1、向 量 复 习 教 师 版1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模 （可以平移）(2)零向量：长度等于 0 的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则(1) 交换律：abba.(2)结合律：(ab)ca(bc )减法求 a 与 b 的相反向量b 的和的运算叫做 a 与 b
2、 的差 三角形法则aba(b)3.向量的数乘运算及其几何意义4共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 ba.1.向量共线的充要条件中要注意“a0” ，否则 可能不存在，也可能有无数个2.证明三点共线问题，同直线，公共点（举例说明）练习：判断下列四个命题：若 ab，则 ab；若|a| |b| ，则 ab；若|a| |b|，则 ab；若ab，则|a|b| .正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4解析 只有正确答案 A5设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 ab 与 2ab 共线，则 _.解析 由题意知：ab k(2ab)，则有：Error!k ， .1
3、2 12答案 12考向一 平面向量的概念【例 1】下列命题中正确的是( )Aa 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行解析 由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以 B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以 D 不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设 a 与 b 不
4、都是非零向量，即 a 与 b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知 a 与 b 共线，符合已知条件，所以有向量 a与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量，故选 C.答案 C【训练 1】 给出下列命题：若 A，B ，C，D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD 为平行四边形AB DC 的充要条件；若 ab，bc ，则 a c；ab 的充要条件是|a|b| 且 ab；若 a 与 b 均为非零向量，则|ab| 与|a| |b| 一定相等其中正确命题的序号是_解析 正确，错误答案 考向二 平面向量的线性运算【例 2】如图，D，E， F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA
5、的中点，则( )A. 0AD BE CF B. 0BD CF DF C. 0AD CE CF D. 0BD BE FC 审题视点 利用平面向量的线性运算并结合图形可求解析 0， 2 2 2 0，AB BC CA AD BE CF 即 0.AD BE CF 答案 A考向三 共线向量定理及其应用【例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线(1)若 ab， 2a8b， 3( ab)AB BC CD 求证：A，B ，D 三点共线；(2)试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线审题视点 (1)先证明 ， 共线，再说明它们有一个公共点； (2)利用共线向AB BD 量定理列出方程组求 k.(1)证明
6、ab， 2a8b， 3( a b)AB BC CD 2a8b3(ab)5(ab) 5 .BD BC CD AB ， 共线，又它们有公共点，A ，B，D 三点共线AB BD (2)解 kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kab (akb) ，即(k )a(k 1)b.又 a，b 是两不共线的非零向量，kk 10.k 2 10.k1.【训练 3】 (2011兰州模拟 )已知 a，b 是不共线的向量，a b， a b(，R)，那么 A，B，C 三点共线的充要条件是( AB AC )A 2 B1C 1 D1解析 由 ab， a b(， R)及 A，B ，C 三点共线得： t AB AC AB ，
7、所以 abt(ab)tatb，即可得Error!所以 1.故选 D.AC 答案 D 【示例 1】 (2012泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的 a(m，n) ，b(p ，q) ，令 abmqnp，下面说法错误的是 ( B )A若 a 与 b 共线，则 ab0Ba bbaC对任意的 R ，有( a)b(ab)D(a b)2 (ab)2| a|2|b|2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，则ab(x 1x 2，y 1y 2)， ab(x 1x 2，y 1y 2)， a(x 1，y 1)，|a| .x21 y
