1、- 1 -2017 天津市高考压轴卷文科数学一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.若复数 ia213（aR,i 是虚数单位）是纯虚数，则 a 的值为 ( )A.6 B.-6 C. 23 D. 232.命题“若 4，则 tan1”的逆否命题是（ ）A若 ，则 B 若 4，则 tan1C若 ta，则 D 若 t，则 43.设不等式组 02xy表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ ）A 4 B 2 C 6 D 44.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A 2865 B 305 C 125 D 60125 5.将 )63co
2、s(2xy图像按向量 )2,4(a平移，则平移后所得函数的周期及图象的一个对称中心分别为（ ）A. ， 2,4 B. ， 2,43 - 2 -C. 6 ， 2,43 D. 3 ， 2,46.如右图的流程图，若输出的结果 132s，则判断框中应填A ?0i B C D i7.直线 12xy的参数方程是（ ）A t（t 为参数） B 142tyx（t 为参数） C 12y（t 为参数） D sin（ 为参数）8.已知双曲线 2(0)xa,过点 C（0，1）且斜率为 1 的直线交双曲线的两渐近线于 A、B 两点,若 2AB，则双曲线的离心率为A 52 B C 103 D 10- 3 -二、填空题：本
3、大题共 6 小题, 每小题 5 分,共 30 分.9.如果不等式组021xyk表示的平面区域是一个直角三角形，则 k=_.10.由正整数组成的一组数据 234,x，其平均数和中位数都是 2，且标准差等于 1，则这组数据为_。 （从小到大排列）11.函数 xy的定义域为_12.已知 ()2)(3)fmx， (2xg.若 ,()0Rfx或 ()g，则 m的取值范围是 .13. 在直角坐标系 Oy中，直线 l过抛物线 4y=的焦点 F，且与该抛物线相交于 ,AB两点，其中点A在 x轴上方若直线 的倾斜角为 60，则 |OA 14.已知 na为等差数列， nS为其前 项和.若 12a， 3Sa，则 2
4、 ； nS= .三、解答题：本大题共 6 小题, 共 80 分.15. （本小题满分 13 分）已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角 A，B，C 的对边，c asin 3Cccos A.(1)求 A； (2)若 a2，ABC 的面积为 ，求 b，c .316. （本小题满分 13 分）已知 na是各项均为正数的等比数列, nb是等差数列,且123,aba=+, 527b-=.（I）求 n和 的通项公式；（II）设*,cN,求数列 nc的前 n 项和.- 4 -17. （本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，ADBC，ACB
5、D.（）证明：BDPC；（）若 AD=4，BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30，求四棱锥 P-ABCD 的体积.18. （本小题满分 13 分）某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有 50 个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：时间 8 点 10 点 12 点 14 点 16 点 18 点停车场甲 10 3 12 6 12 17停车场乙 13 4 3 2 6 19如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的 10%，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报.（）假设某车主在以
6、上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；（）从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；（）当停车场乙发出饱和警报时，求停车场 甲也发出饱和警报的概率.- 5 -19.(本小题满分 l4 分)已知函数 )1(ln)(xaxf， R(1)当 1a时讨论函数 的单调性；(2)当 x时， )(xf 1l恒成立，求 a的取值范围20. (本小题满分 l4 分)在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为 12的椭圆 E 的一个焦点为圆C：x 2+y2-4x+2=0 的圆心.（）求椭圆 E 的方程；（）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜
7、率之积为 12的直线 l1， l2.当直线 l1， l2都与圆 C 相切时，求P 的坐标.- 6 -试卷答案1.B 2.C【 解析】 因为“若 p，则 q”的逆否命题为“若 p，则 q”，所以 “若 = 4，则tan=1”的逆否命题是 “若 tan1，则 4”.3.D【 解析】题目中02xy表示的区域表示正方形区域，而动点 D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此214p，故选 D4.B【 解析】 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得： 10,10,65SS后 右 左底 ，因此该几何体表面积306
