1、论四分位数的计算 湖南工学院工商管理系 祁德军 南华大学数理学院 陈明 （中国 衡阳 421008） 摘要 ： 大多数的统计学原理教材对四分位数的计算不作介绍，成为统计学原理教材中 的空白。本文主要就四分位数的计算 ,尤其是由组距式数列的计算进行论述，力图引起同仁 们的重视。 关键词 ： 分位数 组距数列 四分位数 分位数根据其将数列等分的形式不同可以分为中位数，四分位数，十分位数、百分位数 等等。四分位数作为分位数的一种形式，在统计中有着十分重要的意义和作用，而大多数的 统计学原理教材只介绍其基本含义，对其具体计算，尤其是由组距数列计算都不作介绍，成 为统计学原理教材中的空白。那么，如何根据
2、数列计算四分位数呢？一般来讲，视资料是否 分组而定。 一、根据未分组的资料计算四分位数 第一步 :确定四分位数的位置。 四分位数是将数列等分成四 个部 分的数，一 个 数列有 三个 四分位数， 设下 四分位数、中 位数和 上 四分位数分 别 为 1 Q、 2 Q、 3 Q， 则： 1 Q、 2 Q、 3 Q的位置可由 下 述 公 式确定 : 1 Q 的位置 = 4 1 + n2 Q 的位置 = ( ) 2 1 4 1 2 + = + n n3 Q的位置 = ( ) 4 1 3 + n式中 n表示 资料的 项 数 第 二 步 :根据第一步 所 确定的四分位数的位置，确定其 相应 的四分位数。 例
3、 如 ：某车间某月份 的 工人生产某产品 的数 量 分 别 为 13、 13.5、 13.8、 13.9、 14、 14.6、 14.8、 15、 15.2、 15.4、 15.7公斤 ， 则三个 四分位数的位置分 别 为 ： 1 Q 的位置 = 3 4 1 11 4 1 = + = + n2 Q 的位置 = ( ) 6 2 1 11 2 1 4 1 2 = + = + = + n n3 Q的位置 = ( ) ( ) 9 4 1 11 3 4 1 3 = + = + n即变量 数列中的第 三个 、第 六个 、第 九个工人 的 某 种 产品产量 分 别 为 下 四分位数、中位 数和 上 四分位数
4、。 即： 1 Q =13.8公斤 、 2 Q =14.6公斤 、 3 Q =15.2公斤 上例 中 （ n+1）恰好 为 4的 倍 数， 所 以确定四分数 较简单 ，如 果（ n+1） 不为 4的 整 数 PDF 文 件使 用 “pdfFactory Pro“ 试 用 版 本 创建 倍 数， 按上 述分式计算 出 来的四分位数位置就 带 有 小 数， 这时 ，有 关 的四分位数就 应该 是 与 该小 数 相邻 的 两个整 数位置 上 的 标志值 的 平均 数， 权 数的大 小取决于两个整 数位置距 离 的 远 近 ，距 离越近 ， 权 数 越 大，距 离越远 ， 权 数 越小 ,权 数 之 和
5、等 于 1。 例 如 ：某车间某月份 的 工人生产某产品 的数 量 分 别 为 13、 13.5、 13.8、 13.9、 14、 14.6、 14.8、 15、 15.2、 15.4公斤 ， 则三个 四分位数的位置分 别 为 ： 1 Q的位置 = 75 . 2 4 1 10 4 1 = + = + n2 Q 的位置 = ( ) 5 . 5 2 1 10 2 1 4 1 2 = + = + = + n n3 Q的位置 = ( ) ( ) 25 . 8 4 1 10 3 4 1 3 = + = + n即变量 数列中的第 2.75项 、第 5.5项 、第 8.25项工人 的 某 种 产品产量 分
6、别 为 下 四分位 数、中位数和 上 四分位数。 即： 第 三项 第 二项 + = 75 . 0 25 . 0 1 Q = ( ) 公斤 73 . 13 8 . 13 75 . 0 135 25 . 0 = + 第 六项 第 五项 + = 5 . 0 5 . 0 2 Q = ( ) 公斤 3 . 14 6 . 14 5 . 0 14 5 . 0 = + 第 九项 第 八项 + = 25 . 0 75 . 0 3 Q = ( ) 公斤 05 . 15 2 . 15 25 . 0 15 75 . 0 = + 在 实际 资料中，由 于标志值序 列中的 相邻标志值往往 是 相 同的， 因 而不一定要
7、通过 计算 才能得到 有 关 的四分位数。 二、由组距式数列确定四分位数 第一步， 向上或向下累 计 次 数 . 第 二 步，根据 累 计 次 数确定四分位数的位置 . （ 1）、 当采 用 向上累 计 次 数的资料确定四分位数 时 ，四分位数位置的 公 式是 ： 1 Q的位置 = 4 1 + f2 Q的位置 = ( ) 2 1 4 1 2 + = + f f3 Q的位置 = ( ) 4 1 3 + f式中 ： f表示 资料的 总次 数。 （ 2）、 当采 用 向下累 计 次 数的资料确定四分位数 时 ，四分位数位置的 公 式是 ： PDF 文 件使 用 “pdfFactory Pro“ 试
8、用 版 本 创建 1 Q的位置 = ( ) 4 1 3 + f2 Q的位置 = ( ) 2 1 4 1 2 + = + f f3 Q的位置 = 4 1 + f式中 ： f表示 资料的 总次 数。 第 三 步，根据四分位数的位置算 出各 四分位数 . （ 1）、 当累 计 次 数是 向上累 计 时 ， 按下 限 公 式计算 各 四分位数 . 1 1 1 1 1 1 4 i f S f L Q Q Q - + = - 2 1 2 2 2 2 4 2 i f S f L Q Q Q - + = - 3 1 3 3 3 3 4 3 i f S f L Q Q Q - + = - 式中 ： 1 Q、 2
