1、2009年第3期 5常见曲线的切点弦方IM周顺钿(浙江省杭州高级中学,31000B)(本讲适合高中)切点弦方程是解析几何中的热点问题随着导数的引入,它的内涵更加深刻、题型更加丰富本文对切点弦问题进行归纳整理,以飨读者1知识简介(1)圆的切点弦方程命题1 过圆C:菇2+Y2=r2外一点M(菇。,Y。)作圆的两条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为X,0菇+YoY=r2证明:因为OA JMA,OB_LMB,所以,0、A、M、B四点落在以OM为直径的圆菇(戈一zo)+Y(YYo)=0上,它与圆C的公共弦即为AB两圆方程相减;得切点弦AB所在的直线方程为x,o髫+YoY=r2(2)椭圆的切点弦方
2、程 2命题2过椭圆C:冬+告=1外一点收稿日期:加吣一0908修回日期:2ID一1129肘(X0,Yo)作椭圆的网条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为等+掣:1口0证明:设A(茹l,Y1)、日(髫2,Y2)将方程享+豢=l两边对菇求导得擎+簪-o于是,切线删的方程为yYt:一些(髫一菇I),y一2一a2Yl L髫一菇J,即寻(X-X1)+祭(yYi)=0化简得k:等+丁Yl Y=1特别地,当Yl_0时,上式也成立同理,等+辔0=1 口又M(菇o,Yo)在直线似、MB上,则等+警=,等+爷=1叠新等式表示点A(菇,Y1)、B(茗,仍)都(提示:设六位数为764at圮令M=7+4+b=11
3、+b,N=c+口+6贝0口6c被8一整除,舾+N=17+口+b+f被9整除,肘一N=5+b一口一c被11整除易知17M+44,一13肘一14故Jjl|f+N=18,27,36,肼一N=一11,0,11穷举得唯一解764 280)5用0,l,9组成能被11整除的不含重复数字的十位数求其中的最大数与最小数、 (提示:设十位数为A=i瓦瓦令菇=Xl+髫3+z5+髫7+菇9,Y=髫2+X4+菇6+戈8+髫lo贝4 11 I(髫一Y)而10髫、Y25,因此,I茹一Y l=0,11,22因)b石l,菇2,菇lo是0,l,9的一个排列,所以,茹l+菇2+菇lo=45,即茗+Y=45而茹一Y与菇+Y同奇偶,于
4、是,菇一y是奇数所以,并一Y=11解得(茗,Y)=(28,17)或(17,28)进而得A一=9 876 524 130,Am=1 024 375 869)万方数据6 中等数学在直线等+等=1上,也说明此直笺即为切点弦AB所在的直线方程注:这种通过类比而得到切点弦方程的证明方法通常称为“设而不求”命题1也可用此方法证明(3)双曲线的切点弦方程命题3过双曲线c:之一告=1外一点M(,Yo)作双曲线的两条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为等一等:1(4)抛物线的切点弦方程命题4过抛物线C:Y2=2px(p0)外一点M(粕,Y。)作抛物线的两条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为YoY=