8、5S，故选 B。5.C6.B 7.C 8.D 9. 【 答案】0 或 21 10. 【 答案】这组数据为_ 1,3【 解析】不妨设 134xx得： 231234144,8xxx22()()()()20,is如果有一个数为 0或 ；则其余数为 ，不合题意只能取 i；得：这组数据为 ,11. 【 答案】定义域为_ 1,)(,)【 解析】 xy中的 满足： 100xx或 12. 【 答案】 (4,0)【 解析】首先看 2xg没有参数，从 ()2xg入手，显然 1x时， ()0gx， 1时，()gx，而对 ,()Rf或 ()0成立即可，故只要 时， f（*）恒成立即可。当 0m时， ()0fx，不符合
9、（*） ，所以舍去；当 m时，由 ()2)(3)fxmx得32，并不对 1成立，舍去；当 时，由 0，注意,1x，故 m，所以 30x，即 (3)x，又 1，故 (),4x，- 7 -所以 4m，又 0，故 (4,0)m，综上， m的取值范围是 (4,0)。13. 【 答案】 21【 解析】此题考查了抛物线的定义和倾斜角的概念，注意数形结合思想的应用。14. 【 答案】1， ()4n【 解析】 23Sa，所以 11212addad， 1()4nS。15. 【 答案】 （） (1)由 c asin Cccos A 及正弦定理，得3sin Asin C cos Asin Csin C 0，3由于
10、sin C0，所以 sin ，(A 6) 12又 0A，所以 A ，故 A .6 656 3(2)ABC 的面积 S bcsin A ，故 bc4.12 3而 a2b 2c 22bc cos A，故 b2c 28，解得 bc 2.由于 sin C0，所以 sin ，(A 6) 12又 0A，所以 A ，故 A .6 656 3(2)ABC 的面积 S bcsin A ，故 bc4.12 3而 a2b 2c 22bc cos A，故 b2c 28，解得 bc 2.16【 答案】 （I） （I ）设 na的公比为 q,n的公差为 d,由题意 0q ,由已知,有243,10qd消去 d 得4280,
11、q解得 2,d ,所以 na的通项公式为1,naN, nb的通项公式为1nbN.（II）由（I）有 1nnc,设 nc的前 n 项和为 nS ,则01212352,nS 3n两式相减得 21123,n nn- 8 -所以 23nnS.17. 【 答案】 （）因为 ,.PABCDABCPBD平 面 平 面 所 以又 ,ACBD是平面 PAC 内的两条相较直线，所以 BD 平面 PAC，而 P平面 PAC，所以 .（）设 AC 和 BD 相交于点 O，连接 PO，由（）知，BD 平面 PAC，所以 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角，从而 DPO30.由 BD平面 PAC， 平面 PAC，知
12、B.在 RtPDA中，由 30，得 PD=2OD.因为四边形 ABCD 为等腰梯形， AC，所以 ,ABC均为等腰直角三角形，从而梯形 ABCD 的高为 11(42)32B于是梯形 ABCD 面积1(4)39.2S在等腰三角形中， ,2,ODA所以 24, 4.PDP故四棱锥 ABC的体积为 19123VSP.18. 【 答案】 （）事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有 10 点这一种情况，该车主抵达单位共有六种情况，所以该车主收到停车场甲饱和警报的概率为 1.6P（）事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有 8 点、10 点、18 点三种情况，一共有六个时刻，- 9 -所以甲停车场比乙停车
13、场剩余车位数少的概率为 31=.62P （）事件“停车场乙发出饱和警报”有 10 点、12 点、14 点三种情况，事件“停车场甲也发出饱和警报”只有 10 点一种情况，所以当停车场乙发出饱和警报时，停车场甲也发出饱和警报的概率为 1.3P19. 【 答案】() )(xf的定义域为 ),0(xaf1( ，若 ,0a则 ,在 ,上单调递增，若 0,则由 0)(xf得 a1，当 )1,0(ax时，)(xf当 )1(a时， )(xf， )(f在 a上单调递增，在 ),单调递减.所以当时， )f在 ,上单调递增，当 0a时， (fx在 )1,0a上单调递增，在 ),1(a单调递减. () 1)(ln1l
14、2xaxf,令 (ln)(2g,xx1,令 )ln12Fgxx,12()axF,(2) 110,),(0,(),2Fxgxa若 当 在 递 增 ,g(x)-2a从 而以下论证 同 一 样 ， 所 以 不 符 合 题 意 .13,01,aF若 在 恒 成 立,02a-()gx() 递 减 ，在, 1ln)(,gx xf递 减在从 而,综上所述， a的取值范围是 ,21- 10 -20. 【 答案】 （）由 240xy，得 2()xy.故圆的圆心为点(2,0)从而可设椭圆的方程为21,ab其焦距为 c，由题设知221,4,.ceacbc故椭圆的方程为：2.6xy（）设点 p的坐标为 0(,)xy， 12,l的斜分率分别为 12,.k则 1,l的方程分别为10120:(:(),lyklkx且 由 与圆 2:()cxy相切，得021x，即 2 20100()().kxyk同理可得 22x .从而 12,k是方程 000()()kxyk的两个实根，于是20,8()x且2012.()ykx由020,61()yx得 2058360.x解得 02,x或 01.5由 0得 03;由 05x得 057,y它们满足式，故点的坐标为(2,3)，或 (,)，或 18(,)，或 18(,).
