1、1第 2 章解：2.项目 相同之处 不同之处定义都是根据从一个总体中抽样得到的样本，然后定义样本均值为。_1niy抽样理论中样本是从有限总体中按放回的抽样方法得到的，样本中的样本点不会重复；而数理统计中的样本是从无限总体中利用有放回的抽样方法得到的，样本点有可能是重复的。性质(1) 样本均值的期望都等于总体均值，也就是抽样理论和数理统计中的样本均值都是无偏估计。(2) 不论总体原来是何种分布，在样本量足够大的条件下，样本均值近似服从正态分布。(1) 抽样理论中，各个样本之间是不独立的；而数理统计中的各个样本之间是相互独立的。(2) 抽样理论中的样本均值的方差为， 其 中 。21fVySn2_2
2、1iYN在数理统计中， ，其中 为总体2yn2的方差。解：首先估计该市居民日用电量的 95%的置信区间。根据中心极限定理可知，在2.3大样本的条件下， 近似服从标准正态分布， 的 的置_yEYV_Y195%信区间为 。22, 1.96,.6yzzyVyy 而 中 总 体 的 方 差 是 未 知 的 ， 用 样 本 方 差 来 代 替 ， 置 信 区 间1fVSnS2s为 1.96,.96ffysysn 由题意知道， ，而且样本量为 ，代入可以求得_2.5,030,50nN。将它们代入上面的式子可得该市居民_213() 6.825fvysn日用电量的 95%置信区间为 。7.80,1.9下一步计
3、算样本量。绝对误差限 和相对误差限 的关系为 。dr_drY2根据置信区间的求解方法可知 _1 1yYrPyYrPVy根据正态分布的分位数可以知道 ，所以 。_21yYZ2_rYVyz也就是 。2_2_2 /211rYrYSnNzSnNz 把 代入上式可得， 。所以样_29.5,06,1%,50ysr 861.752n本量至少为 862。解：总体中参加培训班的比例为 ，那么这次简单随机抽样得到的 的估计值.4PP的方差 ，利用中心极限定理可得 在大样本的条件p11fNVn pV下近似服从标准正态分布。在本题中，样本量足够大，从而可得 的 的置信195%区间为 。22,zpzVp 而这里的 是未
4、知的，我们使用它的估计值V。所以总体比例 的 的置信区 519.610fpvnP195间可以写为 ，将 代入可22,zvpzvp.3,20,0nN得置信区间为 。0.84.15解：利用得到的样本，计算得到样本均值为 ，从而估计小2.5 89/14.5y区的平均文化支出为 144.5 元。总体均值 的 的置信区间为_Y15%，用 来估计样本均值的方差 。22,yzVyzy 2fvsnVy计算得到 ，则 ，86.05s20.86.37.1f3，代入数值后计算可得总体均值的 95%的置信区间21.9637.21.95zVy为 。3.5,4解：根据样本信息估计可得每个乡的平均产量为 1 120 吨，该
5、地区今年的粮食总产量 的估计值为 （吨） 。Y_ 53501203.9y总体总值估计值的方差为 ，总体总值的 的置信区2NfVYSn 95%间为 ，把22,Yzz 53.910,60,5,30,SnN代入，可得粮食总产量的 的置信区间为2.nfzN 195%。76,47解：首先计算简单随机抽样条件下所需要的样本量，把.带入公式 ，最后可得210,295%,68dS20/1dnNzS。06.3n如果考虑到有效回答率的问题，在有效回答率为 70%时，样本量应该最终确定为。078.59解：去年的化肥总产量和今年的总产量之间存在较强的相关性，而且这种相关关2.系较为稳定，所以引入去年的化肥产量作为辅助
6、变量。于是我们采用比率估计量的形式来估计今年的化肥总产量。去年化肥总产量为 。利用去年的化肥总产量，今年的2135X化肥总产量的估计值为 吨。_46.RyYx解：本题中，简单估计量的方差的估计值为 =37.17。2.9 21fvysn利用比率估计量进行估计时，我们引入了家庭的总支出作为辅助变量，记为 。文化X支出属于总支出的一部分，这个主要变量与辅助变量之间存在较强的相关关系，而且它们之间的关系是比较稳定的，且全部家庭的总支出是已知的量。文化支出的比率估计量为 ，通过计算得到 ，_RyyXx2890/14.5y4而 ，则 ，文化支出的比率估计量的值为_1580x_14.5098yRx（元） 。
7、_46.3Ry现在考虑比率估计量的方差，在样本量较大的条件下，通 过 计 算 可 以 得 到 两 个 变 量 的 样221RxxfVMSEySRSn本 方 差 为 ， 之 间 的 相 关 系 数 的 估 计 值 为 ，22486,9.580xsYX和0.974代 入 上 面 的 公 式 ， 可 以 得 到 比 率 估 计 量 的 方 差 的 估 计 值 为 。 这 个 数 值_1.Rvy比 简 单 估 计 量 的 方 差 估 计 值 要 小 很 多 。 全 部 家 庭 的 平 均 文 化 支 出 的 的95%置 信 区 间 为，把具体22, 1.96,1.6RRRRRyzvyzvyvyvy 的
