1、1第一章 晶体的结构一、填空体（每空 1 分）1. 晶体具有的共同性质为 长程有序 、自限性 、各向异性 。 2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为 a，它的最近邻原子间距为 a ，次近邻原子间距为 ，原胞与晶胞的体积比 1：1 ，配位数为 6 。a23. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为 a，它的最近邻原子间距为 ，次2/3近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：2 ，配位数为 8 。4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为 a，它的最近邻原子间距为 ，次a/近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比 1：4 ，配位数为 12 。5. 面指数 (h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢 a1,a
2、2,a3 分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3 上的截距分别为_1/h1_,_1/h2_,_1/h3_。6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构） 、体心立方（结构） 、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构） ，铜（ Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为 7 个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有 14 种布喇菲格子。10.晶体结构的宏观对称只可能有下
3、列 10 种元素： 1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ， m ， ， ，其中 和 不是独立对称素，由这 10 种对称素对应的对称操作只能组34636成 32 个点群。11. 晶体按照其基元中原子数的多少可分为 复式晶格 和 简单晶格 ，其中简单晶格基元中有 1 个原子。12. 晶体原胞中含有 1 个格点。13. 魏格纳-塞茨原胞中含有 1 个格点。二、基本概念1. 原胞原胞：晶格最小的周期性单元。2. 晶胞结晶学中把晶格中能反映晶体对称特征的周期性单元成为晶胞。3. 散射因子原子内所有电子在某一方向上引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的散射波的振幅之比。4. 几何结构因子原胞
4、内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。25. 配位数晶体内最近邻原子数8. 简单晶格基元中只含一个原子的晶体9. 复式晶格基元中含两个或两个以上原子的晶体10.几何结构因子：原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。11. 几何结构因子原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。12. 结点：空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。13. 晶格：通过点阵中的结点，可以做许多平行的直线族和平行的平面，这样点阵就成为一些网格，称为晶格14.
5、维格纳- 赛兹原胞(W-S 原胞)：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面 (或中垂线) 将空间划分成各个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。 一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。15. 点阵常数(晶格常数)：布喇菲原胞（晶胞）棱边的长度。16. 致密度：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。三、简答题1. 倒格矢与正格矢有什么关系。1）倒格矢与正格矢互为倒格矢2）倒格原胞与正格原胞的体积比等于（2） 33）倒格矢 与正格子晶面族（h 1h2h3）正交。321bhK4）倒格矢 的模与晶面族（h 1h2h3）的面间距成反比。2.晶体的主要特征有哪
6、些？答：1）长程有序与周期性2）自限性3）各向异性3. 晶体宏观对称性的基本对称操作有哪些？（5 分）答：有 1、2、3、4 和 5 次旋转对称轴及 4 次旋转反演轴 4，中心反演操作 i，镜面操作m。4. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面.5. 基矢为 , , 的晶体为何种结构?为什么? 1=ai2j3=aijk3答：有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积.312aa由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方.我们可以构造新的
