1、13.1.1 轴对称 教学目标1了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系 2探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用 3了解线段垂直平分线的概念 教学重点 轴对称的概念和性质教学难点 轴对称的概念和性质教学过程一、问题导入：引言 对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！二、探索新知： 问题 1 如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到
2、的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？ 引入轴对称图形、对称轴、某图形关于某条直线（成轴）对称教师：你能举出一些轴对称图形的例子吗？ 问题 2 观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？引入两个图形关于某条直线（成轴）对称、对称轴、对应点（对称点） 教师：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？ 教师：你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能
3、完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。问题 3 如图，ABC 和ABC关于直线 MN 对称，点 A,B,C分别是点 A，B，C 的对称点，线段AA，BB，CC与直线 MN 有什么关系？教师：你能说明其中的道理吗？上面的问题说明“如果ABC 和ABC关于直线MN 对称，那么，直线 MN 垂直线段 AA，BB和 CC，并且直线 MN 还平分线段 AA，BB和 CC”如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”其他条件不变，上述结论还成立吗？ 引入线段的垂直平分线 教师：你能用数学语言概括前面的结论吗？ 成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关
4、于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段问题 4 下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？ 结论：直线 l 垂直线段 AA，BB，直线 l 平分线段AA，BB（或直线 l 是线段 AA，BB的垂直平分线） 教师：你能用数学语言概括前面的结论吗？ 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 三、课堂练习：教科书 P60 练习 1、2四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是什么？ （3）成轴对称的两个图形有什么性质
5、？轴对称图形有什么性质？我们是怎么探究这些性质的？ 五、课后作业：课本习题 13.1 第 1、2、3、4、5 题（在书本上直接完成）第 6 题作为课堂作业。六、教学反思：13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第 1 课时）教学目标1.探索并总结出线段垂直平分线的性质，能运用其性质解答简单的几何问题。2.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理3.在自己的动手操作中体验线段垂直平分线的性质，在操作中注意观察、想像和提炼，要学会科学地表达观点.教学重点线段垂直平分线的性质教学难点线段垂直平分线的性质教学过程一、创设情境，引入新课上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有
6、轴对称图形，而使得世界非常美丽那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？今天继续来研究轴对称的性质二、导入新课下面我们来探究线段垂直平分线的性质活动 1: 探究如下图木条 L 与 AB 钉在一起，L 垂直平分AB，P 1，P 2，P 3，是 L 上的点，分别量一量点 P1，P 2，P 3，到 A与 B 的距离，你有什么发现？1.用平面图将上述问题进行转化，先作出线段 AB，过 AB 中点作 AB 的垂直平分线 L，在 L 上取 P1、P 2、P 3，连结AP1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 22.作好图后，用直尺量出 AP1、AP 2、BP 1、BP 2、CP 1、CP 2讨
7、论发现什么样的规律探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等即 AP1=BP1，AP 2=BP2，证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ” 已知：如图，直线 l AB，垂足为 C， AC =CB，点 P 在 l 上求证： PA =PB 证法一：利用判定两个三角形全等证法二：利用轴对称性质由于点 C 是线段 AB 的中点，将线段 AB 沿直线 L 对折，线段PA 与 PB 是重合的，因此它们也是相等的用符号语言表示为： CA =CB， l AB， PA =PB线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等活动 2：课堂练习练习 如图，在 AB
8、C 中， BC =8， AB 的中垂线交 BC 于 D， AC 的中垂线交 BC 与 E，则 ADE 的周长等于_ 活动 3：探究 2反过来，如果 PA =PB，那么点 P 是否在线段 AB 的 垂直平分线上呢？（点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 ） 已知：如图， PA =PB 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上用数学符号表示为： PA =PB， 点 P 在 AB 的垂直平分线上结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上你能再找一些到线段 AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段 AB 两端点距离相等的点？ 这些点能组成什么几何图形？在线段 AB 的垂直
9、平分线 l 上的点与 A， B 的距离都相等；反过来，与 A， B 的距离相等的点都在直线 l 上，所以直线 l 可以看成与两点 A、 B 的距离相等的所有点的集合活动 4：课堂练习练习 如图，AB =AC，MB =MC直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？尺规作图如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？ （1）为什么任意取一点 K ， 使点 K 与点 C 在直线两旁？（2）为什么要以大于 1/2AB 的长为半径作弧？ （3）为什么直线 CF 就是所求作的垂线？三、课堂练习如图，过点 P 画 AOB 两边的垂线，并和同桌交流你的作图过程四、课堂小结（1）本节课学习了哪些内容？
10、（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有什么关系？（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？ 五、课后作业：教科书习题 13.1 第 6、9 题 六、课后反思：13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第 2 课时）教学目标：1能用尺规作线段的垂直平分线2进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作图的依据3运用尺规作图的方法解决简单的作图问题教学重点、难点：作线段的垂直平分线教学过程：一、问题导入：有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 二、探究新知：作线段的垂直平分线我们已能用尺规完成：（1）作一条线段等于已知线段；
11、（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线教师：那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？例 1 如图，点 A 和点 B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 教师：怎样作线段 AB 的垂直平分线呢？作法：如图（1）分别以点 A， B 为圆心，以大于 AB 的为半径作弧，两弧相交于 C， D 两点；（2）作直线 CD CD 就是所求作的直线 教师：这种作法的依据是什么？这种作图方法还有哪些作用？确定线段的中点 教师：如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？ 如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此，只要找到任意一
