1、5-5.质数合数分解质因数.题库 教师版 page 0 of 135-5 质数合数分解质因数教学目标本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。知识点拨1 质数与合数一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了 1 和它
2、本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数.常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.考点： 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个
3、数的质因数.互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如： .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如 ，2、3 都叫做 12 的质302 12因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.3 唯一分解定理任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即： 其中为质数，312kaaanpp为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式.12kaa 例如：三个连续自然数
4、的乘积是 210，求这三个数.分析：210=2357，可知这三个数是 5、6 和 7.5-5.质数合数分解质因数.题库 教师版 page 1 of 134. 部分特殊数的分解； ； ； ； ；1371013412701731953719； ； ； .982278205. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数)，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个大于且接近 p 的平方数 ，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够
5、除尽的2K那么 p 就为质数.例如：149 很接近 ，根据整除的性质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149 是质数.14例题精讲模块一、质数合数的基本概念的应用【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌请你将诗中 56 个字第 1 行左边第一字起逐行逐字编为156 号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话【解析】 按要求编号排序，并画出质数号码：美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲
6、 同 切 磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 庆 手 相 握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚 起 华 夏 中 兴 力，同 唱 移 山 壮 丽 歌43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【 巩固巩固 】 (2008 年南京市青少年“
7、科学小博士”思维训练)炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖” ，只奖励 40 岁以下的数学家华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于 1982 年、2006 年荣获此奖我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数 k，存在无穷多组含有 k 个等间隔质数(素数)的数组例如， 时，3k3，5，7 是间隔为 2 的 3 个质数；5，11，17 是间隔为 6 的 3 个质数：而 ， ， 是间隔为 12 的 3 个质数(由小到大排列，只写一组 3 个质数即可)【解析】 最小的质数从 2 开始，现要求每两个质数间隔 12，所以 2 不能在所要求的数组中而且
8、由于个位是 5 的质数只有一个 5，所以个位是 3 的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：5-5.质数合数分解质因数.题库 教师版 page 2 of 13【 巩固巩固 】 (2003 年“祖冲之杯”邀请赛)大约 1500 年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出 的值在3.1415926 和 3.1415927 之间，成为世界上第一个把 的值精确到 7 位小数的人现代人利用计算机已经将 的值计算到了小数点后 515 亿位以上这些数排列既无序又无规律但是细心的同学发现：由左起的第一位 3 是质数，31 也是质数，但 314 不是质数，那么在3141，31415，314159，31415
9、92，31415926，31415927 中，哪些是质数？【解析】 注意到 3141，31415，3141592，31415926，31415927 依次能被 3，5，2，2，31 整除，所以，质数是 314159【 巩固巩固 】 (2004 年全国小学奥林匹克)自然数 是一个两位数，它是一个质数，而且 的个位数字与十位NN数字都是质数，这样的自然数有多少个？【解析】 这样的自然数有 4 个：23，37，53，73【例 2】 两个质数之和为 ，求这两个质数的乘积是多少.39【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是 ，另一个是 ，乘积为 .我2374们要善于抓住此类题的突
