1、第 23 章一元二次方程 223.1 一元二次方程 323.2 一元二次方程的解法 4阅读材料 1323.3 实践与探索 14小结 16复习题 17第 23 章一元二次方程绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为 900 平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？设宽为 x 米，可列出方程，90)1(整理得 2x方程 中未知数 x 的0912x最高次数是 2，它是一个一元二次方程23.1 一元二次方程问题 1绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为 900 平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？分析我们
2、已经知道可以运用方程解决实际问题设长方形绿地的宽为 x 米，不难列出方程x（x10）900，整理可得 （1）0912问题 2学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 72 万册求这两年的年平均增长率分析设这两年的年平均增长率为 x已知去年年底的图书数是 5 万册，则今年年底的图书数是 5（1x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1x）倍，即 万册可列得方程2)()(5，2.7)1(x整理可得 （2）0.52思考这样，问题 1 和问题 2 分别归结为解方程（1）和（2） 显然，这两个方程都不是一元一次方程那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？概
3、括上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是 2，这样的方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown） 通常可化成如下的一般形式：（a、b、c 是已知数，a0） ，2xa其中 a、b、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项练习将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1） ；23x（2） ；7（3） ；0)2(3)12(xx（4） 45习题 2311关于 x 的方程 是一元二次方程，m 应满足什么条件？2322xm2已知关于 x 的一元二次方程 有一个解是 0，求 m 的值43)(23根
4、据题意，列出方程（不必求解）： （1）学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半已知草坪是长和宽分别为 80 米和 60 米的矩形，求花坛的半径（2）根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比） ，视觉和音响效果最好已知学校礼堂舞台前沿宽 20 米，问举行文娱会演时主持人应站在何处？23.2 一元二次方程的解法试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流（1） ；（2） 4x012x概括对于方程（1） ，有这样的解法： 方程 ，2x意味着 x 是 4 的
5、平方根，所以，即 x2这种方法叫做直接开平方法对于方程（2） ，有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得（x1） （x1）0，必有 x10 或 x10，分别解这两个一元一次方程，得,21这种方法叫做因式分解法思考（1）方程 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？42x（2）方程 能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什012x么形式？做一做试用两种方法解方程092x例 1 解下列方程： （1） ；（2） 2 02516x解 （1）移项，得2直接开平方，得x即 2,1（2）移项，得562x方程两边都除以 16，得 12直接开平方，得45x即
6、 ,21例 2 解下列方程： （1） ；（2） 03xx32解 （1）方程左边分解因式，得x（3x2）0所以 x0 或 3x20得 3,1（2）移项，得02x方程左边分解因式，得x（x3）0所以 x0 或 x30，得 ,21练习1解下列方程： （1） ；（2） ；（3） ；69x0452x0251y（4） ；（5） ；（6） 0)(t )(x2小明在解方程 时，将方程两边同除以 x，得到原方程的解 x3，这种做法对吗？x2为什么？例 3 解下列方程： （1） ；04)(2x（2） 9分析 两个方程都可以转化为 a2的形式，用直接开平方法求解解（1）原方程可以变形为，4)1(2x直接开平方，得x
7、12所以 3,（2）原方程可以变形为_，有 _，得 _,21xx读一读小张和小林一起解方程x（3x2）6（3x2）0小张将方程左边分解因式，得（3x2） （x6）0，所以 3x20 或 x60得 ,321小林的解法是这样的： 移项，得 x（3x2）6（3x2） ，方程两边都除以（3x2） ，得x6小林说：“我的方法多简便！”可另一个根 哪里去了？小林的解法对吗？你能解32x开这个谜吗？练习解下列方程： （1） ；（2） ；016)(2x 018)(2x（3） ；（4） 53例 4 解下列方程： （1） ；（2） 52x02x思考能否经过适当变形，将它们转化为 a2的形式，用直接开平方法求解？解
