1、- 1 -线性代数（试卷一）一、 填空题（本题总计 20 分，每小 题 2 分）1. 排列 7623451 的逆序数是 。_2. 若 ，则 121a160321a3. 已知 阶矩阵 、 和 满足 ，其中 为 阶单位矩阵，则 。nABCEnCAB14. 若 为 矩阵，则非齐次线性方程组 有唯一解的充分要条件是mAXb_5. 设 为 的矩阵，已知它的秩为 4，则以 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为A86_2_。6. 设 A 为三阶可逆阵， ，则 12301*A7.若 A 为 矩阵，则齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是 nmx8.已知五阶行列式 ，则 123450154D4543241
2、AA9. 向量 的模（范数） 。(2,)T_10.若 与 正交，则 k1Tk二、选择题（本题总计 10 分，每小 题 2 分）1. 向量组 线性相关且秩为 s，则(D)r,21 ssr rs2. 若 A 为三阶方阵，且 ，则 (A)043,02, EAE 88 34- 2 -3设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则( d ) )(R)(ARB 4. 设 阶矩阵 的行列式等于 ，则 等于 。cnADk_)(k)(BAn)(CAkn1)(D5. 设 阶矩阵 ， 和 ，则下列说法正确的是 。C则 ,则 或)(A)(0B0BTTBD2)(AA三、计算题（本题总计 60 分。 1-3 每小题 8 分
3、,4-7 每小题 9 分）1. 计算 阶行列式 。n221D3 212n2设 A 为三阶矩阵， 为 A 的伴随矩阵，且 ，求 .* *A2)3(13求矩阵的逆 1204. 讨论 为何值时，非齐次线性方程组21231x 有唯一解； 有无穷多解； 无解。5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。5213241x6.已知向量组 、 、 、T01T32T133- 3 -、 ，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用T94214T5215该最大无关组线性表示7. 求矩阵 的特征值和特征向量2013A四、证明题（本题总计 10 分）设 为 的一个解， 为对应齐次线性方程
4、组 的基础解系，bX12,nr 0AX证明 线性无关。12,nr （答案一）一、填空题（本题总计 20 分，每小 题 2 分）115；2、3；3、 ；4、 ；5、2； 6、 ；7、 ；8、0；9、3；10、1。 .二、CAnbAR),( 1230nAR选择题（本题总计 10 分，每小 题 2 分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、计算题（本题总计 60 分， 1-3 每小题 8 分，4-7 他每小题 9 分）1、 解： -3 分),43(2niri012 03n22-6 分12r002 032n2-8 分)!()(21)( n（此题的方法不唯一，可以酌情给分。 ）解：（1） -1 分1
5、2412312AB- 4 -5 分26024402（2） -8 分176395132BA 1628703. 设 A 为三阶矩阵， 为 A 的伴随矩阵，且 ，求 . 因 A ，故* 2*A)3(*E213 分 5 分 41n* *18 分271643422)3(1 *4、解： -3 分101),(EA132r100-6 分23r20)(32r 2故 -8 分 （利用 公式求得结果也正确。 ）11A A15、解； 2),(b13r322102r-3 分)()1(2012（1）唯一解： -5 分3,)bAR21且（2）无穷多解： -7 分)(（3）无解： -9 分 （利用其他方法求得结果也正确。 ）
6、,)(- 5 -6、解： -3 分520113),(bA r 003152基础解系为 ， -6 分2431x012令 ，得一特解： -7 分 故原方程组的通解为：3524321x43x035，其中 -9 分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给1020121 kk Rk21,分。 ）7、解：特征方程 从而 (4 分)2430()112AE123,1当 时，由 得基础解系 ，即对应于 的全部特征向量为 12()0X1(,)T1 1k(0)(7 分)当 时，由 得基础解系 ，即对应于 的全部特征向量为23()AE2(,)T232(0)k四、证明题（本题总计 10 分）证： 由 为对应齐次线性方程组