10、破口。【 巩固巩固 】 如果 a，b 均为质数，且 ，则 _.741abab【解析】 根据题意 a,b 中必然有一个偶质数 2， ，当 时， ，当 时不符合题意，所以5b.257【 巩固巩固 】 A，B，C 为 3 个小于 20 的质数， ，求这三个质数. 30ABC【解析】 因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是 ，另两个奇质数2之和为 ，又因为这三个数都要小于 ，所以只能为 和 ，所以这三个质数分别是 ，8217， .17【 巩固巩固 】 已知 3 个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这 3 个质数的乘积是多少？【解析】 最小的合数是 4，其平方为 16我们
11、知道奇数个奇数的和是奇数，所以这 3 个质数中必然有 2，那么其余 2 个的和是 14，只能一个是 3 一个是 11，因此这 3 个质数的乘积是 216【 巩固巩固 】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为 ，其中 ，而且 和 都是质数( 和 是两个数字)具有abababab这种形式的数共有多少个？【 巩固巩固 】 若两位数 、 均为质数，则 、 均为奇数且不为 5，故有ab1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997 共 8 个数【例 3】 (“祖冲之杯”小学数学邀请赛)九九重阳节，一批老人决
12、定分乘若干辆至多可乘 32 人的大巴前去参观兵马俑如果打算每辆车坐 22 个人，就会有 1 个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【解析】 仍按每车坐 22 人计算，少开一辆车将有 23 人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23 是质数，所以余下 23 辆车，原有 24 辆车，原有老人 (个)22359【 巩固巩固 】 (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【解析】 因为是质数所以个位数不可能为偶数 0，2，4，6，8 也不可能是奇数 5如果末位数字是 3 或
13、9，那么数字和就将是 3 或 9 的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了所以个位数只能是7这个三位质数可以是 167，257，347，527 或 617 中间的任一个5-5.质数合数分解质因数.题库 教师版 page 3 of 13【 巩固巩固 】 (第五届“华杯赛”口试第 15 题)图中圆圈内依次写出了前 25 个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中 乙乙乙乙乙“乙乙”乙乙“乙乙”978913117532351561285. 问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么?【解析】 质数中只有一个偶数 2，其余的质数均为奇数所以甲填的“和数”中
14、除第一个是奇数 5 外，其余的均为不小于 8 的偶数乙填的“积数”中除第一个是偶数 6 外，其余所填的全是不小于 15 的奇数所以甲填的数与乙填的数都不相同【 巩固巩固 】 (全国小学数学奥林匹克)从 19 中选出 8 个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【解析】 由于质数除了 2 以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数” ，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选 9，第二位选 8，第三位最大可以选 7，但 7 与 8
15、 之和不是质数，再改选 5，8 与 5 之和是质数，符合要求第四位可选剩余的最大数字 6，如此类推十位可选 3，个位选 2所以，可以读到的最大数是 98567432数字排列如下图34 7 65892【 巩固巩固 】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用 L 表示所有被 3 除余 1 的全体正整数如果 L 中的数(1不算)除 1 及它本身以外，不能被 L 的任何数整除，称此数为“L质数” 问：第 8 个“L质数”是什么？【解析】 “L 数”为 1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34， “L质数”应为上列数中去掉 1，16，28，即为 4，7，10，13，19，22，25
16、，31，34，所以，第 8 个“L质数”是 31【例 4】 9 个连续的自然数，每个数都大于 80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组【解析】 我们知道任意连续 9 个自然数中最多有 4 个质数，本题考察对 100 以外的质数的熟练情况，有101，103，107，109 是 4 个质数。【 巩固巩固 】 (我爱数学少年数学夏令营)用 0，1，2，9 这 10 个数字组成 6 个质数，每个数字至多用 1次，每个质数都不大于 500，那么共有多少种不同的组成 6 个质数的方法请将所有方法都列出来【解析】 除了 2 以外，质数都是奇数，因为 09 中只有 5 个奇数，所以如果想组成 6 个
17、质数，则其中一定有 2又尾数为 5 的数中只有 5 是质数，所以 5 只能单独作为 6 个质数中的一个数另 4 个质数分别以 1，3，7，9 为个位数，从而列举如下：2，3，5，7，41，89，2，3，5，7，61，89，2，3，5，7，89，401，2，3，5，7，89，461，2，3，5，7，61，409，2，3，5，47，61，89，2，3，5，41，67，89，2，3，5，67，89，401，2，5，7，43，61，89，2，5，7，61，83，409即共有 10 种不同的方法5-5.质数合数分解质因数.题库 教师版 page 4 of 13【 巩固巩固 】 从小到大写出 5 个质数，
