1、第五章 非线性模型,在现实社会经济活动中，经济变量之间的数量依存关系类型复杂，有些表现为线性关系，但更为普遍的则表现为非线性依存关系。,第五章 非线性模型,第一节 一元曲线方程的种类第二节 曲线方程的线性化第三节 案例,第一节 一元曲线方程的种类一、双曲线方程（倒数模型）,Yt = bo + b1 + ut,1 Xt,bo 0, b1 0,bo 0, b1 0,0,X,Y,双曲线方程图象,或, = bo + b1 + ut,1 Yt,1 Xt,函数形式：,倒数模型的基本特征：随着X的无限增大，Y将趋于极限值b0（或1/b0）即有一个渐进的下限或上限。现实经济活动中有些现象（如平均固定成本曲线、
2、商品成长曲线、恩格尔曲线、菲利普斯曲线等）都有类似的变动规律。可以运用倒数模型来进行描述。,二、双对数函数方程（对数模型）,方程形式：,对数模型的基本特点：斜率b直接度量了Y对X的弹性。,ln Y = a + b ln X,表示X变化1%，Y将变动b% 如果X表示商品本身的价格，则b就是需求价格弹性 如果X表示替代商品的价格，则b就是需求交叉弹性 如果X表示消费者的收入水平，则b就是需求收入弹性 在生产函数中，还可以表示劳动产出弹性、资金的产出弹性。,三、对数函数方程（半对数模型）,Y = a + b ln X,ln Y = a + b X,Y,0,X,a,b 0,a 0,b 0,对数函数图象
3、,函数形式：,Y = a + b ln X 对数 线性模型,参数b的经济意义： 表示X变每动1%，Y将变动b个单位。,ln Y = a + b X 线性 对数模型,参数b的经济意义： 表示X每变动1个单位， Y将变动100b % 。,四、多项式函数方程,Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3,多项式函数图象,Y,X,0,Y = bo + b1 X + b2 X 2,总成本曲线图形,Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3,五、逻辑曲线,产品生长周期：产品生产量随着时间变化的过程，开始 阶段发展较慢，接着是急剧增长，然后是平稳发展的周期， 最后达到饱
4、和状态，其轨迹形成一条“S”型曲线。,Y,X,0,K,K 2,K 1+a,第二节 曲线方程的线性化,一、直接代换法直接代换法适用于变量之间的关系虽然是非线性的，但因变量与参数之间的关系却是线性的非线性模型。, = bo + b1 + ut,1 Yt,1 Xt,令 Y * = ，X * = ,1 Xt,1 Yt,Yt* = bo + b1 X t* + ut,得,双曲线方程,Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3,令 X2 = X 2 ，X3 = X 3,得,Y = bo + b1 X + b2 X 2 + b3 X 3,从而将一元 3 次方程转化为三元 1 次方程。,多
5、项式函数方程,二、间接代换法当经济变量之间的非线性关系，不能通过直接变量代换转化为线性形式，需要先通过方程两边取对数后再进行变量代换，转化为线性形式，这种方法称为间接代换法。,对方程两边取对数，得：ln Y = ln A + a ln L + b ln K,令 Y* = ln Y， A* = ln A， L* = ln L， K* = ln K则 Y* = A* + a L* + b K*,柯布道格拉斯方程,如何替换？,逻辑曲线方程,第三节 案例,案例1 根据平均成本U型曲线理论，成本函数可用产量的三次多项式近似表示。利用某企业的总成本和产量的统计资料，建立某企业的总成本模型和平均成本模型。,
6、总成本模型,平均成本模型,案例2 某家用电器需求量的统计资料,案例3 柯布道格拉斯生产函数,柯布道格拉斯生产函数特征,(1)柯布道格拉斯生产函数是 阶齐次函数。假定所有投入都明确作为可变投入对待，比例报酬参数 (即函数系数)就等于各项投入的b值之和。 (2)各项投入的生产弹性恒为常量，且为各投入要素的b值。,柯布道格拉斯生产函数特征,(3)所有的投入都必须大于0。由于柯布道格拉斯生产函数是乘积函数，缺少任何一项投入都将导致总产出为0，这个特点就限制了其使用范围。在应用柯布道格拉斯生产函数时一定要注意。 (4)柯布道格拉斯生产函数没有最大值存在。当函数系数大于1时，产出值以递增的速率增加；当函数
7、系数等于1时，产出值以固定的速率增加；当函数系数小于1时，产出值以递减的速率增加。,柯布道格拉斯生产函数的应用,(1)弹性值分析 (2)边际值分析 (3)测定科技进步率,产出年均增长率,资本投入年均增长率,劳动投入年均增长率,技术进步率,Y=A0etKL,GDP的年均增长速度资本的年均增长速度劳动的年均增长速度,数学分析：不同的生产函数,Y=ALaKb LNY=LNA+alnL+blnK dY/Y=dA/A+adL/L+bdK/K dA/A=dY/Y-（adL/L+bdK/K） 科技贡献率= （dA/A）/（dY/Y）,作业：,安徽省自2000至2009年地方GDP增长了575%，其中投入的劳动增加了325%，资金增加了400%，请问安徽省科技进步贡献率是多少？（劳动与资金边际生产力分别是0.3与0.6).（书面作业） 安徽省农产品趋势分析（上机实习）。,