7、的基础解系，则 线性无关。(3 分)12,nr 0AX12,nr 反证法：设 线性相关，则 可由 线性表示，即： 12,nr 12,nr r1(6 分)因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故 必是 的解。这与已知条件 为0AXbAX的一个解相矛盾。(9 分). 有上可知， 线性无关。(10 分)0b 12,nr (试卷二)一、填空题（本题总计 20 分，每小 题 2 分）1. 排列 6573412 的逆序数是 - 6 -2.函数 中 的系数是 ()fx21x33设三阶方阵 A 的行列式 ,则 = A/3 *1()A4n 元齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充要条件是 5设向量
8、， = 正交，则 (1,2)T26三阶方阵 A 的特征值为 1， ，2，则 A7. 设 ，则 .103_8. 设 为 的矩阵，已知它的秩为 4，则以 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为A86A_9设 A 为 n 阶方阵，且 2 则 A 1*()310已知 相似于 ，则 ， 031x2Byxy二、选择题（本题总计 10 分，每小 题 2 分）1. 设 n 阶矩阵 A 的行列式等于 ，则 等于 DA 5(A) (B)-5 (C) 5 (D)(5) 1(5)nD2. 阶方阵 与对角矩阵相似的充分必要条件是 .(A) 矩阵 有 个线性无关的特征向量An(B) 矩阵 有 个特征值(C) 矩阵 的行
9、列式 0(D) 矩阵 的特征方程没有重根- 7 -3A 为 矩阵，则非齐次线性方程组 有唯一解的充要条件是 mnAXb(A) (B) (,)Rb()Rm(C) (D) ,An,)Abn4.设向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则( )(A) (B)()(B(C) (D)RR5. 向量组 线性相关且秩为 r，则 12,s(A) (B) (C) (D) rsssr三、计算题（本题总计 60 分，每小 题 10 分）1. 计算 n 阶行列式: .221D3 212n2已知矩阵方程 ，求矩阵 ,其中 .AXX031A3. 设 阶方阵 满足 ,证明 可逆，并求 .n042E1()E4求下列非齐次线性方
10、程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系: 1234234895xx5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示- 8 -12341234,5.06已知二次型： ，3231212321321 85),( xxxxf 用正交变换化 为标准形，并求出其正交变换矩阵 Q四、证明题（本题总计 10 分，每小 题 10 分）设 , , , , 且向量组 线性无关，证1ba212a 12rrba ra,21明向量组 线性无关.rb(答案二)一、填空题（本题总计 20 分，每小 题 2 分）1. 17 2. -2 3 4 5 6-27 或 8 29、 10、1A()Rn1A106
11、31n）（ 2,0yx二、选择题（本题总计 10 分，每小 题 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B三、计算题（本题总计 60 分，每小 题 10 分）1、 解： -4 分D),43(2niri021 032n2-7 分12r002 032n2-10 分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。)!()(21)( n）- 9 -2求解 ，其中AX2013解：由 得AX(3 分)1AE(6 分) (8120,31E102631r:分)所以 (10 分)26031X3解：利用由 可得： -5 分42EA0)(3EA即 -7 分 故 可逆且 -10 分)( )()31EA4求下列非齐次线性方
12、程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系 1234123895xx解： (2 分) 1238()9504Ab123040r:(4 分) 则有 (6 分)12100r: 1423x取 为自由未知量，令 ，则通解为： (8 分)4x4xc1234102xccR- 10 -对应齐次线性方程组的基础解系为： (10 分)215求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示解：12341234,5.0= 1234121321335000: 102:(2 分) 为一个极大无关组 . (4 分) 设 ， 12,312x412y解得 ， . (8 分) 则有 ， 12x12y 3124
13、126 解 32312123213 845),( xxxxf 的矩阵 (2 分) 的特征多项式 f 542AA)10()(2(4 分)的两个正交的特征向量 , 的特征向量 12110p1420323p正交矩阵 8 分) 正交变换 ：标准形321240Q yQx23210yyf四、证明题（本题总计 10 分）若设 且向量组 线性无,212121, rraabab ra,21关，证明向量组 线性无关. 证明：设存在 ，使得 rb,21 ,R rb+b=0- 11 -也即 化简得 12112()()0rraa 1212()( 0rrr 又因为 线性无关，则 (8 分)解得 12,ra120rr所以，