5、p(髫+戈o)(5)反比例函数的切点弦方程命题5过反比例函数c:Y=旦(k0)的图像(等轴双曲线)外一点M(,Yo)作它的两条切线MA,MB则切点弦AB所在的直线方程为990Y+Yox=2k(6)hike曲线的切点弦方程命题6过hike曲线C:Y=髫+旦(后0)外一点M(粕,Yo)作nike曲线的两条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为(如一2菇o)菇+龙oY=2k注:仿命题2的证明可证命题3,4、5、6对于一般二次曲线,有下面的定理定理对于二次曲线的一般方程舭2+脚+何2+眈+巧+F=0, 过曲线外一点M(菇。,Yo)作曲线的两条切线MA、MB则切点弦AB所在的直线方程为川掣掣+y+D
6、学廿学+,-o证明:设A(石l,Y1)、B(z2,Y2)将方程两边对髫求导得(2Ax+尽,+JD)+(2Cy+圆拓+E)y7=0于是,切线MA的方程为(2Axl+最n+D)(搿一名1)+(2Cyl+B暂l+E)(YY1)=0化简整理得(2Axl+旦,l+D)x+(2Cyl+胃kl+E)y一(2Ax:+2凰IYl+2研+眈1+毋l+,)=o,即 (2Axl+后吵l+n)x+(2Cyl+凰l+g)y+少l+毋l+F=0,也ep(2,4_x+B步+D)x1+(2Cy+觑+E)yI+眈+毋+F=0同理,切线MB的方程为(2Ax+母,+D)x2+(2Cy+胃k+E)y2+眈+毋+F=0又M(,Yo)在直
7、线MA、MB上,则(2Axo+8yo+D)xl+(2Q+丑+s)yI+Dko+Eyo+F=0,(2Axo+置+D)x2+(2Cyo+Bxo+E)y2+隗o+Eyo+F=0这两个等式表示点A(省,Y。)、B(x:,儿)都在直线 (24+占+D)x+(2Cyo+占+E)y+眈o+Ero+F=0上,整理得舭。髫+曰塑告型+Cro,+D半+E学+F:0,也就是说,此直线即为切点弦AB所在的直线方程2例题选讲例1设P、Q为圆周算2+Y2=1上两动点,且满足与圆内一定点A(o,i1),使ZPAQ=罟求过点P和Q的两条切线的交点肘的轨迹方程万方数据2009年第3期 7(2007,浙江省高中数学竞赛(B卷)
8、代入式并化简得解法1:设肘(石。,Yo)则切点弦PQ所在的直线方程为XO髫+YoY=1代入髫2+y2=1得(茹j+尤)茗22xo菇+1一Yj=o设P(髫l,Y1)、Q(x:,y2)则菇1+X2 52xoy朋:=热嘶扎=儿+y2。二赢1扎2 1一戈:省:+先YLPAQ=号,则“:+Y。一吉)(多:一百1)=o代入并化简得 3髫:+3磊+4yo一8=0故交点肘的轨迹方程为3茗2+3,2+4y一8=0解法2:Jtn图1,注意到OP=oQ,liP=加,么PAQ=要联结OM交eQ于R,则OM垂直平分尸Q-y p 赫誓0刀 、泌知 一在RI A PAQ中,AR=丢PQ=艘在RtOPR中,锨2+PR2=俨,
9、即OR2+AR2;1 设M(x。,Yo)则切点弦明所在的直线方程为Xo省+YoY=1代人算2+Y2=1得(髫;+),:)髫22xo菇+1一Y:=o设P(髫l,Yt)、Q(x2,Y2儿R(石3,y3)则Xl髫3=一 +菇2 髫02 5积,I+扎,3 2虿一5翮2一巍+丢=,翮一羽十百纠即3茗j+3,;+4yo一8=0故交点肘的轨迹方程为3髫2+3y2+4,一8=0注:充分利用平面几何的性质,是减少解析几何运算量的有效途径例2过椭圆c:吾2+营2=l上不同两点A、B的切线互相垂直证明:两切线交点M的轨迹方程为菇2+Y2=口2+b2证明:设M(茗。,Y。)则切点弦AB所在的直线方程为 霉等+管=L代