18、使后面数都比前面的数大 12.这样的数有几组？【解析】 考虑到质数中除了 2 以外其余都是奇数，因此这 5 个质数中不可能有 2；又质数中除了 2 和 5，其余质数的个位数字只能是 1、3、7、9.若这 5 个质数中最小的数其个位数字为 1，则比它大 24的数个位即为 5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为 3，则比它大 12 的数个位即为 5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是 7 和 9，因此最小的数只能是 5，这 5个数依次是 5，17，29，41，53.这样的数只有一组.【例 5】 用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到
19、并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数.【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有 2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用有 1、4、8、9 可以组成质数 41、89，而 6 可以与7 组合成质数 67所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数。【 巩固巩固 】 有三张卡片，它们上面各写着数字 1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来. 【解析】 抽一张卡片，可写出一位数 1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数 12，13，21，23，31
20、，32；抽三张卡片，可写出三位数 123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为 6，都能被 3 整除，所以都是合数.这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31.【 巩固巩固 】 某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来. 【解析】 有六个这样的数，分别是 11，13，17，23，37，47.【例 6】 7 个连续质数从大到小排列是 a、b、c、d、e、f、g 已知它们的和是偶数，那么 d 是多少？【解析】 因为 7 个质数的和是偶数，所以这 7 个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有 2，因此这 7 个质
21、数中必有一个是 2.又因为 2 是最小的质数，并且这 7 个连续质数是从大到小排列的，所以 .其他 6 个数从大到小依次是 17、13、11、7、5、3.这样 .2g d【 巩固巩固 】 从 以内的质数中选出 个，然后把这 个数分别写在正方体木块的 个面上，并且使得相对066两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【 解析解析 】 小于 的质数有 ， ， ， ， ， ， ， ，其中 .每个木块掷在235713719519713地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是 ，最大是5，经试验，三个数的和可以是从 到 的所有奇数，所
22、有可能的不同值共有1957个。【 巩固巩固 】 将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么 A 最小是几？A=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）【 解析解析 】 首先列出前几个合数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想 A 尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出 8 个来必然很大。所以应该是一奇一偶，经试验得 A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即 A的最小值为 29。大部分的题考的都是质数，此题考合数
23、，重在强化合数以及互质的概念。【 巩固巩固 】 4 只同样的瓶子内分别装有一定数量的油每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13已知 4 只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？【 解析解析 】 由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是 瓶油(连瓶)重量之和的 倍，即 瓶油(连瓶)共434重( ) (千克)而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇10213一偶，由于 是唯一的偶质数，只有两种可能： 油重之和为 千克，瓶重之和为 千克，每192只瓶重 千克，最重的两瓶内的油为 (千克) 油重之和为 千克，瓶重之和为132千克，每只瓶
24、重 千克，最重的两瓶内的油为 (千克)，这与油重之和 千克矛1994 732盾因此最重的两瓶内共有 千克油。125-5.质数合数分解质因数.题库 教师版 page 5 of 13【 例 7】 将 60 拆 成 10 个 质 数 之 和 ， 要 求 最 大 的 质 数 尽 可 能 小 ， 那 么 其 中 最 大 的 质 数 是 多 少【解析】 最大的质数必大于 5，否则 10 个质数之和将不大于 50，又 60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2 即 8 个 7与 2 个 2 的和为 60，故其中最大的质数是 7【 巩固巩固 】 将 50 分拆成 10 个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大