8、（1）原方程两边都加上 1，得，62x_,_,_（2）原方程化为 ，4342x_，_，_归 纳上面，我们把方程 变形为 ，它的左边是一个含有未知数的完0342x1)2(x全平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解这种解一元二次方程的方法叫做配方法例 5 用配方法解下列方程： （1） ；（2） 0762x0132x解（1）移项，得2方程左边配方，得，32273x即 16)3(2x所以 x34得 ,721（2） 移项，得3x方程左边配方，得，222 )3(1)(即 453(2x所以 得 x253,2531xx练习1填空： （1） +6x+( )=(x+ ) ；2x2（2） -8x+( )=
9、(x- ) ；（3） +( )=(x+ ) ；x2（4）4 -6x+( )=4(x- ) =(2x- ) 2 22用配方法解下列方程： （1） 8x20；（2） 5x60x2x试一试用配方法解方程 pxq0（ 0） 2xqp42思考如何用配方法解下列方程？（1）4 12x10；（2） 3 2x30x2x讨论请你和同桌讨论一下： 当二次项系数不为 1 时，如何应用配方法？探索我们来解一般形式的一元二次方程a bxc 0（a 0） 2x因为 a0，方程两边都除以 a，得2b移项，得 cx2配方，得 ，acbab22)(即 224)(cax因为 a0，所以 4 0，当 4ac0 时，直接开平方，得2
10、bcbx2所以 ，a4即 acbxcbx24,221 由以上研究的结果，得到了一元二次方程 a bxc 0 的求根公式： x)04(22cbabx利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接求得方程的根这种解方程的方法叫做公式法例 6 解下列方程： （1）2 x60；（2） 4x2；x（3）5 4x120；（4）4 4x1018x解（1）这里 a2，b1，c 6，4ac 42（6）14849，2所以 ，47129ax即 23,1（2）将方程化为一般式，得4x20x因为 4ac 24，b所以 624x即 ,6221（3） 因为 4ac 256，b所以 582106452)(
11、x得 ,61（4） 整理，得4 12x902x因为 4ac 0，b所以 ，81x即 231练习用公式法解下列方程： （1） 6x10；（2）2 x6；x2（3）4 3x1x2；（4）3x（x3）2（x1） （x1） 思考根据你学习的体会小结一下： 解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下应用现在我们来解决231 的问题 1： x（x10）900，10x9000，2，375375,21xx它们都是所列方程的根，但负数根 x1 不符合题意，应舍去取x 254，375x10354，符合题意，因此绿地的宽约为 254 米，长约为 354 米例 7 学校生物小组有一块长 32m，宽
12、 20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为 540 ，小道的宽应是多少？2m分析 问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图 23.2.1，不难发现小道的占地面积与位置无关设道路宽为 xm，则两条小道的面积分别为 32x 和 20x ，其中重叠22部分小正方形的面积为 ，根据题意，得2xm322032x20x 540图 231 图 232 试一试如果设想把道路平移到两边，如图 2322 所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注
13、意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答练习1学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为 18 厘米和 12 厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸经试验，彩纸面积为相片面积的 时较美观，求镶上彩纸条的32宽 （精确到 01 厘米）2竖直上抛物体的高度 h 和时间 t 符合关系式 爆竹点燃后以初速度201gtvh20 米/秒上升，经过多少时间爆竹离地 15 米？（重力加速度 g10 米/ 秒 ）0v 2例 8 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 315 元已知两次降价的百分率相同，求每
14、次降价的百分率分析 若一次降价百分率为 x，则一次降价后零售价为原来的（1x）倍，即56（1x）元；第二次降价百分率仍为 x，则第二次降价后的零售价为 56（1x）的（1x）倍解 设平均降价百分率为 x，根据题意，得56（1x） 3152解这个方程，得7.,.021因为降价的百分率不可能大于 1，所以 不符合题意，符合本题要求的是5.2xx02525%答： 每次降价百分率为 25%练习1某工厂 1 月份的产值是 50000 元，3 月份的产值达到 60000 元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到 01%）2据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有
15、 48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有 183 人次获奖求这两年中获奖人次的平均年增长率习题 2321解下列方程： （1）2 60； （2）274 ；x 2x（3）3 4x； （4）x（x1）3（x1）0；（5） 2； （6）3 2（5x） )(x )(2解下列方程： （1） 10； （2） 2；2)(1)(（3） 2x80； （4）3 4x1；xx（5）x（3x2）6 0； （6） 2x2)(3求满足下列要求的 x 的所有值： （1）3 6 的值等于 21；2（2）3 6 的值与 x2 的值相等x4用适当的方法解下列方程： （1）3 4x2x； （2） 1；2 32)(x（3） （3