9、 Q、 3 Q分 别表示下 四分位数、中位数和 上 四分位数 ; 1 L、 2 L、 3 L分 别表示下 四分位数、中位数和 上 四分位数 所 在组的 下 限 ; 1 i、 2 i 、 3 i 分 别表示下 四分位数、中位数和 上 四分位数 所 在组的组距 ; f 表示总次 数 ; 1 Q f 、 2 Q f 、 3 Q f 分 别表示下 四分位数、中位数和 上 四分位数 所 在组的 次 数 ; 1 1- Q S 表示下 四分位数 前 一组的 累 计 次 数 ; 1 2- Q S 表示 中位数 前 一组的 累 计 次 数 ; 1 3- Q S 表示上 四分位数 前 一组的 累 计 次 数。 （
10、 2） 、 当累 计 次 数是 向下累 计 时 ， 按上 限 公 式计算 各 四分位数 . PDF 文 件使 用 “pdfFactory Pro“ 试 用 版 本 创建 1 1 1 1 1 1 4 3 i f S f U Q Q Q - - = + 2 1 2 2 2 2 4 2 i f S f U Q Q Q - - = + 3 1 3 3 3 3 4 i f S f U Q Q Q - - = + 式中 ： 1 Q、 2 Q、 3 Q分 别表示下 四分位数、中位数和 上 四分位数 ; 1 U 、 2 U 、 3 U 分 别表示下 四分位数、中位数和 上 四分位数 所 在组的 上 限 ; 1
11、 i、 2 i 、 3 i 分 别表示下 四分位数、中位数和 上 四分位数 所 在组的组距 ; f 表示总次 数 ; 1 Q f 、 2 Q f 、 3 Q f 分 别表示下 四分位数、中位数和 上 四分位数 所 在组的 次 数 ; 1 1 + Q S 表示下 四分位数 后 一组的 累 计 次 数 ; 1 2 + Q S 表示 中位数 后 一组的 累 计 次 数 ; 1 3+ Q S 表示上 四分位数 后 一组的 累 计 次 数 . 例 如 ：某 企业职 工按月工 资的分组资料如 下： 按月工 资分组 （ 元 ） 职 工人 数 （人） 向上累 计 职 工人 数 向下累 计 职 工人 数 600
12、以 下 23 23 566 600 700 120 143 543 700 800 150 293 423 800 900 135 428 273 900 1000 95 523 138 1000以 上 43 566 43 合 计 566 根据 上 述资料确定 某 企业职 工 的 月工 资的 三个 四分位数如 下： （ 1）、 采 用 向上累 计 职 工人 数的资料 得月工 资四分位数的位置为 : 1 Q的位置 = 75 . 141 4 1 566 4 1 = + = + fPDF 文 件使 用 “pdfFactory Pro“ 试 用 版 本 创建 2 Q的位置 = ( ) 2 1 566
13、2 1 4 1 2 + = + = + f f =283.5 3 Q的位置 = ( ) ( ) 25 . 425 4 1 566 3 4 1 3 = + = + f根据计算 结 果 可 知 ， 1 Q、 2 Q、 3 Q分 别 位 于向上累 计 职 工人 数的第 二 组、第 三 组和第 四组， 月工 资四分位数分 别 为 : ( ) 元 75 . 698 100 120 23 4 566 600 4 1 1 1 1 1 1 = - + = - + = - i f S f L Q Q Q( ) 元 33 . 793 100 150 143 4 566 2 700 4 2 2 1 2 2 2 2
14、= - + = - + = - i f S f L Q Q Q( ) 元 41 . 897 100 135 293 4 566 3 800 4 3 3 1 3 3 3 3 = - + = - + = - i f S f L Q Q Q（ 2）、 采 用 向下累 计 职 工人 数的资料 得月工 资四分位数的位置为 : 1 Q的位置 = ( ) 25 . 425 4 ) 1 566 ( 3 4 1 3 = + = + f2 Q的位置 = ( ) 2 1 566 2 1 4 1 2 + = + = + f f =283.5 3 Q的位置 = 75 . 141 4 1 566 4 1 = + = +
15、f同 样 可 知 ： 1 Q、 2 Q、 3 Q分 别 位 于向下累 计 职 工人 数的第 二 组、第 三 组和第四组， 月 工 资四分位数分 别 为 : ( ) 元 75 . 698 100 120 423 4 566 3 700 4 3 1 1 1 1 1 1 = - - = - - = + i f S f U Q Q Q( ) 元 33 . 793 100 150 273 4 566 2 800 4 2 2 1 2 2 2 2 = - - = - - = + i f S f U Q Q QPDF 文 件使 用 “pdfFactory Pro“ 试 用 版 本 创建 ( ) 元 41 .
16、897 100 135 138 4 566 900 4 3 1 3 3 3 3 = - - = - - = + i f S f U Q Q Q计算 结 果 同 按下 限 公 式计算的一 致 ， 即所 求 某 企业职 工月工 资的 三个 四分数 也 分 别 为 698.75元 、 793.33元 和 897.41元 。 作者简介： 祁德军 （ 1961 ）， 男 ， 1983年毕业 于 湖南财经 学 院 计 划 统计 系 统计 专业 ， 毕业后 一 直 从事 统计教学， 现任湖南 工 学 院 工 商管 理 系副 教 授 。 陈明 （ 1959 ）， 男 ， 1982年毕业 于 湖南师范 学 院 数学 系 数学 专业 ， 毕业后 一 直从事高 等数学教学， 现任南华 大学数理学 院副 教 授 。 PDF 文 件使 用 “pdfFactory Pro“ 试 用 版 本 创建