7、矢量,31=uijk, 2av. 13wijk满足选作基矢的充分条件.可见基矢为 , , 的,uv 1=ai2j3=aijk晶体为体心立方结构。6. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?答： 在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.7. 六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子? 答：六角密积属六角晶系, 一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.8. 高指数的晶面族与低指数的晶面族相比, 对于同级衍射, 哪一晶面族衍射光弱? 为什么?答： 对于同级衍射 , 高指数的晶面族衍射光弱, 低指数的晶面族衍射光强. 低指数的晶面族面间距大, 晶面上的原子密
8、度大 , 这样的晶面对射线的反射 (衍射)作用强. 相反, 高指数的晶面族面间距小, 晶面上的原子密度小 , 这样的晶面对射线的反射 (衍射)作用弱. 另外, 由布拉格反射公式可知, 面间距 大的晶面, 对应一个小的光的掠射角 . 面间距 小的晶面, 对应一个大的光的掠射角 . 越大, 光的透射能力就越强, 反射能力就越弱.9. 试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 答：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，称为长程有序；非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序；准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有
9、平移周期性。 晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。10. 温度升高时, 衍射角如何变化? X 光波长变化时, 衍射角如何变化 ?答：温度升高时, 由于热膨胀, 面间距 逐渐变大. 由布拉格反射公式可知, 对应同一级衍射, 当 X 光波长不变时, 面间距 逐渐变大, 衍射角 逐渐变小.所以温度升高, 衍射角变小. 当温度不变, X 光波长变大时 , 对于同一晶面族, 衍射角 随之4变大.11. 晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？ 答：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心
10、的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵基元实际晶体结构。12. 六角密积结构是复式格子还是简单格子，平均每个原胞包含几个原子，属于哪种晶系?答：六角密积结构是复式格子，平均每个原胞包含 2 个原子，属于六角晶系。13. 晶体 Si、Cu、CsCL、NaCL 和 ZnS 的结构分别属于那种点阵形式？答：Si：面心立方；Cu：面心立方；CsCL：体心立方；NaCL：面心立方；ZnS： 面心立方14. 金刚石晶体的基元含有几？其晶胞含有几个碳原子？原胞中有几个碳原子？是复式格子还是简单格子？答：
11、金刚石晶体的基元含有 2 个原子，晶胞含有 8 碳原子，原胞中有 2 原子,复式格子.15. 写出金属 Mg 和 GaAs 晶体的结构类型。答：六角密堆，金刚石。16. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比.答：设原子的半径为 R, 体心立方晶胞的空间对角线为 4R, 晶胞的边长为 3/4R, 晶胞的体积为 3/4, 一个晶胞包含两个原子 , 一个原子占的体积为 2/,单位体积晶体中的原子数为3/2; 面心立方晶胞的边长为 2/4, 晶胞的体积为3/4, 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为 /3R, 单位体积晶体中的原子数为32/4R. 因此, 同体积
12、的体心和面心立方晶体中的原子数之比为2/3=0.272.17.与晶列 l1l2l3垂直的倒格面的面指数是什么?答：正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面( h1h2h3)与倒格式hKh1b+h2 +h3 垂直, 则倒格晶面( l1l2l3)与正格矢 lRl1a+ l2 + l33a正交. 即晶列 l1l2l3与倒格面 (l1l2l3) 垂直.18. 分别指出简单立方 体心立方 面心立方倒易点阵类型答：简单立方 面心立方 体心立方19. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？答：晶体中原子间距的数量级为 10米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于 10米. 但可见光的波长为 7.64.