14、 线性无关.120r 12rb, , （试卷三）一、填空题（本题总计 20 分，每小 题 2 分）1、按自然数从小到大为标准次序，则排列 的逆序数为 ()2n2、设 4 阶行列式 ，则 4abcdD12314A3、已知 ，则 10327A1*4、已知 n 阶矩阵 A、B 满足 ，则 BA1E5、若 A 为 矩阵，则齐次线性方程组 只有零解的充分必要条件是 mx06、若 A 为 矩阵，且 ，则齐次线性方程组 的基础解系中包()3min,RAx0含解向量的个数为 7、若向量 与向量 正交，则 12T1T8、若三阶方阵 A 的特征多项式为 ，则 2()1AE9、设三阶方阵 、 ，已知 ， ，则 12
15、312B6BA10、设向量组 线性无关，则当常数 满足 时，向量组1,l线性无关.2323,l二、选择题（本题总计 10 分，每小 题 2 分）1、 以下等式正确的是( )- 12 - dcbak dcbak abc2、 4 阶行列式 中的项 和 的符号分别为（ ）det()ija1342a4312a正、正 正、负负、负 负、正3、 设 A 是 矩阵，C 是 n 阶可逆阵，满足 BAC. 若 A 和 B 的秩分别为 和 ，则有m ArB( ) ABrABr 以上都不正确 4、 设 A 是 矩阵，且 ，则非齐次线性方程组 ( )mn()RAmnxb有无穷多解 有唯一解无解 无法判断解的情况5、已
16、知向量组 线性无关，则以下线性无关的向量组是（ ）1234, 41, 123, 41, 123,三、计算题（本题总计 60 分，每小 题 10 分）1 求矩阵 的特征值和特征向量4A2 计算 阶行列式n011100nnaDa- 13 -3 已知矩阵 ， ， ，且满足 ，01A10B14320CAXBC求矩阵 X.4 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解 12345123451605xx5 已知矩阵 ，求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把其64397A余向量用该最大无关组线性表示6 已知 A 为三阶矩阵，且 ，求21*3四、证明题（本题总计 10 分）设
17、向量组 中前 个向量线性相关，后 个向量线性无关，试证：12,n 11n（1） 可由向量组 线性表示；3,n（2） 不能由向量组 线性表示.n121（试卷四）一、填空题（本题总计 16 分，每小 题 2 分）1、按自然数从小到大为标准次序，则排列 的逆序数为 3(21)4(2)nn 2、4 阶行列式 4186452D3、已知 ， 为 A 的伴随矩阵，则 109A*1*A4、已知 n 阶方阵 A 和 B 满足 ，则 1EB5、已知 A 为 矩阵，且 ，则以 A 为系数矩阵的齐次线性方程组m()min,Rr的基础解系中包含解向量的个数为 x0- 14 -6、已知四维列向量 、 、 ，T31521T
18、1052T143且 ，则 xx137、把向量 单位化得 0T8、若三阶方阵 A 的特征多项式为 ，则 2()1)(fAE二、选择题（本题总计 14 分，每小 题 2 分）1、 已知 ，则以下等式正确的是( ),abcdkR ba dcbak dcc abc2、 设 A 和 B 为 n 阶方阵，下列说法正确的是（ ）若 ，则 若 ，则 或C0AB0B若 ，则 或 若 ，则0A0BE3、 设 A 是 矩阵，且 ，则非齐次线性方程组 ( )mn()Rmnxb有唯一解 有无穷多解无解 无法判断解的情况4、 向量组的秩就是向量组的（ ）极大无关组中的向量 线性无关组中的向量极大无关组中的向量的个数 线性
19、无关组中的向量的个数5、 已知 n 阶方阵 A、B 和 C 满足 ABC=E，其中 E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )1B 1 A 16、 设 A 为三阶方阵， 为 A 的伴随矩阵，且 ，则 （ ）* 4*A3)(1 271276 17、 已知 n 元齐次线性方程组 的系数矩阵的秩等于 n-3，且 是 的三个Ax0123,Ax0线性无关的解向量，则 的基础解系可为（ ） 1231,312123,- 15 - 1231,1231,三、计算题（本题总计 60 分， 1-3 每小题 8 分，4-7 每小题 9 分）1 计算 阶行列式nnxaDax2 已知三阶方阵 ，求10A21()4)AE3 已知矩阵 ， ，求 .210102BBA4 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解 123451xx5 判定向量组 的线性相关性。123(,),(0,),(2,41)TTT6 已知矩阵 ，求矩阵 的秩及列向量组的一个最大无关组.201423AA7 已知 ，求可逆阵 P，使得 为对角阵. 04131四、证明题（本题总计 10 分）设 为非齐次线性方程组 的一个解， 为对应齐次线性方程组的基础解系.Axb12,r试证：向量组 线性无关。12,r