25、，则这个最大的质数是多少？【解析】 若要求最大的质数尽可能大，则其余 9 个质数应尽可能小，最佳的方案是 9 个 2。但是此时剩余的数为 32，不是质数，所以退而求其次，另其余 9 个数为 8 个 2，1 个 3，那么第 10 个数为 31【 巩固巩固 】 将 37 拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？【解析】 枚举法：有些学生会问，老师：什么时候用枚举法？1.数不大，种类比较少2.没有规律，不能用排列组合等方法3.能有方法做的时候建议不采用枚举的方法37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5
26、+13+197+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17共有 10 种不同的拆法，其中 3529=435 最小【 巩固巩固 】 如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？【解析】 首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到智康数与其他自然数的“分界线” 。我们知道最小的三个不同合数是 4,6,8，它们的和是 18,则比 18 小的数一定都不是智康数，而比 18 大的数中，我们可以分为与 18 的差是“奇数”或者是“偶数” 。如果与 18 的差是偶数，那么这类自然数一定不是智康数，可以
27、写作 4+6+(8+2n),如果与 18 的差是一个奇数，那么可以写作 4+(6+2n)+(8+1)也不是一个智康数，所以最大的智康数为 17。模块二、分解质因数【例 8】 两个连续奇数的乘积是 ，这两个奇数之和是多少 ? 15【解析】 分解质因数： ( ) ( ) ，所以和为15376375635.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的 。68 137【 巩固巩固 】 三个连续自然数的乘积是 ，求这三个数是多少？ 210【解析】 分解质因数： ，可知这三个数是 、 和 。210357567【 巩固巩固 】 把 26，33，34，35，63，85，91，143 分
28、成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是 1，那么至少要分几组. 【解析】 要保证每组中的任意 2 个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分 3 组.【 巩固巩固 】 把 40，44，45，63，65，78，99，105 这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。【解析】 ， ， ， ， ， ， ，340252412453267651782312931，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数 2，第一组17含有 40，第二组含有 44，78，再看 ，第一组应有 40，99，65，再看 5 第二组应有1
29、,5-5.质数合数分解质因数.题库 教师版 page 6 of 1344，78，45，105，最后看 7，第一组应有 40，99，65，63【例 9】 4 个一位数的乘积是 360，并且其中只有一个是合数，那么在这 4 个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？【解析】 将 360 分解质因数得 ，它是 6 个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有360235一个是合数，所有该合数必至少为 个质因数的积，又只有 3 个 2 相乘才能是一位数，所6以这 4 个乘数分别为 3，3，5，8，所组成的最大四位数是 8533.【 巩固巩固 】 将 19 九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是
30、 48，第二组三个数的乘积是45，第三组三个数字之和最大是多少？【解析】 分解质因数 ， ，可知 45 只能是 1，5，9 的乘积，而 48 可能是45348232，4，6 或 2，3，8 或 1，6，8(舍去)，则第三组的三个数可能是 3，7，8 或 4，6，7，其中和最大的是 .7【例 10】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 【解析】 如下图，设长、宽、高依次为 a、b、c，有正面和上面的和为 ac+ab=209ac+ab=a(c+b)=209，而 209=1119当 a=11 时，c+b=19，当两个质数的
31、和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数 2，则 c+b=2+17;当 a=19 时，c+b=11，则 c+b=2+9，b 为 9 不是质数，所以不满足题意所以它们的乘积为 11217=374【 巩固巩固 】 一个长方体的长、宽、高是连续的 3 个自然数，它的体积是 39270 立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【解析】 39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，而 343434 最接近 39270，39270的约数中接近或等于 34 的有 35、34、33，有 333435=39270所以 33、34、35 为满足题意的长、宽、高则长方体的表面积为：2(长宽+宽高+高
32、长)=2(3334+3435+3533)=6934(平方厘米)方法二：39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数 17，如果 17 作为长、宽或高显然不满足当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数 7，与 34 接近的数 3236 中，只有 35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的一条边的长度而 39270 的质因数中只剩下了 3 和 1l，所以这个长方体的大小为 333435长方体的表面积为 2( + + )=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘米)397049705【 巩固巩固 】 一个长