13、0 7米, 是晶体中原子间距的 1000 倍. 因此, 在晶体衍射中，不能用可见光.20. 写出晶体绕直角坐标 X、 Y 和 Z 轴转动 角的操作矩阵和中心反演的操作矩阵。答：晶体绕直角坐标 X、Y 和 Z 轴转动 角的操作矩阵分别为：5， ，cosin0i01xA 10cosinizA cos0sin1iyA中心反演的操作矩阵为 。1021.分别在体心立方和面心立方晶体的晶胞中画出其原胞，并给出他们晶胞基矢与原胞基矢的关系。答：体心立方和面心立方晶体的晶胞中的原胞：体心立方 面心立方体心立方： ， ，)(21kjia)(2kjia)(23kjia面心立方： ， ，2(3ji22. 在立方晶胞
14、中，画出（100） 、 （111）和（210）晶面。解：23.在立方晶胞中，画出（）和（）晶面。解：OabcOabc6四、证明计算1. 劳厄方程与布拉格公式是一致的。证明：由坐标空间劳厄方程： 2)(0kRl与正倒格矢关系 2hlk比较可知：若 成立 0h即入射波矢 ，衍射波矢 之差为任意倒格矢 ，则 方向产生衍射光，0kkhk式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。 kh现由倒空间劳厄方程出发，推导 Blagg 公式，弹性散射 0由倒格子性质，倒格矢 垂直于该晶面族。所以， 的垂hkhk直平分面必与该晶面族平行。由图可得知：=2kSin (A) ）|hkSin4又若| |为该方向的最短倒格矢，由
15、倒格矢性质有：| |h hKd2若 不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性kn| | .n （B） -|hd2比较（A） 、 （B）二式可得 2dSin n 即为 Blagg 公式。2. 证明不存在 5 度及 6 度以上的旋转对称轴。如下图所示， A , B 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点如果绕通过 O 点并垂直子纸面的转轴顺时针旋转 角，则 A 格点转到 点若此时晶格自身重合 点处原 A来必定有一格点如果再绕通过 O 点的转轴逆时针旋转 角，则晶格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转 角，B 格点转到 点处，说明 处原来必定有一格点可以把B格点看成分布在一族相互平行的晶列由下图可知，
16、晶列与 AB 晶列平行平行的7晶列具有相同的周期，若设该周期为 a ，则有maBA|cos2其中 m 为整数，由余弦的取值范围可得 1|于是可得 23,:05,41m,:因为逆时针旋转 3/2，4/3，5/3 分别等于顺时针旋转 /2，2/3，/3，所以晶格对称转动所允许的独立转角为 3,2,上面的转角可统一写成 6,4321,n称 n 为转轴的度数由此可知，晶格的周期性不允许有 5 度及 6 度以上的旋转对称轴。3. 证明倒格子矢量 垂直于密勒指数为 的晶面系。123Ghb123()h证明：因为 ，3312,aaCABhh123Ghb利用 ，容易证明2ijijb1230hCA8所以，倒格子矢
17、量 垂直于密勒指数为 的晶面系。123Ghb123()h4. 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵证明选体心立方点阵的初基矢量， 12axyz3axyz其中 a 是立方晶胞边长， 是平行于立方体边的正交的单位矢量。,xyz初基晶胞体积 312cVa根据式(21) 计算倒易点阵矢量1233112,cccbabbaV2123cxyzVaabxy2231cxyzVaabyz2312cxyzVaabx于是有：91232,bxybyzbzxaaa显然 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方23,点阵，
18、立方晶胞边长是 4同理，对面心立方点阵写出初基矢量 12axyz3ax初基晶胞体积 。3124cVaa根据式(21) 计算倒易点阵矢量 1232 2, ,bxyzbxyzbxyz显然， 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立23,方点阵，其立方晶胞边长是 4a5. (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是 ，这里 是晶体点阵初基晶胞的体32/cVc积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身证明(a) 倒易点阵初基晶胞体积为 ，现计算 由式(21)知，123b123b1233112,cccbabaaVV此处 123c而 2 2233123121312c cbaaaaVV这