8、数值代入可得置信区间为 。143.57,.0接下来比较比估计和简单估计的效率， ，这是比_1.940.5237RVyv估计的设计效应值，从这里可以看出比估计量比简单估计量的效率更高。解：利用简单估计量可得 ，样本方差为2.10 160/iyn， ，样本均值的方差估计值为.s120N。/.219.4537fvysn利用回归估计的方法，在这里选取肉牛的原重量为辅助变量。选择原重量为辅助变量是合理的，因为肉牛的原重量在很大程度上影响着肉牛的现在的重量，二者之间存在较强的相关性，相关系数的估计值为 ，而且这种相关关系是稳定的，这里肉牛的原0.971重量的数值已经得到，所以选择肉牛的原重量为辅助变量。回
9、归估计量的精度最高的回归系数 的估计值为 。14.5680.97.3xs现在可以得到肉牛现重量的回归估计量为 ，代入数值可以得到_lryX。_159.4lry5回归估计量 的方差为 ，方差的估计值为_lry _21lrlrfVyMSEySn，代入相应的数值， ，显2_1lrfvysn 2_1.lrfvs然有 。在本题中，因为存在肉牛原重量这个较好的辅助变量，所以回归估_lrvy计量的精度要好于简单估计量。第 3 章3.3 解：(1) 首先计算出每层的简单估计量，分别为 ，其_123.,5.,20yy中， ，则每个层的层权分别为；12356,40,168,4NN312.0.976,0.9NWW则
10、利用分层随机抽样得到该小区居民购买彩票的平均支出的估计量 ，代入_hstyW数值可以得到 。_20.7hsty购买彩票的平均支出的的估计值的方差为 ，此方差的估计3_221hsthfVySn值为 ，根据数据计算可以得到每层的样本方差分别为：3_221hsthfvyWsn222194.,30.5,.6s其中 ，代入数值可以求得方差的估计值为 ，则估计的标1230n_9.4731stvy准差为 。_9.4731.08ststyv(2)由区间估计可知相对误差限满足 _11stst tstyYrPyYrPVy6所以 ， 。_2strYzVy2_strYyz样本均值的方差为 ， （提 1/n 出2322
11、 2111hhst hhfWSSSnN去）从而可以得到在置信度为 ，相对误差限为 条件下的样本量为r。2 2_2 21h hsth hWSnVyrYzSNN对于比例分配而言，有 成立，那么 ，把相应h2_21hhWSnrYzN的估计值和数值 代入后可以计算得到样本量为 ，相应的在各195%,10r 86n层的样本量分别为 。23126.479.6,863nnn按照内曼分配时，样本量在各层的分配满足 ，这时样本量的计hhWS算公式变为 ，把相应的数值代入后可得 ，在各层中2_21hhWSnrYZN175n的分配情况如下： 。1312,87,66nn3.5 解：总体总共分为 10 个层，每个层中的
12、样本均值已经知道，层权也得到，从而可以计算得到该开发区居民购买冷冻食品的平均支出的估计值为 。1075.9sthyW下一步计算平均支出的 95%的置信区间，首先计算购买冷冻食品的平均支出的估计值的方差，其中 ，但是每层的方差是未知，则样本平均支出的方10_22hsthfVyWSn差的估计值为 ，每个层的样本标准差已知，题目中已经注明各层10_22hsthfvs的抽样比可以忽略，计算可以得到 。则这个开发区的10_2259.84hsthfvysn居民购买冷冻食品的平均支出 置信区间为195%7_22,st styzvyzvy _1.96,1.96st st 代入数值后，可得最终的置信区间为 。0
13、.63,953.6 解：首先计算简单随机抽样的方差，根据各层的层权和各层的总体比例可以得到总体的比例为 ，则样本量为 100 的简单随机样本的样本比例的方差为31.28hPW，不考虑有限总体校正系数， ，其中 ，2fVpSn21VpSn21NP在 的条件下，通过简单随机抽样得到的样本比例的方差为1N2 3112.061fVpSPn通过分层抽样得到的样本比例的方差为 ，但是因为不考虑有2hst fVpWSn限总体校正系数，而且抽样方式是比例抽样，所以有 成立，样本比例hhN的方差近似为 。对于每一层，分别有221hst hWSVpn，在 的条件下，近似的有 成立，有21hhNSPhhN21hhS
14、P222130.9,.16,0.4SS样本量应该满足 ，同时这里要求分层随机抽样得到的估计的方差和简单hstWnVp抽样的方差是相同的， ，层权分别为 ，代入数值，st1230.,.,0.5W可以计算得到最终的样本量为 。23.869.hstSnVp第 4 章84.1 解 :由题意知 ,平均每户家庭的订报份数为:M=3，n=10(份)21.875=20)/4+16(9/1 nMyniji总的订报份数为:(份)40.875YN=0.358 333niibys122)(所以估计方差为:=0.008 86920.()3584bfvysnM=141 900221)( bsnfNyvY4.3 解 :该集