33、方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是 1998 立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米? 【解析】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小如 3 个数的积为18，则三个数为 2、3、3 时和最小，为 81998=233337，37 是质数，不能再分解，所以 2333 对应的两个数应越接近越好有 2333=69 时，即 1998=6937 时，这三个自然数最接近它们的和为 6+9+37=52(厘米)【例 11】 （老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大
34、岁，他们四个人年龄的乘积是25-5.质数合数分解质因数.题库 教师版 page 7 of 13。问他们四个人的年龄各是几岁？ 483【解析】 题中告诉我们， 是四个人年龄的乘积，只要我们把 分解质因数，再按照每组相差 2483 483来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。，由此得出这四个人的年龄分27(2)(724(3)126别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。由题意可知，这四个数是相差 2 的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为 的个位数字不是 0，显然这四个数中，没有483个位数字是 0 的，那么这四个数的个位数字一定是 2、4、6、8。又因
35、为 ，而4183，4832所以可以断定，这四个数一定是 12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是 12 岁、14岁、16 岁、18 岁。答：这四个人的年龄分别是 12 岁、14 岁、16 岁、18 岁。【 巩固巩固 】 甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是 13，甲比乙大 13 岁，那么乙今年多大？ 【解析】 个位与十位数字之和为 13，那么这样的质数在两位数中只有 67，三位数中为 167，再继续则不符合常理，所以甲乙年龄有可能分别为 40,27 岁，或者 90，77 岁，所以乙的年龄可能为 27 岁或 77 岁。【例 1】 甲数比乙数大 ，乙数比丙数大 ，
36、三个数的乘积是 ，求这三个数？ 556384【 解析解析 】 将 分解质因数， ，则其中必有一个数是 或 的倍数；经试638463842371919算， ， ，恰好 ，所以这三个数即为 ，1971922638414， .一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析 .如果这道题里 不符合要求，2下一个该考虑 ，再下一个该考虑 ，依此类推 5【 巩固巩固 】 如果两数的和是 64，两数的积可以整除 4875，那么这两个数的差等于多少？ 【 解析解析 】 4875=355513，有 ab 为 4875 的约数，且这两个数的和为 64发现39=313、25=55 这两个数的和为 64，所以 39
37、、25 为满足题意的两个数那么它们的差为39-25=14。【 巩固巩固 】 四个连续自然数的乘积是 3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 【 解析解析 】 分解质因数 ，考虑其中最大的质因数 7，说明这四个自然数中必定有一个是 743027的倍数.若为 7，因 3024 不含有质因数 5，那么这四个自然数可能是 6、7、8、9 或7、8、9、10(10 仍含有 5，不行)，经检验 6、7、8、9 恰符合.【 巩固巩固 】 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？204【 解析解析 】 首先分解质因数， ，其中最大的质因数是 167，所以所20472351要
38、求的三个连续自然数中必定有 167 本身或者其倍数. ， ，165316283， ，所以 ， ， 都没有168316931678794 个 2，不满足题意.说明 167 不可行.尝试 ，42， ， ，包括35727352了 中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为 1005.0【 巩固巩固 】 三个质数的乘积恰好等于它们和的 11 倍，求这三个质数. 【 解析解析 】 设这三个质数分别是 、 、 ，满足 ，则可知 、 、 中必有一个为 11，abc1abcc()abc不妨记为 ，那么 ，整理得( )( ) ，又 ，对应11212634的 、 或 、 或 、 (舍去)，所以这三个质数
39、可能是 2，11，13 或2b3c7453，7，11.5-5.质数合数分解质因数.题库 教师版 page 8 of 13【 巩固巩固 】 三个质数的乘积恰好等于它们的和的 7 倍，求这三个质数【 解析解析 】 设这三个质数分别是 、 、 ，满足 ，则可知 、 、 中必有一个为 7，不abc()abccabc妨记为 ，那么 ，整理得 ，又 ，对应的a7c1)818242、 9(舍去)或 3、 5，所以这三个质数可能是 3，5，7bc【例 2】 个质数的倒数之和是 ，则这 个质数之和为多少31698【 解析解析 】 设这 个质数从小到大为 、 、 ，它们的倒数分别为 、 、 ，计算它们的和时需通分
40、，abc1abc且通分后的分母为 ，求和得到的分数为 ,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的Fc分母为 、 、 或它们之间的积.现在和为 ，分母 ，所以一定是 ，abc169862312a， ，检验满足.所以这 个质数的和为 313231【 巩固巩固 】 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是 140如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？ 【 解析解析 】 有 140=2257，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数 2 必须同时位于分子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是，倒数第三小的是 。12457,257032825058【 巩