8、21(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 (x 2x 1，y 2y 1)，| |AB AB .x2 x12 y2 y123平面向量共线的坐标表示设 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，其中 b0，当且仅当 x1y2x 2y10 时，向量 a，b共线但 ab 的充要条件不能表示成 ，因为 x2，y 2 有可能等于 0。x1x2 y1y21(人教 A 版教材习题改编)已知 a1a 2a n 0，且 an(3,4)，则a1a 2a n1 的坐标为( ) A(4,3) B(4，3)C(3，4) D(3,4)解析 a
9、 1a 2a n1 a n(3，4)2若向量 a(1,1) ，b( 1,1) ，c(4,2)，则 c( )A3ab B3ab Ca3b Da3b解析 设 c xayb，则Error!Error!c 3ab.3(2012郑州月考 )设向量 a( m,1)，b(1，m)，如果 a 与 b 共线且方向相反，则 m 的值为( ) A1 B1 C2 D2解析 设 ab(0)，即 m 且 1m.解得 m1，由于 0，m 1.5已知向量 a(2，1)，b(1，m) ，c(1,2)，若(ab)c ，则m_.解析 ab(1，m1) (ab) c，2(1)(m1)0， m1. 考向一 平面向量基本定理的应用【训练
10、 1】 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若x y ，则 x_，y_.AD AB AC 解析 以 AB 所在直线为 x 轴，以 A 为原点建立平面直角坐标系如图，令 AB2，则 (2,0)， (0,2)，过 D 作 DFAB 交 AB 的延长线于 F，由AB AC 已知得 DFBF ，则 (2 ， )3 AD 3 3 x y ，(2 ， )(2x, 2y)AD AB AC 3 3即有Error!解得 Error!考向二 平面向量的坐标运算【例 2】(2011 合肥模拟)已知 A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)，且 3CM ， 2 .求 M，N 的坐标和 .CA CN CB MN 审
11、题视点 求 ， 的坐标，根据已知条件列方程组求 M，N.CA CB 解 A(2,4)，B(3， 1)，C(3，4)， (1,8)， (6,3) CA CB 3 3(1,8) (3,24)， 2 2(6,3) (12,6)CM CA CN CB 设 M(x，y)，则 (x 3，y 4)CM Error!得Error!M(0,20)同理可得 N(9,2)， (90,220)(9 ，18) MN 考向三 平面向量共线的坐标运算【例 3】已知 a(1,2) ，b(3,2) ，是否存在实数 k，使得 kab 与 a3b 共线，且方向相反？解 若存在实数 k，则 kabk(1,2)(3,2)( k3，2k
12、2)，a3b(1,2)3( 3,2) (10，4)若这两个向量共线，则必有(k 3)(4)(2k2) 100.解得 k .这时 kab ，13 ( 103，43)所以 kab (a3b)13即两个向量恰好方向相反，故题设的实数 k 存在【训练 3】 (2011西安质检)已知向量 a(1,2)，b(2，3)，若向量 c 满足(c a)b，c(ab)，则 c( )A. B.(79，73) ( 73， 79)C. D.(73，79) ( 79， 73)解析 设 c (m，n)，则 ac(1m,2n)，a b(3，1)(ca) b， 3(1m )2(2n)，又 c(ab )，3m n0，解得 m ，n
13、 .79 73【试一试】 (2011天津)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC ，ADC90 ，AD2 ，BC 1，P 是腰 DC 上的动点，则| 3 |的最小值为_PA PB 尝试解析 以 D 为原点，分别以 DA、DC 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0) ，C (0，a) ，B(1，a)，P(0，x)， (2，x )，PA (1，ax )， 3 (5,3a4x)，| 3 |225(3a4x )225，|PB PA PB PA PB 3 |的最小值为 5.PA PB 1两个向量的夹角0, 0182两个向量的数量积的定义已知两个非
14、零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积 )，记作 ab，即 ab| a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，3向量数量积的几何意义4向量数量积的性质设 a、b 都是非零向量，e 是单位向量， 为 a 与 b(或 e)的夹角则(2)abab0； (3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab |a|b|，特别的， aa| a|2 或者| a| ；(4)cos ； (5)aaab|a|b|ab|a|b|.5向量数量积的运算律(1)abb a； (2)ab (ab)a( b)； (3)(ab)cacb
