1、网络的最佳巡回姓名：杨艳芬 班级：13统计本（1）班 学号：130513040一、问题重述求如下所示网络的最佳巡回。321 4 v6v3 v4v5v1 v25 14 2 3 6图G【摘要】：由于图G中的V1、V2、V4、V6为奇次顶点，故图G不是欧拉图。要想得到最佳巡回的前提是此图必须为欧拉图。所以需要通过对奇次顶点之间引入重复边，使它成为欧拉图。运用floyd算法求出之间的最短路径和距离，从而做出以V1、V2、V4、V6为顶点的完备图G1。进而求出G1的最小权完美匹配M=（V1，V2），（V4，V6）。在图G中沿V1到V2，沿V4到V6的最短路径添加重复边，得到欧拉图G2。G2中一条欧拉巡回
2、就是图G的一条最佳巡回，其权值为37。【关键词】：欧拉图 最佳巡回 floyd二、问题分析1、根据欧拉图的定义可知，图G不是欧拉图，则图G的任何一个巡回经过某些边必定多于一次。2、若要找出最佳巡回，需在一些点对之间引入重复边（重复边与它平行的边具有相同的权），使原图G成为欧拉图。3、引入重复边的点必须是奇次顶点。4、在配对时，要求最佳配对，即点对之间距离总和最小。再沿点对之间的（注：欧拉图定义：设G=（V，E)是连通无向图。（1）经过G的每边至少一次的闭通路称为巡回；（2）经过G的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回；（3)存在欧拉巡回的图称为欧拉图；（4）经过G的每边正好一次的道路称为欧拉道路。三
3、、模型建立及求解1、模型的建立符号说明G 原图G1 以V1、V2、V4、V6为顶点的完备图G2 沿V1到V2 ，沿V4到V6的最短路径添加重复边后得的欧拉图W 带权邻接矩阵D 最短距离矩阵R 插入点矩阵Pvivj Vi与Vj之间的最短路径 i j （1 6，1 6）d(Vi，Vj） Vi与Vj 之间的最短距离 i j （1 6，1 6）M 最小权完美匹配2、求解过程图G中有V1、V2、V4、V6四个奇次顶点，用floyd算法求出它们之间的最短路径和距离：把带权邻接矩阵W作为距离矩阵的初值。对本问题，用MATLAB编程road2.m和floyd.m如下，其中主程序为road2.m%road2.m
4、W= 0634infinf 603inf21 3302infinf 4inf2015 inf2inf104 inf1inf540D,R=floyd(W)%floyd.mfunctionD,R=floyd(W)n=size(W,1);D=Wfori=1:nforj=1:nR(i,j)=j;endendRfork=1:nfori=1:nforj=1:nifD(i,k)+D(k,j)D(i,j)D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);R(i,j)=R(i,k);endendendkDRend运行程序road2.m，得：D= 0 4 5 Inf 1 Inf4 0 1 Inf 2 Inf5 1 0 2
5、 Inf 4Inf Inf 2 0 3 31 2 Inf 3 0 6Inf Inf 4 3 6 0R= 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6k= 1D=0 4 5 Inf 1 Inf4 0 1 Inf 2 Inf5 1 0 2 6 4Inf Inf 2 0 3 31 2 6 3 0 6Inf Inf 4 3 6 0R= 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 1 61 2 3 4 5 61 2 1 4 5 61 2 3 4 5 6k= 2D= 0 4 5 Inf 1 Inf4 0
6、 1 Inf 2 Inf5 1 0 2 3 4Inf Inf 2 0 3 31 2 3 3 0 6Inf Inf 4 3 6 0R= 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 61 2 3 4 2 61 2 3 4 5 61 2 2 4 5 61 2 3 4 5 6k= 3D= 0 4 5 7 1 94 0 1 3 2 55 1 0 2 3 47 3 2 0 3 31 2 3 3 0 69 5 4 3 6 0R= 1 2 3 3 5 31 2 3 3 5 31 2 3 4 2 63 3 3 4 5 61 2 2 4 5 63 3 3 4 5 6k= 4D= 0 4 5 7 1 94 0 1 3
7、 2 55 1 0 2 3 47 3 2 0 3 31 2 3 3 0 69 5 4 3 6 0R= 1 2 3 3 5 31 2 3 3 5 31 2 3 4 2 63 3 3 4 5 61 2 2 4 5 63 3 3 4 5 6k= 5D= 0 3 4 4 1 73 0 1 3 2 54 1 0 2 3 44 3 2 0 3 31 2 3 3 0 67 5 4 3 6 0R= 1 5 5 5 5 55 2 3 3 5 32 2 3 4 2 65 3 3 4 5 61 2 2 4 5 65 3 3 4 5 6k= 6D= 0 3 4 4 1 73 0 1 3 2 54 1 0 2 3 44
8、 3 2 0 3 31 2 3 3 0 67 5 4 3 6 0R= 1 5 5 5 5 55 2 3 3 5 32 2 3 4 2 65 3 3 4 5 61 2 2 4 5 65 3 3 4 5 6D= 0 3 4 4 1 73 0 1 3 2 54 1 0 2 3 44 3 2 0 3 31 2 3 3 0 67 5 4 3 6 0R= 1 5 5 5 5 55 2 3 3 5 32 2 3 4 2 65 3 3 4 5 61 2 2 4 5 65 3 3 4 5 6即求得最短距离矩阵D 0 3 4 4 1 7 3 0 1 3 2 5 4 1 0 2 3 4 4 3 2 0 3 3 1
9、2 3 3 0 6 7 5 4 3 6 0D 1 5 5 5 5 5 5 2 3 3 5 3 2 2 3 4 2 6 5 3 3 4 5 6 1 2 2 4 5 6 5 3 3 4 5 6R 则V1、V2、V4、V6之间的最短路径和距离为Pv1 v 2， d(V，V）Pvv， d(V，V）Pvv， d(V，V）Pvv， d(V，V）Pvv， d(V，V）Pv4v4， d(V4，V）3以V1、V2、V4、V6为顶点，它们之间的距离为边权构造完备图G1图G1求出G1的最小权完美匹配M=（V1，V2），（V4，V6）在图G中沿V1到V2 ，沿V4到V6的最短路径添加重复边，得到欧拉图G2。图G2中一条欧拉巡回就是图G的一条最佳巡回，其权值为37。四、结果分析图G一共有4个奇次顶点，添加重复边如图所示：欧拉巡回为：15234631256451，巡回长度为37。该结果为图G的最佳欧拉巡回长度，在图G中不可能再找出比巡回长度37更短的距离，即图G只有一个最佳欧拉巡回。五、参考文献1赵静,但琦.高等教育出版社北京，2000.2贺定修,冯天祥.西南交通大学出版社成都,2011.