41、固巩固 】 一个分数，分母是 ，分子是一个质数现在有下面两种方法： 分子和分母各加一个相同91的一位数； 分子和分母各减一个相同的一位数用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后是 那么原来分数的分子是多少 713【 解析解析 】 因为新分数约分后分母是 ，而原分母为 ，由于 ，所以分母是加上 或1390113694 9者减去 若是前者则原来分数分子为 ，但 ，不是质数；若是后者47487则原来分数分子是 ，而 是质数所以原来分数分子为 69748 8【例 3】 在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字 5 看成 8，由此得乘积为1872那么原来的乘积是多少? 【 解析解析
42、】 1872=22223313=口口口口，其中某个口为 8，一一验证只有：1872=4839，1872=7824 满足当为 1872=4839 时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 45看成 48，所以正确的乘积应该是 4539=1755当为 1872=7824 时，小马虎错把 5 看成 8，也就是错把 75 看成 78，所以正确的乘积应该是 7524=1800所以原来的积为 1755 或 1800【 巩固巩固 】 某校师生为贫困地区捐款 1995 元这个学校共有 35 名教师，14 个教学班各班学生人数相同且多于 30 人不超过 45 人如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少
43、元? 【 解析解析 】 这个学校最少有 35+1430=455 名师生，最多有 35+1445=665 名师生，并且师生总人数能整除 19951995=35133，在 455665 之间的约数只有 5133=665，所以师生总数为 665 人，则平均每人捐款 1995665=3 元【例 4】 在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过 10 的自然数甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4 环求甲、乙的总环数各是多少？ 5-5.质数合数分解质因数.题库 教师版 page 9 of 13【 解析解析 】 应对应为
44、5 个小于 10 的自然数乘积通常我们会考虑将 1764 的 6 个质因数组合为 5 个因数，从而这 5 个因数一定都是大于 1 的，于是得到了如下几种分解情况 1764=43377 =26377=22977 但是发现其中任何两组的和的差均不是 4.原因是我们忽略了在题目叙述实际环境中还会有 1 环存在，从而要考虑含有因数 1 的另外 2 种情况1784=16677=14977所以总的情况对应的和依次为4+3+3+7+7=24，2+6+3+7+7=25，2+2+9+7+7=27，1+6+6+7+7=27，l+4+9+7+7=28对应的和中只有 24，28 相差 4，所以甲的 5 箭环数为 4、
45、3、3、7、7，乙的 5 箭环数为 1、4、9、7、7所以甲的总环数为 24，乙的总环数为 28。【 巩固巩固 】 已知 5 个人都属牛，它们年龄的乘积是 589225，那么他们年龄的和为多少？【 解析解析 】 基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到，五个人的年龄和为 125 岁。5892132749模块三、质数合数综合型题目【例 5】 是质数， ， ， 都是质数求 是多少？P104P210P【 解析解析 】 由题意知 是一个奇数，因为 ， ，所以 是 3 的倍数，所以3 432 3P【 巩固巩固 】 已知 是质数， 也是质数，求 是多少？2597【 解析解析
46、】 是质数， 必定是合数，而且大于 1又由于 是质数， 大于 1， 一定是奇质数，2122则 一定是偶数所以 必定是偶质数，即 2PPP55973970【例 6】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有 13 种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少 【 解析解析 】 根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有 13 种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从 2 开始的第 13 个质数要大。从 2 开始数的 13 个质数分别是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41。那么这个数一定要比
47、 41 大，为了满足这个自然数能够分别写成上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从 3 开始的质数的差只要都是一个大于 2 的偶数即可满足条件。【 巩固巩固 】 如果一些不同质数的平均数是 21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？ 【 解析解析 】 如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在满足平均数为 21 的条件下数量尽可能多，且比 21 大的质数只能有一个。21 以下的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，则说明这些质数最多可能有 8+1=9 个，则大于 21 的那个数为21+19+18+16+14+10+8+4+2=112 ，但 112 不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了21 以外的奇数 19，使得结果为偶数，说明在原来的一组质数中不能有 2，否则无法使得比 21 大