15、c .6平面向量数量积的坐标运算设向量 a(x 1，y 1)，b(x 2，y 2)，向量 a 与 b 的夹角为 ，则(1)abx 1x2y 1y2； (2)|a| ；x21 y21(3)cosa，b ； (4)abab0x 1x2y 1y20.x1x2 y1y2x21 y21 x2 y27若 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)， a，则|a| (距离公式)AB x1 x22 y1 y22(1)若 ab0，能否说明 a 和 b 的夹角为锐角？(2)若 ab0，能否说明 a 和 b 的夹角为钝角？三个防范(1)若向量 a， b，c 若满足 abac(a0)，则不一定有 bc ，即等式两边不能
16、同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量(2)数量积运算不适合结合律，即( ab)ca(bc)，这是由于( ab)c 表示一个与 c共线的向量， a(bc)表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，因此( ab)c与 a(bc)不一定相等1(人教 A 版教材习题改编)已知|a| 3，|b| 2，若 ab3，则 a 与 b 的夹角为( ) A. B. C. D.3 4 23 34解析 设 a 与 b 的夹角为 ，则 cos .又 0 ， .ab|a|b| 332 12 23答案 C2若 a，b，c 为任意向量， mR，则下列等式不一定成立的是 ( )A(a b) ca(bc) B(
17、ab)c ac b cCm(ab)mamb D(ab) ca( bc)答案 D3(2011广东 )若向量 a，b，c 满足 ab，且 ac ，则 c(a2b)( )A4 B3 C2 D0解析 由 ab 及 ac，得 bc，则 c(a2b)c a2cb0.答案 D4已知向量 a(1,2) ，向量 b(x ，2)，且 a(ab)，则实数 x 等于( )A9 B4 C0 D4解析 ab(1x, 4)由 a(ab)，得 1x 8 0.x 9.答案 A5(2011江西 )已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则 a 与 b 的夹角为_解析 由|a|b|2，( a2b)( ab)2，得 ab 2，cos
18、a，b ，又a，b0，所以a，bab|a|b| 222 12 .3考向一 求两平面向量的数量积（略）考向二 利用平面向量数量积求夹角与模【例 2】已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2 ab)61.(1)求 a 与 b 的夹角 ；(2)求| ab|和 |ab|.审题视点 由平面向量数量积的运算法则得 ab 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角解 (1)(2a3b)(2ab)61，解得 ab6.cos ，又 0 ， .ab|a|b| 643 12 23(2)|ab| 2a 22abb 213，|ab| .13|ab| 2a 22abb 237.|ab| .37考向三 平面向量的数量积与垂直问
19、题【例 3】已知平面向量 a(1，x) ，b(2x3，x)(xR)(1)若 ab，求 x 的值；(2)若 ab，求 |ab|.审题视点 利用 abx 1x2y 1y20 及 abx 1y2x 2y10，求解解 (1)若 a b，则 ab (1， x)(2x3，x )1(2x3)x( x) 0.整理，得 x2 2x30，解得 x1 或 x3.(2)若 ab，则有 1(x)x(2x 3)0，即 x(2x4) 0，解得 x0 或 x2.当 x0 时， a(1,0) ，b(3,0)，ab(2,0)，|ab| 2. 22 02当 x2 时， a(1， 2)，b(1,2)，ab(2，4)，|ab|2 .5
20、综上，可知|ab|2 或 2 .5【训练 3】 已知平面内 A，B，C 三点在同一条直线上， (2，m )，OA (n,1)， (5，1)，且 ，求实数 m，n 的值OB OC OA OB 解 由于 A，B，C 三点在同一条直线上，则 ， (7，1m) ，AC AB AC OC OA (n2,1 m)，AB OB OA 7(1 m) (1m)(n2)0，即 mnn5m90，又 ，OA OB 2nm0.联立，解得Error! 或Error! 【示例】 (本题满分 12 分)(2010 安徽)ABC 的面积是 30，内角 A，B，C 所对边长分别为 a，b，c ， cos A .1213(1)求
21、； (2)若 cb1，求 a 的值AB AC 解答示范 由 cos A ，得 sin A .(2 分)1213 1 (1213)2 513又 bcsin A30，12bc156.(4 分)(1) bccos A156 144(8 分)AB AC 1213(2)a2b 2c 22bccos A(cb) 22bc(1cos A)12156 25，又 a0(10 分)(1 1213) a5.(12 分) 向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量
