB标是（ ） （2，0） ， （6，-6）(10)、点 按

12、 平移得 ,则 或 函数 按),(yxP),(kha)(yxakyhx)(xfy平移得函数方程为：,kha hf说明：（1）向量按向量平移，前后不变；（2）曲线按向量平移，分两步：确定平移方向-与坐标轴的方向一致；按左加右减，上加下减（上减下加）例 16、把函数 的图象按向量 平移后得到的解析式是_。2yx(2,)a286yx例 17、函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，则sin12cosxy_（答： ）a)1,4(结论：已知 ,过 的直线与 交于点 ,则0:,21 CByAxlyBxABAlP分 所成的比是 ,若用此结论,以下两题将变得很简单.P1例 18、已知有向线段 的起点

13、 P 和终点 Q 的坐标分别是 ，若直线 的方程)2,(1l是 ，直线 与 的延长线相交,则 的取值范围是_.0myxl m解:由 得 ,因为直线 与 的延长线相交,故 ,CByA2132lP1解得 3变式:已知点 A(2,-1),B(5,3).若直线 与线段 相交,求 的范围.01:ykxl ABk提示: 由 得: 及直线过端点得ByAx2125521（11）对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，满足 ，OPxyzOC则四点 P、A、B、C 是共面 注意：（1）起点相同 （2）系数和是 1。z（12） 空间两个向量的夹角公式 cos a，b= （ a123221abb，b ）.123

14、(,)a123(,)（13）空间两点间的距离公式 若 A ，B ，则1(,)xyz2(,)xyz6= .,ABd|AB222111()()()xyz（14）点 到直线 距离 (点 在直线 上，直线 的方向向量Ql|habPlla= ，向量 b= ).P（15）正弦定理 （R 是三角形的外接圆半径）2sinisinacABC说明：正弦定理可直接进行边角转换；例 15：在 中， 分别是角 的对边，且 ，求 B 的大小。C,b,cos2BbCac提示： cossi22n3Bac例 16：在 中，若 ，则此三角形必是_三角形（等腰）Ai2oAB提示： 2sbabc（16）余弦定理; ; .22coab

15、22s22coscabC（17）面积定理 （ 分别表示 a、b、c 边上的高）.11abcShhab、 、 .sinsisin22CAB = ( 为 的夹角)2(|)()OABBOtaA,OAB（18）三角形内角和定理 在ABC 中，有.()2C2()C说明：（1）三角形具有丰富的内涵（隐含条件）：两边之和大于第三边；：斜边大于直角边；：正（余）弦定理；：面积公式；：内角和是 ；：大角对大边018： BABAtantatntatn：正弦、余弦函数的单调性；锐角三角形中有： sii()cos22AB钝角三角形中有（C 是钝角）： ni()csB例 17：定义在 R 上的偶函数 ，且在 上是减函数

16、， 是锐角三(1)(fxf3,角形的两个角，则（ ）A、 B、sincos)sioffC、 D、(sin)(si)ff(f（19）平面两点间的距离公式=,ABd|B (A ，B2211)()xy1(,)xy7).2(,)xy（20）向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则1(,)xy2(,)ab b=a .120xya b(a 0) ab=0 .2（21）线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实1(,)P2(,)xy(,)Px12P数，且 ，则12P（ ）.21xy12O12()tOt1t（22）平面向量的综合问题 向量的“双重身份”注定了它成为中学数学知识的一个重要交

17、汇点，担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情，数的特性使得它与“函数，三角，数列，不等式，导数”有众多的联系，成为高考中一个新的亮点。形的特性又使它必然与“平面几何，解析几何，立体几何”紧密相关，以体现它的工具作用。我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻译”能力。即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言”或者可操作的“运算形式” 。一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题则从模的运算性质开始（一般需先平方） ，而共线，共点问题多由数乘向量处理。例 19设平面向量 ，若存在不同时为 0 的两个实数 及实)23,1(),23(ba ts,数 ，使 。0kyxtasyktx且（1）求函数关系

18、式 ；)(fs（2）若函数 在 是单调函数，求 的取值范围。,1k分析：由数量积的坐标运算，不难得出 的解析式，含参数必引起讨论，运用)(tfs“整体思想”可简化计算； 在 是单调函数，等价于“ 或)(tf, 0)(tf在 上恒成立” 。0)(tf),解：（1） ， ，又)23,1(,23(ba,1| baa且 yx即 由此得：yx 0)tskt kts3（2） ，又 是单调函数，tf)(f若 是增函数，则 ，恒有 ，t ),1,32tkt而 30若 是减函数，则 ，恒有 ，这样的 不存在tf)f 而综上 .30k评析：本题覆盖了许多重要的知识点和数学思想方法，与“在知识网络交汇点设计试题”的

19、高考命题思想相吻合。8例 20、在 ABC 中， ， ，又 E 点在 BC 边上，且满足 321|ABC23|BAC，以 A、B 为焦点的双曲线经过 C、E 两点.求此双曲线的方程.ECB2分析：遇到的首要问题即“建系”和“向量语言”的解读。深刻理解向量运算的几何意义，就显得万分重要了。解:以线段 AB 的中点 O 为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，A（-1，0） ，B（1，0） 作 CDAB 于 D，由已知 ， | |cosA= ，即| |= ，21|AA21AD21同理又 ，| |= ，3|CB3设双曲线的方程为 (a0,b0),C(- ,h), E(x1,y1)12bya

20、x2又 3 ， 又E、C 两点在双曲线上，EB51hy ,解答： a2= ,b2= , 双曲线的方程为：7x 2- =1. 22214,5hab7667y评析：解析几何与向量的综合，主要表现为用向量的语言来表述题意（如共线，垂直常表现为向量等式，有时也涉及向量的坐标形式） ，其实其本质内容仍是本章节的知识的整合。本题中关键在理解两个向量等式（也即“向量的投影” ）的几何意义，我们只要具备数学语言的“翻译”能力和简单的向量坐标运算的基础知识就可以了。例 21设 ，且 ，求证： Ryx, 1yx9)1(yx分析：观察不等式的结构特征，可以联想向量数量积的性质“ ”，构造向量|ba解决，不失为一种别致的想法。证：设 ，则 ，而 。),1(),(ybxaxyba1 )1(| yx由 得， ，|b 22|a 2)1()(y.9)21(yx评析：根据题目所含代数式的结构特征，合理构造向量的坐标，运用向量数量积的性质“ ”可以解决很多代数问题。同样将几何图形中的线段“向量化”也可研|ba究几何图形的性质。这就是新颖别致的解题方法 - 向量法。 “构造法”是一种创造性思维，体现了更高层次的思维价值。该例子在于唤起大家的“向量应用意识” ，仔细体会，9别有情趣。