1、二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。它可以化高次为低次、化无理为有理、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。换元时要尽可能把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来。、再现性题组：1. ysinxcosxsinx+cosx 的最大值是_。2. 设 f(x 1)log (4x ) （a1），则 f(x)的值域是_。2a43. 已知数列a 中，a 1，a a a a ，则数列通项 a _。nn1n1n4. 设实数 x
2、、y 满足 x 2xy10，则 xy 的取值范围是_。25. 方程 3 的解是_ 。16. 不等式 log (2 1) log (2 2)2 的解集是_。2x2x1、示范性题组：例 1. 实数 x、y 满足 4x 5xy 4y 5 （ 式） ，设 S x y ，求 的值。（9321Smaxin年全国高中数学联赛题）【分析】 由 Sx y 联想到 cos sin 1,于是进行三角换元，设 代入式222 cosi求 S 和 S 的值。maxin【解】设 代入式得： 4S5Ssincos5 解得 S ；ycosi 10852sin -1sin21 385sin213 后面求 S 值域还可由 sin2
3、 的有界性而求（有界法）：810【另解】 设 x t，y t，t ， ， 则 xy 代入式得：22S2SSt244S5 =5， 移项平方整理得 100t +39S 160S1000 。4 39S 160S1000 解得2【注】 三角换元法、均值换元法；求值域的几种方法（有界法、不等式性质法、分离参数法）。其它换元法（和差换元）解：设 xab，yab，代入式整理得 3a 13b 5 得2a 0, 253S2(a b ) a , 21032103例 2 ABC 的三个内角 A、B、 C 满足：AC2B， ，求 cos 的值。1cosACcosBAC2（96 年全国理）【分析】 由 AC2B，可得
4、,则设 ，再代入可求 cos 即 cosACB1206 AB 60。2【解】 【另解】 由 2 ，也可设 m， m 再代入求。1cos1cosA21cosC2【注】 均值换元法。结合三角形角的关系与三角公式进行运算。例 3. 设 a0，求 f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a 的最大值和最小值。2【解】 设 sinxcosxt，则 t- , ，sinxcosx2t1 f(x)g(t) (t2a) （a0）， t- , 12t- 时，取最小值：2a 2 a 1当 2a 时，t ，取最大值：2a 2 a ；当 00 恒成立，求 a 的取241()a21a2()4值范围。（87 年全
5、国理）【解】 设 log t，则 log log 21a2 2原不等式简化为：【注】局部换元法，简化了问题；判别式法；对数运算。例 5. 已知 ，且 (式)，求 的值。sinxcoys2xin2y1032(xyxyy, , x2【解】 设 k，则 sinkx，cosky，且 sin cos k (x +y )1,代sinxcoy 222入式得： 即： k221032()xkyx2103设 t，则 t , 解得：t3 或 或y2【另解】 由 tg，将 式表示成 tg 而求出：xsinco【注】 等量换元，减少变量个数。例 6. 实数 x、y 满足 1，若 xyk0 恒成立，求 k 的范围。()9
6、2)y62【解】 设 cos， sin，即： 代入不等式得：13434cosin 3cos4sink0，即 k0 (a0)所表示的区域为直线axbyc0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上 xyk0 的区域。即当直线 xyk0 在与椭圆下部相切的切线之下时。、巩固性题组：1. 已知 f(x )lgx (x0)，则 f(4)的值为_。3A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg41232. 函数 y(x1) 2 的单调增区间是_。4A. -2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 设等差数列
7、a 的公差 d ，且 S 145，则 a a a a 的值为_。n101359A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知 x 4y 4x，则 xy 的范围是_。25. 已知 a0，b0，ab1，则 的范围是_。a2b6. 不等式 ax 的解集是(4,b)，则 a_，b_。37. 函数 y2x 的值域是_。x8. 在等比数列a 中，a a a 2，a a a 12，求 a a a 。n12101230312609. 实数 m 在什么范围内取值，对任意实数 x，不等式 sin x2mcosx4m10,y0)上移动，且 AB、AD 始终平行 x轴、y 轴，求矩形 ABCD 的最小面积。 yxxyk0k 平面区域y D CA BO x
