1、1万有引力定律应用例谈卞望来（江苏省南菁高级中学 江苏 江阴 214400）近几年来，万有引力定律内容已成为各地高考的热点之一。它主要考查学生运用万有引力定律的知识，结合牛顿第二定律，解人造卫星和星体作圆周运动的问题，或对行星的质量、密度的测量作出有关推断和计算。这要求学生要有一定模型建构、知识综合运用和逻辑推理的能力。这类题目的考题形式有选择题、计算题或论述题。涉及知识点主要有：万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动、能量守恒定律等知识。现就以下四个方面谈万有引力定律的应用。一、第一宇宙速度、第二宇宙速度推导及应用例 1、 （预测题）如果地球表面的重力加速度为 g，地球半径为 R，试推导第
2、一宇宙速度、第二宇宙速度表达式并求出其大小。 （已知 g=9.8m/s ，R6400km）2解析：设地球质量为 M，绕地球做匀速圆周运动的卫星的质量为 m，卫星的速度为 v，轨道半径为 r，由牛顿第二定律得： rvmFGF22,向引向引所以 rv,32若有质量为 物 体 静 止 于 地 面 ， 且 忽 略 地 球 自 转 所 需 向 心 力 ，0有 202,gRGMmR当卫星贴近地面飞行时， r由式得 ，这就是卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运skmv/9.71动的速度，叫第一宇宙速度。设卫星在地面发射速度为 ，则它的动能 ，引力势能 ，2v21mvEkRMmGEP要使卫星克服地球引力的束缚，最
3、终离开地球，其末速为 0，动能为 O，引力势能也为 0，由机械能守恒定律得： skvgRvRMmGvEpk /2.1,021, 2这就是卫星脱离地球引力束缚的速度，叫第二宇宙速度。2例 2、 （06，全国，理综）我国将要发射一颗绕地球运行的探月卫星“嫦娥 1号” 。设该卫星的轨道是圆形的，且贴近地球表面。已知月球质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的 ，地球上的第一宇宙速度约为 7.9km/s，则该探8141月卫星绕月运行的速率约为（ ）A、0.4km/s B、1.8km/s C、11km/s D、36km/s解析：由牛顿第二定律得：卫星作圆周运动所需向心力由万有引力提供，且 ，有 ，所
4、以探月卫星绕月运行的速率为RrRGMvmG,22，故选 B。skv/8.1971这方面题目要求学生能正确理解第一宇宙速度，明确卫星作匀速圆周运动向心力是由万有引力来提供的，卫星贴近星体运动时其轨道半径近似等于星体的半径。同时，当物体静止于星体表面时，在忽略星体自转时物体所需向心力情况下，其重力就等于星体对物体的万有引力。二、人造卫星的有关判断及计算例 3、 （05，江苏）某人造卫星运动的轨道可近似地看作以地心为中心的圆。由于阻力作用，人造卫星到地心的距离从 慢慢变到 ，用 分别表示卫星在这1r2r21,kE两个轨道上的动能，则（ ）A、 ， 1r221kEB、 ，C、 ， 1r221kD、 ，
5、 E解析：由于阻力作用，人造卫星在原轨道上速度减小，在原轨道上万有引力大于人造卫星做圆周运动需要的向心力，人造卫星要做靠近地心的运动使 r 减小，即 。在新的轨道上达到稳定后，由 ，得 ，因为2r1 rvmMG22rG ， ，故 B 正确。2112kE例 4、 （06，江苏）如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h，已知地球半径为 R，地球自转角速度为 ，地球0w表面的重力加速为 g，O 为地球的中心。3（1）求卫星 B 的运行周期。（2）如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B 两卫星相距最近（O、A、B 在同一直线上） ，则至少经
6、过多长时间，他们再一次相距最近？解析：（1）由万有引力定律和向心力公式得： )()2)(2hRTmhRMGB当物体在地面上时， mgMG2联立得： 23)(RhB（2）由题意得： )(0tw由得 32)(hgTB由代入得： )(/032wRt这方面题目主要是要求学生正确掌握卫星作匀速圆周运动时的向心力同样是由万有引力提供的，掌握匀速圆周运动的有关知识，同时明确同步卫星的角速度就等于地球自转的角速度。三、行星的质量、密度的测量例 5、 （06，北京，理综）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，认为行星是密度均匀的球体。要确定该行星的密度，只需要测量（ ）A、飞船的轨道半径 B、飞船的运行速