22、定理：abab(b0)x 1y2x 2y10.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质abab0x 1x2y 1y20.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos ( 为 a 与 b 的夹角) ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21 x2 y21(人教 A 版教材习题改编)某人先位移向量 a：“ 向东走 3 km”，接着再位移向量 b：“向北走 3 km”，则 ab 表示( ) A向东南走 3 km B向东北走 3 km2 2C向东南走 3 km D向东北走 3 km3 3解析 要求 ab，可利用向量和的三角形法则来求解，如图所示，适当选取比例尺作a “向东走 3 km”， b“向北走 3
23、 km”，则 ab.OA AB OB OA AB | | 3 (km)，OB 32 32 2又 与 的夹角是 45，所以 ab 表示向东北走 3 km.OA OB 22平面上有四个互异点 A、B、C、D，已知( 2 )( )0，则DB DC DA AB AC ABC 的形状是( ) A直角三角形 B等腰直角三角形C等腰三角形 D无法确定解析 由( 2 )( )0，得( )( ( )DB DC DA AB AC DB DA DC DA AB AC 0，所以( )( )0.AB AC AB AC 所以| |2| |20，| | |，AB AC AB AC 故ABC 是等腰三角形3(2012银川模拟
24、 )已知向量 a(cos ，sin )，b( ，1)，则|2ab| 的最大3值，最小值分别是( ) A4,0 B16,0C2,0 D16,4解析 设 a 与 b 夹角为 ，|2a b|24a 24a bb 284| a|b|cos 88cos ，0，cos 1,1，88cos 0,16 ，即|2ab| 20,16，|2a b|0,44在ABC 中，已知向量 与 满足 0 且 ，则AB AC (AB |AB |AC |AC |)BC AB |AB |AC |AC | 12ABC 为( ) A等边三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形解析 由 0 知ABC 为等腰三角形，
25、ABAC .由 知，(AB |AB |AC |AC |)BC AB |AB |AC |AC | 12 ， 60，所以ABC 为等边三角形，故选 A.AB AC 5(2012武汉联考 )平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足 4，则点 P 的轨迹方程是OP OA _解析 由 4，得(x，y)(1,2)4，OP OA 即 x2y4.答案 x2y40考向一 平面向量在平面几何中的应用【例 1】(2010 辽宁)平面上 O，A ，B 三点不共线，设 a， b，则OA OB OAB 的面积等于 ( ) A. B.|a|2|b|2 ab2 |a|2|b|2 ab2C. D
26、.12|a|2|b|2 ab2 12|a|2|b|2 ab2解析 cos BOA ，ab|a|b|则 sinBOA ，1 ab2|a|2|b|2SOAB |a|b| 12 1 ab2|a|2|b|2 .12|a|2|b|2 ab2考向二 平面向量与三角函数的交汇【例 2】已知 A，B，C 的坐标分别为 A(3,0)，B(0,3) ，C(cos ，sin )，.(2，32)(1)若| | |，求角 的值；AC BC (2)若 1，求 的值AC BC 2sin2 sin 21 tan 解 (1) (cos 3，sin )， (cos ，sin 3)，AC BC 2(cos a3) 2sin 210
27、6cos ，AC 2cos 2(sin 3) 2 106sin ，BC 由| | |，可得 2 2，即 106cos 106sin ，得 sin cos .AC BC AC BC 又 ， .(2，32) 54(2)由 1，AC BC 得(cos 3)cos sin (sin 3) 1，sin cos .23又 2sin cos .2sin2 sin 21 tan 2sin2 2sin cos 1 sin cos 由式两边分别平方，得 12sin cos ，492sin cos . .59 2sin2 sin 21 tan 59【训练 2】 已知向量 a(sin ，cos 2sin )，b(1,
28、2)(1)若 ab，求 tan 的值；(2)若| a|b|,0 ，求 的值解 (1)因为 ab，所以 2sin cos 2sin ，于是 4sin cos ，故 tan .14(2)由| a|b| 知，sin 2(cos 2sin ) 25，所以 12sin 2 4sin 25.从而2sin 22(1 cos 2)4，即 sin 2cos 2 1，于是 sin .(2 4) 22又由 0 知， 2 ，4 4 94所以 2 或 2 .因此 或 .4 54 4 74 2 34考向三 平面向量与平面解析几何交汇【例 3】(2012 兰州模拟)已知平面上一定点 C(2,0)和直线 l：x 8，P 为该平面上一动点，作 PQl，垂足为 Q，且( )( )0.PC 12PQ PC 12PQ (1)求动点 P 的轨迹方程；