16、1）x0； （4）x（x6）2（x8） ；（5） （x1） （x1） ；（6）x（x8）16；（7） （x2） （x5）1； （8） 2（2x1） )(x5已知 A2 7x1，B6x2，当 x 为何值时 A B？6已知两个连续奇数的积是 255，求这两个奇数7学校课外生物小组的试验园地是长 35 米、宽 20 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图） ，要使种植面积为 600 平方米，求小道的宽 （精确到01 米）（ 第 7题 ） 8某商店 2 月份营业额为 50 万元，春节过后 3 月份下降了 30%，4 月份比 3 月份有所增长，5 月份的增长率又比 4 月份的增
17、长率增加了 5 个百分点（即 5 月份的增长率要比 4 月份的增长率多 5%） ，营业额达到 483 万元问 4、5 两月营业额增长的百分率各是多少？9学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为 50 平方米的长方形自行车棚一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为 25 米的铁围栏请你设计，如何搭建较合适？阅读材料一元二次方程根的判别式我们在一元二次方程的配方过程中得到 （1）224)(acbx发现当且仅当 4ac 0 时，右式 有平方根.直接开平方，得24acbacbx24也就是说，一元二次方程 a bxc0（a 0）当且仅当系数 a、b、c 满足条件2x4ac0 时有实数根2b观察（1）式我们
18、不难发现一元二次方程的根有三种情况： 当 4ac0 时，方程有两个不相等的实数根；2 当 4ac0 时，方程有两个相等的实数根2b；ax21 当 4ac0 时，方程没有实数根这里的 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一个一元二次方程实2b数根的情况（是否有？如有，两实数根是相等还是不相等？） ，如对方程 x10，可2由 4ac1 40 直接判断它没有实数根；在用公式法解一元二次方程时，往往也是先2求出判别式的值，直接代入求根公式如第 27 页例 6；还可以应用判别式来确定方程中的待定系数，例如： m 取什么值时，关于 x 的方程 02)(2x有两个相等的实数根？求出这时方程
19、的根23.3 实践与探索试研究下列问题，并与你的同伴交流、讨论问题 1小明把一张边长为 10cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如图 2331图 231 （1） 如果要求长方体的底面面积为 81cm ，那么剪去的正方形边长为多少？2（2） 如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？折合成的长方体底面积（ ）2cm81 64 49 36 25 16 9 4剪去的正方形边长（cm）折合成的长方体侧面积（ ）2c探索在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不
20、会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点看看与你的感觉是否一致问题 2阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析 翻一番，即为原净收入的 2 倍若设原值为 1，那么两年后的值就是 2探索若调整计划，两年后的财政净收入值为原净收入值的 15 倍、12 倍、那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的 2 倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后市财政净收入翻一番？练习1某花生种植基地原有花生品种的每公顷产量为 3
21、000 千克，出油率为 55%改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油 2025 千克已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是公顷产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到 1%） 2某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 个；定价每增加 1 元，销售量将减少 10 个商店若准备获利 2000 元，则应进货多少个？定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？3某市人
22、均居住面积 146 平方米，计划在两年后达到 18 平方米在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等请你把问题补充完整，再予解答问题 3解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？（1） 2x0；2x（2） 3x40；（3） 5x602x方程 1x2x21x21x探索一般地，对于关于 x 的一元二次方程 pxq0（p、q 为已知常数， 4q0） ，试2x2p用求根公式求出它的两个根 、 ，算一算 、 的值，你能发现什么结论？1x221x21与上面观察的结果是否一致？习题 2331一块长 30 米、宽 20 米的长方形操场，现要