7、度C、飞船的运行周期 D、行星的质量解析：设行星的半径为 R、质量为 M，飞船质量为 m、运行周期为 T，因而，故只需测量飞船的2322 3,4,)( GTVTmrMG 得 行 星 的 密 度运行周期，因而选 C。例 6、 （98，全国）宇航员站在一星球表面的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经时间 t，小球落到星球表面，测得抛出点到落地点之间的距离为 L。若抛出时的初速度增大到 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为 。已知两落地点在同一3水平面上，该星球的半径为 R，万有引力常数为 G，求该星球的质量 M。解析：设抛出点高度为 h，第一次水平位移为 ，则xORhAB4 22Lhx 22)3(
8、)(Lhx由得 3由自由落体运动 ， 且 21gth2RMmGg由得 23GtLRM例 7、 （预测题）1789 年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度。已知地球半径为 R，地球表面的重力加速为 g，万有引力常数为 G，根据你学过的知识，试推断出地球的平均密度表达式及其大小。解析：设地球质量为 M，地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，忽略地球自转影响，由万有引力定律得 ，将地球看成一个球体 2mg 34RV由得地球的平均密度 ，式中 均为常数，将它们的GRV43g,数值代入可得 3/105.kg要对行星的质量、密度进行测量，除必须应用万有引力定律外，还要将星体看成球体，并结
9、合星体表面的重力加速度或卫星的运行周期进行求解，这就要求学生有一定的解题能力和推断能力。四、双星体、三星体的分析例 8、 （06，天津，理综）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX3 双星系统，它由可见星 A 和不可见的暗星 B 构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为 G，由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T。（1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 可等效为位于 O 点处质AF量为
10、的星体（视为质点）对它的引力，设 A 和 B 的质量分别m为 ，试求 （用 表示） ；21,21,m（2）求暗星 B 的质量 与可见星 A 的速率 v，运行周期 T 和质量 之间的关1m系式；（3）恒星演化到末期，如果其质量OAB5大于太阳质量 的 2 倍，它将有可能成为黑洞。若可见星 A 的速率 ，sm smv/107.25运行周期 T ，质量 6 ，试 通 过 估 算 来 判 断 暗 星 B 有 可 能 是 黑 洞 吗 ？4107.1sm)0.2,/6.( 32kgkgNGs解析：（1）设 A、B 的圆轨道半径分别为 、 ，由题意知，A、B 做匀速1r2圆周运动的角速度相同，设其为 。牛顿
11、运动定律，有BAFrm21设 A、B 之间的距离为 ，又 ，由上述各式得 ， r21r12rmr由万有引力定律，有 ，由代入得 ，21rGFA 2113)(rGFA令 ，比较可得 21rmGFA213)(m（2）由牛顿第二定律，有 1221rv又可见星 A 的轨道半径 Tr由式解得 Gvm2)(3132（3）将 代入式，得sm61Tvs)6(323代入数据得 ss5.)(23将其代入式得 02nms sss mnm5.3)16()6(2236可见， 的值随 的增大而增长，试令 2，得23)6(msnnsssn5.31.0)(2若使式成立，则 必大于 2，即暗星 B 的质量 必大于 2n2ms由
12、此得出结论：暗星 B 有可能是黑洞。例 9、 （06，广东）宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行。设每个星体的质量均为 。m（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？解析：（1）对第一种形式，以某一个运动星体为研究对象，作受力分析，如图 所示，一个星体
13、要受到其它两个星体的万有引力作用，根据牛顿第二定律和a万有引力定律得21RmGF22)(RmF且 v21因而运动星体的线距离 RGmV25设周期为 T，则有 ，v得 GmR543（2）设第二种形式星体之间的距离为 ，对其中一个星体作受力分析，如图r所示，则三个星体作圆周运动的半径 b rR30cos2由于星体作圆周运动所需的向心力靠其它两个星体的万有引F1R2(a)F1R2合r(b)7力的合力提供。由力的合成和牛顿第二定律有： 30cos2rmGF合RTmF2)(合由得 r351双星体、三星体考题的出现，说明高考对万有引力定律的应用提出了较高要求，双星体中两个星体转动半径不同，三星体中每个星体作圆周运动时所需向心力要有其它两个星体的万有引力的合力提供，这些都是学生平时解题不易遇到的。总之，解决这类问题关键是合力提供向心力，要求学生仔细审题，作好受力分析图，仔细分清星体转动半径与星体引力距离的差异，这样就较顺利的解题。（本文已在物理之友07 年 5 月刊发表）2006 年 11 月 23 日