19、里引用了公式： 。ABCDABCABD由于 ，故有310a102233121cbaV而 312c故有 2231cbaV23312311232cc cbaVV或写成 312312ba倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的 倍。32(b) 现要证明晶体点阵初基矢量 满足关系123,a23 1212312 3, ,bbba有前面知： 2231cbaV令 2231 123cbaVb 又知 ，代入上式得：3123c1113caV同理 12223ba1332c11可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身6. 对于简单立方晶格，证明密勒指数为 的晶面系，面间距 满足：(,)hkld，其中 为立方边
20、长；并说明面指数简单的晶面，其面密222()dahkla度较大，容易解理。证明：简单立方晶格： ，123123,aijak由倒格子基矢的定义： ， ，1123b 123b123ab倒格子基矢： 12,ijkaa倒格子矢量： ，3GhbklGhijlka晶面族 的面间距：()kld221()()kla22()dhkl面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。7.(a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是 ，这里 是晶体点阵初基晶32/cVc胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身证明：(a) 倒易点阵初基晶胞体积为 ，现计算 由
21、式(21)知，123b123b1233112,cccbabaaVV此处 123c而122 2233123121312c cbaaaaVV这里引用了公式： 。ABCDABCABD由于 ，故有310a2233121cbaV而 312ca故有 2231cbV23312311232cc cabaVV或写成 312312ba倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的 倍。32(b) 现要证明晶体点阵初基矢量 满足关系123,a233121212 3, ,bbbaa有前面知： 2231cbaV令 2231 123cbaVb 又知 ，代入上式得：3123c1113caV13同理 31222bca133
22、2可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身。8.一个二维晶体点阵由边长 AB4，AC=3 ，夹角 BAC 的平行四边形 ABCD 重复3而成，试求倒易点阵的初基矢量解 解法之一参看图 24，晶体点阵初基矢量为1ax23y用正交关系式(22)求出倒易点阵初基矢量 。设12,b1122,xyxybb由 120,aa得到下面四个方程式(1)142xyb(2)1302xyb14(3)240xyb(4)23xyb由式(1)得： 114,xx由式(2)得： ，即11302xyb1302yb解得： 1y由式(3)得： 240,xxb代入式(4)得： 2234,3yyb于是得出倒易点阵基矢 124,23bxy
23、b解法之二选取 为 方向的单位矢量，即令3az于是初基晶胞体积 为cV12334632cVaxyz倒易点阵基矢为 1232263cbaxyzxyV2314c312cbazV15对二维点阵，仅取 两个方向，于是得,xy124,23bb9. 简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为12 33, ,22aaaxyxycz(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为 2c 和 ，43a并且相对于正点阵转动了 30角；解选取简单六角点阵的初基矢量如图 25 所示1233,aaxyxycz初基晶胞体积为 23123cVaac倒易点阵初基矢量为161232230ccxyzab
24、axyVac2312230ccxyzbacxyVaa312320ccxyzabaVc或写为 12 34342, ,xxbybybzcaa同正点阵初基矢量 1233, ,2yyxxcz比较看出， 所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为 和 ，并相123,b 2c43a对于正点阵绕 转动了 30角(见图 26)。c1710.一个单胞的尺寸为 ，试求：1234,6,890,12aa(a)倒易点阵单胞基矢；(b)倒易点阵单胞体积；(c)(210)平面的面间距；(d)此类平面反射的布喇格角( 己知 154) 解(a)画出此单胞如图 213 所示 写出晶体点阵单胞基矢如下：1234,8axyaz晶体点阵
25、的单胞体积为( )331213sin2096cV18倒易点阵单胞的基矢为 12323131212 , ,4c c cbaxybaybazVVV(b) 倒易点阵单细体积为()-3312312cb(c) 与晶面(hkl) 垂直的最短倒易点阵矢量 为Ghkl123 243Ghklblhxylz520xy()-1517G2301d(d)(210)面反射的布喇格角 为.54sin0.32210d19arcsin0.5342.12. (a)从体心立方结构铁的(110)平面来的 X-射线反射的布喇格角为 22，X-射线波长154，试计算铁的立方晶胞边长；(b) 从体心立方结构铁的(111)平面来的反射布喇格
