1、1四年级奥数 抽屉原理把 3 个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个；或 3 个苹果放在某一个抽屉里.尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.如果把 5 个苹果任意放到 4 个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果.由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就一定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果.道理很简单：如果每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有 1 个） ，那么所有抽屉里的苹果数的和就比总数少了.由此得到：抽屉原理：把多于 n 个的苹果放进 n 个抽屉里，那么至少有一个抽
2、屉里有两个或两个以上的苹果。如果把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理.不要小看这个“原理” ，利用它可以解决一些表面看来似乎很难的数学问题。比如，我们从街上随便找来 13 人，就可以断定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、等十二种生肖）相同.怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很容易把道理讲清楚.事实上，由于人数（13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把 13 人看成 13 个“苹果” ，把 12 种属相看成 12 个“抽屉” ） 。应用抽屉原理要注意识别“抽屉”和“苹果” ，苹果的数目一定要大于抽屉的个数
3、。例题讲解 例 1 有 5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋子.请你证明，这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。分析与解答 首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3 黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 种配组情况，看作 4 个抽屉.把每人的 3 枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有 5 个苹果.把每人所拿 3 枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有 5 个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。例 2 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随
4、意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？分析与解答 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃 4 种花色，2 张牌的花色可以有：2 张方块，2 张梅花，2 张红桃，2 张黑桃，1 张方块 1 张梅花，1 张方块 1 张黑桃，1 张方块 1 张红桃，1 张梅花 1 张黑桃，1 张梅花 1 张红桃，1 张黑桃 1 张红桃共计 10 种情况.把这 10 种花色配组看作 10 个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多 1 个就可以有题目所要的结果.所以至少有 11 个人。例 3 证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是 7 的倍数。分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的
5、性质，如果两个整数 a、b，它们除以自然数 m的余数相同，那么它们的差 a-b 是 m 的倍数.根据这个性质，本题只需证明这 8 个自然数中2有 2 个自然数，它们除以 7 的余数相同.我们可以把所有自然数按被 7 除所得的 7 种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6 分成七类.也就是 7 个抽屉.任取 8 个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以 7 的余数相同，因此这两个数的差一定是 7 的倍数。把所有整数按照除以某个自然数 m 的余数分为 m 类，叫做 m 的剩余类或同余类，用0，1，2，m-1表示.每一个类含有无穷多个数，例如1中含有1，m+1，2m1，3m1
6、，.在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意 n+1 个自然数中，总有两个自然数的差是 n 的倍数。在有些问题中，“抽屉”和“苹果”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“苹果”.如何制造“抽屉”和“苹果”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。例 4 从 2、4、6、30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中一定有两个数之和是 34。分析与解答 我们用题目中的 15 个偶数制造 8 个抽屉：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是 34。现从题目中的 15 个偶数中任取 9 个数，由抽屉
7、原理（因为抽屉只有 8 个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是 34。例 5 从 1、2、3、4、19、20 这 20 个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是 12。分析与解答在这 20 个自然数中，差是 12 的有以下 8 对：20，8，19，7，18，6，17，5，16，4，15，3，14，2，13，1。另外还有 4 个不能配对的数9，10，11，12，共制成 12 个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于 12，根据抽屉原理至少任选 13 个数，即可办到（取 12 个数：从 12 个抽屉中各取
8、一个数（例如取1，2，3，12），那么这 12 个数中任意两个数的差必不等于 12）。例 6 从 1 到 20 这 20 个数中，任取 11 个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。分析与解答 根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这 20 个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成 10 个抽屉（显然，它们具有上述性质）：1，2，4，8，16，3，6，12，5，10，20，7，14，9，18，11，13，15，17，19。从这 10 个数组的 20 个数中任取 11 个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具
9、有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。例 7 证明：在任取的 5 个自然数中，必有 3 个数，它们的和是 3 的倍数。3分析与解答 按照被 3 除所得的余数，把全体自然数分成 3 个剩余类，即构成 3 个抽屉.如果任选的 5 个自然数中，至少有 3 个数在同一个抽屉，那么这 3 个数除以 3 得到相同的余数r，所以它们的和一定是 3 的倍数（3r 被 3 整除）。如果每个抽屉至多有 2 个选定的数，那么 5 个数在 3 个抽屉中的分配必为 1 个，2 个，2 个，即 3 个抽屉中都有选定的数.在每个抽屉中各取 1 个数，那么这 3 个数除以 3 得到的余数分别为 0、1、
10、2.因此，它们的和也一定能被 3 整除（0+1+2 被 3 整除）。例 8 某校校庆，来了 n 位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这 n 个校友中至少有两人握手的次数一样多。分析与解答 共有 n 位校友，每个人握手的次数最少是 0 次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有 n-1 次，即这个人与每位到会校友都握了手.校友人数与握手次数的不同情况（0，1，2，n-1）数都是 n，还无法用抽屉原理。然而，如果有一个校友握手的次数是 0 次，那么握手次数最多的不能多于 n-2 次；如果有一个校友握手的次数是 n-1 次，那么握手次数最少的不能少于 1 次.不管是前一种状态0、1、
11、2、n-2，还是后一种状态 1、2、3、n-1，握手次数都只有 n-1 种情况.把这n-1 种情况看成 n-1 个抽屉，到会的 n 个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。课堂练习1.从 10 至 20 这 11 个自然数中，任取 7 个数，证明其中一定有两个数之和是 29。2.从 1、2、3、20 这 20 个数中，任选 12 个数，证明其中一定包括两个数，它们的差是11。3.20 名小围棋手进行单循环比赛（即每个人都要和其他任何人比赛一次），证明：在比赛中的任何时候统计每人已经赛过的场次都至少有两位小棋手比赛过相同的
12、场次。4.从整数 1、2、3、199、200 中任选 101 个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.45.将这 11 个自然数分成下列 6 组：10，19，11，18，12，17，13，16，14，15，20，从中任取7 个数，根据抽屉原理，一定有两个数取自同一数组，则这两个数的和是 29。6把这 20 个数分成下列 11 个组。1，12，2，13，3，14，9，20，10，11.其中前 9 组中的两数差为 11.任取 12 个数，其中必有两个数取自同一数组，则它们的差是 11.7.如果有一个人赛过 0 次（即他还未与任何人赛过），那么最多的只能赛过 18 次；
13、如果有人赛过 19 次（即他已与每个人都赛过了），那么最少的只能赛过 1 次.无论怎样，都只有 19种情况，根据抽屉原理，20 名棋手一定有两人赛过的场次相同。8.把这 200 个数分类如下：1，12，12 2，12 3，12 7，3，32，32 2，32 3，32 6，5，52，52 2，52 3，52 5，(50)99， 992，(51)101，(52)103，(100)199 ，以上共分为 100 类，即 100 个抽屉，显然在同一类中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个数都有倍数关系.从中任取 101 个数，根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类，5因此其中一个数是另一个数的倍数.