15、团办公费用总支出额为:=48/10(83+62+67+80)=3 532.8(百元)niy1=72 765.441)()(22nyfNYvnii=269.750 7(百元)s所以其置信度为 95%的置信区间为:3 004.089 , 4 061.5114.4 解 : =52.3nMmnii1所以整个林区树的平均高度为:=5.9(米 )更正除以 ny其估计的方差为: 2 221 120()()() ()n ni ii iyyf fvyNNMm =0.06212()niiyfm所以其估计的标准误为:9=0.246(米)()yvs其 95%的置信区间为:5.42 ,6.385.6 解：(1) 简单随
16、机抽样简单估计量为：10,9,5,2,4。 6542910)(YE均方误差为： 22222()()()(5)(6)(4)3.0 15MS(2) 简单随机抽样比估计为：联合比估计： 35)2157(1490R联合比估计估计量为： ，因此0, 6)3521353(5)( RYE均方误差为： 222221 10()(6)()()()(6)3.590 1RMS分别比估计： 0954r()1.79 08732分别比估计估计量为：12.453 33，8.895 238，5.337 143，1.779 048，3.558 095，因此， 1()(.45 . 35. 143.79 083.5 9)6.40 5
17、71rEY均方误差为： 2 2MS()(2. 6.0 7)(. 6.4 71).8 5r（3）pps 抽样 。iiXZiYi iZ10 7 0.388 889109 5 0.277 7785 3 0.166 6672 1 0.055 5564 2 0.111 111PPS 抽样汉森-赫维茨估计量：5.142 857，6.48，6，7.2，7.2，因此()5.1 870.3 96.807 6.1 7.205 62HEY均方误差为： 2 2()(.4 5-). 9(.-). 1.7 92HMS 通过以上计算可以看出，PPS 抽样汉森-赫维茨估计量的均方误差最小；其次是简单估计量的均方误差；两种比估
18、计的均方误差相差不大，但都要大于汉森-赫维茨和简单估计量的均方误差。根据汉森-赫维茨估计量的计算公式可得 114230168391( )452968.0.6niHyYZ第 6 章6.3 解：将 40 个人依次编号为 140 号，且将这些编号看成首尾相接的一个环。已知总体容量 N=40，样本量 n=7。由于 N/n=5.7，取最接近 5.7 但不大于的整数 6，则抽样间距 k=5。些时样本量修改为 n=8由于随机起点 r=5，则其余样本点依次为 10，15，20，25，30 ，35，40因此，用循环等距抽样方法抽出的样本单元序号为 5，10，15 ，20，25，30 ，35，406.7 解：已知
19、总体容量 N=15，总体均值 。(15)82Y样本量 n=3，抽样间距 k=N/n=5。简单随机抽样：11 22()() 5.31nfNy YSVsr in系统抽样：1_() 2()kysyYr其中“系统样本”随机起点号码 r“系统样本”的单元组成“系统样本”样本均值 yr11123451， 6，112， 7，123， 8，134， 9，145， 10，15678910第 7 章7.1 解:根据表中数据,可计算各层的权重 :=0.17, =0.25, =0.28, =0.22, =0.081w23w45w全县棉花的种植面积为:=0.1790/17+0.251 806/2555 111()hns
20、tDhjjyy+0.284 423/28+0.225 607/22+0.084 101/8=164.27206.73280stDYNy7.3 解:由题知 =602,由表内数据计算得x=568.583 3 , =568.25, 1.000 587， =256 154.9 , =278 836.9 , =256 262R2ys2xsyxs根据式(7.11),该地区当年平均每村牛的年末头数为:602(头)1.0 5876RDyx所以该地区年末牛的总头数为：745 713(头) 23. 02RYN7.5 解:由题意知: n 1=300, n2=200, m=62,该保护区现有羚羊总数为 :(头)96016)()( 其抽样的标准误为:(头)8)2(1)()(21mnnNvs7.6 解:(1)由题意知: n 1=7, n2=12, m=4,该地区渔民总数为:(人)04)(7)(1 其抽样的标准误为:12(人)4)2(1)()( 21 mnnNvs其 95%的置信区间为:=12,281.96()0.964(2) 由题意知: n 1=16, n2=19, m=11,该地区渔民总数为:(人)281)(1)(N其抽样的标准误为:(人)3)2(1)()(21mnnvs其 95%的置信区间为:=22,341.96()8.963N