10、人椭圆C的方程并消去Y得即且(一等)2一一豢),+篮b2x2-2xox+a2(1_乳。设a(xl,Y1)、B(x2,Y2)则, b2髫l, b2菇22一忑2一一ft2YlY2n=石b4x瓦iX2=又了XO:gt+了YoYt_1等+警0-1 D D 口等+警=了fl X2+去(一等)(卜fO。zf2、J-o即堕学菇。石:一乌(菇。+戈:)+1-on 口利用韦达定理代人得华(一乳警+(豢+乳。化简、整理得髫:+Y:=口2+b2因此,两切线交点肘的轨迹方程为菇2+Y2=口2+b2例3过点Q(一1,一1)作已知直线Z:糕=2舅舅,磊一矿一元蜘一+一露万方数据8 中等数。学,=百1髫+l的平行线,交双曲
11、线鲁一Y2=l于点肘、(1)证明:Q是线段kin的中点;(2)分别过点肘、作双曲线的切线Z。、l:,证明:三条直线Z、Z,、f:交于同一点;(3)设P为直线Z上一动点,过P作双曲线的切线PA、咫,切点分别为A、B,证明:点Q在直线仰上(2007,全国高中数学联赛湖北省预赛)证明:(1):y=寺(菇一3)代人双曲线等一y2=1,得、 。3x2+6戈一25:0 誊 设M(xl,YI)、N(x2,Y2)则髫l、髫2是方程的两根,有菇l+x2=一2于是,Yl+Y2=寺(菇l+X26)=一2因此,Q是线段bin的中点(2)双曲线筹一Y2=1过点M、N的切线方程分别为ll:百Xl石一Yt Y。1,Z2:百
12、X2髫一Y2Y=1两式相力并将菇1+石2=一2,Yl+,2=一2代入得直线l:y=戈+1这说明直线Ii、12的交点夸直线l:y=百1石+1上,跫三直线z、Z。、Z:交于同一点(3)设P(髫o,yo)、A(髫3,Y3)、B(菇4,Y4)则黝、PB的方程分别为k:百X3茗一Y3Y。1,:百X4石-Y4Y=1因为点P在两条直线上。所以。百X3善。一Y3Y。=1,百954戈。一Y4Y。=1这表明,点A、曰臂p仕且域百Xo髫一知,三1上,即直线AB的方程为百X0髫一),。y=1又y。=百X0+l,代人整理得鲁(菇一,)一(,+1)=0显然,无论茗。取什么值(即无论P为直线Z上哪一点),p(一I,一1)都
13、在直线AB上例4如图2,设抛物线方程为茹2=2py(P0),M为直线Y=一2p上任意二点,过肘引抛物线的切线,切点分别为A、曰k 开 0 (1)求证:A、M、B 图2三点的横坐标成等差数列(2)当点M(2,一2p)时,I佃I-4面,求此时抛物线的方程(3)是否存在点肘,使得点C关于直线船的对称点D在抛物线茹2=2py(pO)上,其中,点C满足葡=芴+茄(0为坐标原点)?若存在,求出所有符合题意的点肘的坐标;若不存在,请说明理由证明:(1)设M(,Yo)则切点弦All所在的直线方程为XO茹=p(y+舶)代人抛物线茄2=2并消去Y得菇22xo戈+2pyo=0设A(xI,Y1)、曰(戈2,Y2)贝龙
14、I+省2=2xo所以,A、肘、B三点的横坐标成等差数列解:(2)当菇o=2,Yo=一2p时,菇l+X2=4,“2=一4p2,k=iXO=号由弦长公式得万方数据2009年第3期IA8I=l+k2-(xt+茹力2二4茗l龙2r知。=t+昙孵12又I衄I=4。10,故P,-1或P=2因此,所求抛物线方程为戈2=2y或茹2=4r(3)设D(省3,Y3) 一由题意得C(戈】+茹2,奶+Y2),则CD的中点坐标为 Q(半;型警塑)由点Q在直线。AB上,并注意到点(塑专丝,丛妄丝)也枉直线AB上j代式茗=p(y+Yo)得一。i 蠢、j扎i髫扎,一,若D(菇,Ys)在抛物线上,则,霹2-2阿3=2xo菇扎 。