23、将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到 01 米）2水果店花 1500 元进了一批水果，按 50%的利润定价，无人购买决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完经结算，这批水果共盈利 500 元若两次打折相同，每次打了几折？（精确到 01 折）3为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000 棵已知这些学生在初一时种了 400 棵，若平均成活率 95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率 （精确到 1%）4某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本 3000 元，售价每套 30 元服装厂向24 名家庭贫困学生免费提
24、供经核算，这 24 套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润问这批演出服共生产了多少套？5如图，某建筑物地基是一个边长为 30 米的正六边形要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等请你给出设计方案 （画图并标注尺寸）(第 5题 ) 6解下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法： （1） 已知关于 x 的方程 pxq0 的两个根是 0 和3，求 p 和 q 的值；2（2） 已知关于 x 的方程 6x 2p50 的一个根是 2，求方程的另一个根和 p2p的值小结一、 知识结构二、 概括1 要联系已有的方程知识，在学习中进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”
25、，在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性2 掌握一元二次方程的各种解法： 直接开平方法、因式分解法、配方法与公式法着重体会相互之间的关系及其“转化”的思想，并能应用这一思想方法进行自主探索和合作交流3 在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析；得到方程的解之后，必须检验是否符合题意复习题A 组1解下列方程： （1）3 2x； （2）6 400；2x 2x（3）x（3x1）3x； （4）y（y2）4y；（5）4x（1x）1； （6）t（t 2） 3 02t2已知 A2 7x1，B4x1，分别求出满足下列条件的 x 的值： （1）A 与 B 的值互为相反数； （2）A 的值
26、比 B 的值大 33已知关于 x 的方程（2xm ） （mx 1）（3x1） （ mx1）有一个根是 0，求另一个根和 m 的值4已知三个连续奇数的平方和是 371，求这三个奇数5要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽 4 米的绿化带，使余下部分的面积为 100 平方米求原正方形广场的边长 （精确到 01 米）6村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为 16 平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多 2 米，下底比渠深多 04 米求灌溉渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度7求出本章习题 231 中第 3 题小题（2）所列方程解的近似值（精确到 01 米） ，并在学校举行大型活动时实地观察、比较一下效果8
27、如图，某海关缉私艇在点 O 处发现在正北方向 30 海里的 A 处有一艘可疑船只，测得它正以 60 海里/时的速度向正东方航行，随即调整方向，以 75 海里/ 时的速度准备在 B 处迎头拦截问经过多少时间能赶上？（ 第 8题 ） B 组9解下列方程： （1）4（x2） （3x1） 0； （2） （2x1） 3（2x1）20；22（3） 5 ； （4）3 0x2x10解下列关于 x 的方程（a、b 是常数，且 ab0）： （1） ax2 0； （2）ab （ ）xab02a2b11已知 x1 是一元二次方程（a2） （ 3）xa10 的一个根，求 a 的值12已知关于 x 的方程 2 4x3q0
28、 的一个根是 1 ，求它的另一个根和 q 的值213已知代数式 5x7，先用配方法说明，不论 x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当 x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？14学校原有一块面积为 1500 平方米的长方形场地，现结合整治环境，将场地的一边增加了 5 米，另一边减少了 5 米，结果使场地的面积增加了 10%，求现在场地的长和宽C 组15试求出下列方程的解： （1） （ x） 5（ x）60；（2） 2 12x16证明： 不论 m 取何值，关于 x 的方程（x1） （x2） 总有两个不相等的实数2m根17已知 xy0，且 3 2xy8 0，求 的值2x2y18已知关于 x 的方程（m 1） （m2）x2m 0.它总是二次方程吗？试求出它的解19某产品每件生产成本为 50 元，原定销售价 65 元经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降 10%，第二个季度又将回升 4%若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答