26、角是多少?(c)已知铁的原子量是 558，试计算铁的密度解(a)求出(110)平面的面间距 d(110)1.54102.062sinid于是求得点阵常数为.9a(b) (111)平面的面间距为1.683d于是(111)平面反射的布喇格角为 sin0.45821darci.7.2(c) 固体密度的公式为 3ZMa其中 a 是立方惯用晶胞边长，Z 是立方惯用晶胞中的原子数，M 为原于的质量，对体心立方铁，Z2， 将这些数值代入到 的表达式中，32625.8109.76kg 得到 37.510kgm，正比于基元的几何结构因子的平方22GGIuN13.计算体心立方结构的几何结构因子并讨论其晶面的消光条
27、件。 解 解：晶体的几何结构因子公式为20)exp(1itihkl rkfF其中 是基元中第 i 个原子的坐标irczbyaxi ， ，jka是倒易点阵矢量kclbkah将 和 的表达式代入式几何结构因子公式中得到ir)(2exp)exp(11 lzkyhnifrkifFtiitihkl 体心立方结构基元包含两个全同的原子它们的位置是（000）和（ ）21而原子的散射因子 12ff体心立方结构的结构因子 奇 数， 偶 数lkhflkhnifrkifFitihkl 0,2)(exp1)exp(1 可见当米勒指数和为奇数的面为衍射消光面。14.计算面心立方结构的几何结构因子并讨论其晶面的消光条件。
28、 解：晶体的几何结构因子公式为)exp(1itihkl rkfF其中 是基元中第 i 个原子的坐标irczbyaxi ， ，jka是倒易点阵矢量k21clbkah将 和 的表达式代入式几何结构因子公式中得到ir)(2exp)exp(11 lzkyhnifrkifFtiitihkl 面心立方结构基元包含四个全同的原子它们的位置是（000）和（ ） （021） （ ）20而原子的散射因子 fff4321面心立方结构的结构因子 )(exp)(exp)(exp1)exp(1 klnilhnikhnifrkifFitihkl 数部 分 为 奇 数 ， 部 分 为 偶全 为 偶 数全 为 奇 数hkllf
29、,04,当指数 部分为奇数或部分为偶数时，结构因子为零，相应的反射消光 15. 计算简立方结构的几何结构因子并讨论其晶面的消光条件。 解：解：晶体的几何结构因子公式为)exp(1itihkl rkfF其中 是基元中第 i 个原子的坐标irczbyaxi ， ，jka是倒易点阵矢量kclbkah将 和 的表达式代入式几何结构因子公式中得到ir)(2exp)exp(11 lzkyhnifrkifFtiitihkl 22简单立方结构基元包含一个全同的原子它们的位置是（000）而原子的散射因子为 f简立方结构的结构因子 fFhkl可见简立方结构的晶体无反射消光面16.计算金刚石结构的几何结构因子，并讨
30、论其反射消光条件。解：晶体的几何结构因子公式为)exp(1itihkl rkfF其中 是基元中第 i 个原子的坐标irczbyaxi ， ，jka是倒易点阵矢量kclbkah将 和 的表达式代入式几何结构因子公式中得到ir)(2exp)exp(11 lzkyhnifrkifFtiitihkl 面心立方结构基元包含八个全同的原子它们的位置是(000)、( )、( )、102( )、( )、( )、( )、( )0243434而原子的散射因子 fffff 87654321面心立方结构的结构因子 )(21exp)(exp)(exp)(exp1)exp(1 lkhnklnilhnikhnifrkifF
31、itihkl 3213232 lklln23当 全为偶数，且 （n 为整数） ， 。123,l1234llfFhkl8当 全为偶数，且 （n 为整数） ， 。0l当 全为奇数，且 ， 。123,l 1sfi)1(ifhkl当 部分为偶数，部分为奇数时， 。0lF所以，金刚石结构允许的反射是所有指数 均为偶数且 ，或者123,1234lln全为奇数 123,l17.氯化钠结构的结构因子，并讨论其反射消光条件。 解：解：晶体的几何结构因子公式为)exp(1itihkl rkfF其中 是基元中第 i 个原子的坐标irczbyaxi ， ，jka是倒易点阵矢量kclbkah将 和 的表达式代入式几何结
32、构因子公式中得到ir)(2exp)exp(11 lzkyhnifrkifFtiitihkl 面心立方结构基元包含一个 ，位于(000)，一个 Na+，位于( )。Cl 12而原子的散射因子分别为 和lfNa面心立方结构的基元的几何结构因子是结构因子 )(exp)exp(1 khnifrkifFNaClitihkl 现在把这样一个基元放在 fcc 点阵的阵点上，用 s 代替 fcc 结构因子中的 f 就得到 NaCl结构立方惯用晶胞的结构因子24123 231312il ilililGClNaSfeee A123122313l llll1231234,0,ClNalfl当 均 为 偶 数 时当 均 为 奇 数 时当 部 分 为 偶 数 ， 部 分 为 奇 数 时