15、_因此,菇3=0或菇3三2xo,且旷。砌0)或D(2菇韵当霉o=0时,确:七氇2;音2xo=0,此时,点肘(0,一2p)符合题意?当菇o0时,因为茹c=菇l+奢2釜2,所以,舅j菇弘此时:、直线、cD平行于步轴,但_等Jo,与AB上囱茅盾。因此,不存在符合题意的点膨 :综上所述,仅存在一点M(0,。一。却)符合题意 。例5如图3,设P(。,如)为_定点,且劫0,Yo0,xoYo、1过P的葫直线与曲。线C:xy=l(xO)交于A 0并t f Y1)j-B(髫:,儿)求曲线C在A、B两点处的切线交点舾的轨迹方程图39于是,菇。+石:=堕塑,二。茹:=一。,c功-Yl:=喜竺;o严三慧。=熹(10k
16、x,静Y再M一茗l+戈2“一舶-二 o L o。Yu=熹=Y塑o“kxo(o,三) 2丽2叱iYoxM+Xoyu=2(柝(吲,yME(0,丢)交由式知名肼e(,0:,鱼y01,l斯(o,丢),。zM+z。斯观(枷(o,去),五(町吾):万方数据10 中等数学PM、P,切枣为M、N (1)设I MNl_g(t),试求函数g(f)的表达式。 。(2)是否存在t,使得M,N与A(O,1)三点共线?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由i(3)在(1)韵条件下,若对任意的正整数n,在区间【2 7,中i64】内总存在珊+1个实数口l,a2,_,口。,+1,使得不等式t。g(口I)+g(口2)+91:口m
17、)o)外一点P(1,0)的切点弦MN的方程为Y22xl+2代入夕兰菇+季(to),得;。棼t孙一_t-0_,挚乎蓦,鼍t锄暑一2t,曩只:+故g(t)(;-:;2+(舶+署二镌一者)2 。=43hl一兢I:2偈#5to)(2)当M、N与A(0,jI);点共线时,将A(0,1)代入Y=2x-+2t,得t,三寺:(3)易知g(t)在区商仁j二+等j l是增函数,财 - ;ms(2)g(口t净烈a2)+吐a。)6。o)的焦距为2c蚪0为圆心、口为半径作圆M若过P(譬,o)作圆肘的两条切线相互垂直,求椭圆的离心率(提示:弦佃所在的直线方程为髫=c易知OAP是等腰直角三角形故e=旦=cos 450=等)
18、;,3已知圆C:戈2+Y2=r2和直线Z:髫+万方数据2009年第3期2y=2r,在l上有一点肘,过肘作圆的两条切线MA、MB求切点弦曲的中点的轨迹方程 !。 (提示:易知N即为直线OM与船的交点设肘(髫。,Y。)则切点弦加所在的直线方程为戈。菇+YoY=r2,2侧:,=y,o戈解方程组得石。=誓,Y6=车将(并oyo)Y6 M Yo代人石o 2刀,2刀。椅L并o1八直线l韵方程并整理得2戈2+2,2一瑞一2ry:o(去掉o菇等这-二段)4如图4,设点P(髫。,Yo)在直线髫=m(Yra,,00,且,乙1解得斯2+朽或斯一1故点M的轨迹方程为Y24x2=1(Y一1或Y2+朽)。6已知过点(0,
19、1)的直线Z与曲线C:y=髫+专(髫o)交于两个不同点M、)【求曲线C在点M、N处的切线的交点的轨迹(2007,全国高中数学联赛)(提示:弦MN所在的直线方程为Z:(一二2Xo)X+XOY=2由l过点(0,1),代入得=2此时,直线l:(y。一4)x+2y=2代入曲线C:y=菇+(菇o),得(如一2)髫22x+2=O易知A=4-8(yo-2)。钆2副一2 2寿如,即2Yo丢故曲线C在点M、N处两切线交点的轨迹是一条线段菇=2(2,专),除去两端点)万方数据常见曲线的切点弦方程作者: 周顺钿, ZHOU Shun-dian作者单位: 浙江省杭州高级中学,310003刊名: 中等数学英文刊名: HIGH-SCHOOL MATHEMATICS年,卷(期): 2009,(3)引用次数: 0次本文链接:http:/