1、第八章,第三节,一元函数 y = f (x) 的微分,全微分,一元函数微分学中增量与微分的关系：,二元函数,一、 全微分的定义 1、全增量的概念,2、全微分的定义,定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,处全增量,事实上,P,Q,M,N,x, y,A,B,dz=AB : 切面立标的增量,z= f (x ,y), z =AN ：曲面立标的增量,过点M的切平面：,即：
2、,dz,z,=AB+BN,.,dz,=AB,用切面立标的增量近似曲面立标的增量,dz,全微分的几何意义,二、可微的条件,证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如，,则,当 时，,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在。,证,（依偏导数的连续性）,同理,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,解,所求全微分,解,解,所求全微分,证,令,则,同理,不存在.,多元函数连续、可导、可微的关系,全微分在近似计算中的应用,也可写成,解,由公式得,三、小结,多元函数全微分的概念；,多元函数全微分的求法；,（注意：与一元函数有很大区别）,多元函数连续、可导、可微的关系，,思考题,思考题解答,不能.,例如,思考题,作业,P75 1. (3), (4); 2; 3; 5;,
