1、泰勒公式定理（peano 余项型，洛必达法则法证明） 若 存在, 则 ，()0nfx0()x.0(),nfxTn.()20000 0 0()(,)( )!nnn ffTxf 叫做 在 的 次泰勒多项式，也叫 在 的 次密切（“切线” ）.x证法 洛必达法则法的分析. 按照洛必达法则往证 即可.0()limnafT记 ， ，()()nnRxfTx0()nnQx注意到 ，1()0 0nRRx，()0nn !Q存在，意味着 在 内还可导.允许 反复使用洛必达法则()0nfx(1)fx0U()linxa次.1证明 连续 次使用洛必达法则，得不断添入 0，使结论成为两个函数值之差的比.(1)()liml
2、i0nnxaxaRRQ(1)(1)()00)li 2nnnxafffx .()()()00li! nxfffx 注 1 即使函数能表成 ， 不一定是泰勒多项式.(),)nfPx,)nPx如 ，由 ，故 .1(),nfxDN100(limlinxxfD(0)nfx虽然能写成 ，但是，根据海因定理，20nf 1fDx， 仅在 0 点仅 1 阶可导 （0 的邻域内 无定义）.nN()f ()f故 并不是 在 0 处的泰勒多项式.2()npxx ()fx注 2 若 能表成 ，则多项式 是唯一的（不论可导性）f 0,nfP0(,)nPx.因为 若00(),)()nnfxx212 00()()nnnaaa
3、xx （1）则由（1） ，00lim()xf反代入（1）式又得 ，01反代入（1）式又得 001022()()limxfaxa由于极限唯一性，所以， 是唯一的.(,)nP该结论叫做唯一性引理.它说明，peano 余项型泰勒公式 中， 只()nfxT0()nxf能由 来逼近（近似） ，或者说，在定理的条件下， 来逼近（近似） 是最佳的逼近（近()nTx nf似）.定理（ Taylor 中值定理， Lagrange 余项型，柯西中值定理法证明） 若函数 满足f 在 上连续; 在 内可导.()nx,ba()nfx),ba则 使 .0,(,)0T(110)!nnfx有的教材把 改为 ，定理为：设函数
4、在 存在 导数，则 ，,0Ux)0U0()xU.(1)10() )!nnnffxT注 从证明可见，对 运用柯西中值定理时，对 在 处的可导性没有要求.() ()nfx0,证法分析（华东师大本） 若能整理成两个函数差的比，可以试用柯西中值定理.显然 时结论为 0=0，讨论无意义.0x当 时，不妨设 .结论相当于 .0x (1)01(),!nnfTfx把 改为 ，令 ，0t(),nFtfxtGt结论相当于 ，注意到 ， ，结论即是(1)!nFfGx0().由柯西中值定理，代入导数，证毕.()0()f（倘若不把 改成 ，而是令 ， ，虽恰有0t 0()(,)nFxfTx10()nx， ，把 化成 ，
5、但用柯西中值定理得不出所要结论）0()Fx()xFG更一般形式的 Taylor 中值定理定理（ Lagrange 余项型）若 函数 在 存在 阶导数;f0()Ux1n , 在 或 上连续，在 或 内可导，且 .Gt0,x0(,)x(,)x()0Gt则 或 ，使0 .(1) 00(), )!()nnn GffxT特别地，取 ，可得 Lagrange 余项型的泰勒公式.)tt更特别地，取 ， ，则(G()1t(1) 0)()!nnnfRxxx叫柯西余项.相应的泰勒定理叫做带柯西余项型余项的泰勒公式.证明 当 时，不妨设 .结论相当于 .0x0x(1)0(), 1)!(nnnfxTfxGG把 改为 ，令 ，结论相当于0t()(,)nFtfTt.注意到 ，结论相当于10() 1!nGx ()Fx0()Fx.(1)!(nnfG由柯西中值定理，代入导数，证毕.特别地，取 ，可得 Lagrange 余项型的泰勒公式.更特别地，取 ，1(ntxt ()Gtxt，相应的余项 就是柯西余项.()1Gt() 0)()!nfRxx