12、组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴如图中的五角星，请作出它的一条对称轴. 你能作出这个五角星的其他对称轴吗？ 它共有几条对称轴？三、课堂练习：教科书 64 页练习 1、2、3四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？ （2）作线段的垂直平分线的依据是什么？举例说明 这种作法有哪些运用？（3）如何用尺规作轴对称图形的对称轴？五、课后作业：教科书习题 13.1 第 10、12 题六、课后反思：13.2 画轴对称图形（1）教学设计教学目标：1理解图形轴对称变换的性质2能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图形教学重点：画轴对称图形教学难点：画轴对称图形教学过程：一、问题
13、导入：在一张半透明纸张的左边部分，画出左脚印，如何由此得到相应的右脚印？二、探究新知：请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？由一个平面图形得到与它关于一条直线对称的图形 一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之 间有什么关系？ 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线 l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l 的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 教师：如果有一个图形和一条直线，如何作出这个图形关 于这条直线对称的图形呢？例 1 如图，已知 ABC 和直线 l，画出与 ABC
14、 关于直线 l 对称的图形画法：（1）如图，过点 A 画直线 l 的垂线，垂足为点O，在垂线上截取 OA= OA，点 A就是点 A 关于直线 l 的对称点；（2）同理，分别画点 B， C 关于直线 l 的对称点B， C；（3）连接 A B， B C， C A，得到的A B C即为所求教师：如何验证画出的图形与 ABC 关于直线 l 对称？已知一个几何图形和一条直线，说一说画一个与该图形关于这条直线对称的图形的一般方法几何图形都可以看作由点组成对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形三、课堂练习：教科书 68 页练习 1、2四、
15、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？ （2）一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之间有什么关系？（3）画轴对称图形的一般方法是什么？依据是什么？五、课后作业：教科书习题 13.2 第 1 题 六、课后反思：13.2 画轴对称图形（2）教学设计教学目标1.探索平面直角坐标系中的点关于 x 轴、y 轴对称点的坐标的规律，并能运用这一规律写出平面直角坐标系中的点关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标；2.能利用坐标的变换规律在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形。3.结合实例总结出点与其对称点的坐标之间的规律。教学重点在平面直角坐标系中关于 x 轴或 y 轴对称的点的变化规律和作出与一个图形关于
16、 x 轴或 y轴对称的图形教学难点在平面直角坐标系中关于 x 轴或 y 轴对称的点的变化规律和作出与一个图形关于 x 轴或 y轴对称的图形教学过程一、创设情境：如图，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系，对应于东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗？二.新知探究：活动 1：探究并归纳已知点关于坐标轴对称的点的坐标变化规律观察与思考：对于平面直角坐标系中任意一点，你能找出其关于 x 轴或 y轴对称的点的坐标吗？它们之间有什么规律？在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于 x 轴对称的点，把它们的坐标填入表格中。问题 1：观察下图中关于
17、x 轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律？关于 x 轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，简称“横同纵反”。问题 2：观察关于 y 轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律？ 归纳：关于 y 轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。简称“纵同横反”。问题 3：请你再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律。点（x，y）关于 x 轴对称的点的坐标为（_，_）； 点（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标为（_，_）活动 2：例题解析例：如图，四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别画出与四边形
18、 ABCD 关于 x 轴和 y 轴对称的图形思考：请归纳出画一个图形关于 x 轴或 y 轴对称的图形的方法和步骤。 先求出已知图形中一些特殊点（多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形步骤简述为：（1）求特殊点的坐标；（2）描点；（3）连线三.课堂练习：教科书 70 页练习 1、2、3四.课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？ （2）在平面直角坐标系中，已知点关于 x 轴或 y 轴的对称点的坐标有什么变化规律，如何判断两个点是否关于 x 轴或 y 轴对称？（3）说一说画一个图形关于 x 轴或 y 轴对称的图形的方法和步骤五.课后作业：教科书习题 13.2
19、第 2、4、5 题 六.课后反思：13.3 等腰三角形（1）教学目标：1.说出等腰三角形，探索并证明等腰三角形的两个性质，能利用性质证明两个角相等或两条线段相等；2.经历折叠后剪纸、展开后得到等腰三角形的过程，体验等腰三角形的对称性；3.学生对图形的观察、发现，激发起好奇心和求知欲。教学重点1.等腰三角形的概念及性质2.等腰三角形性质的应用教学难点等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用教学过程：一.问题导入：如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的ABC 有什么特点？教师：仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？教师：同学们剪下
20、的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？二.探究新知：教师：在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？等腰三角形的特征:（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合教师：利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质 1 和性质 2对于性质 1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？（2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？从剪图、折
21、纸的过程中你能获得什么启发？已知：如图，ABC 中，AB =AC求证：B = C你还有其他方法证明性质 1 吗？可以作底边的高线或顶角的角平分线. 教师：性质 2 可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”教师：在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴三.课堂练习：教科书 77 页练习 1、2四.课堂小结：（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？（3）本节课你
22、学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？五.课后作业：教科书习题 13.3 第 1、2、4、6 题六.课后反思：13.3 等腰三角形（2）教学目标：1探索等腰三角形判定定理2理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明3了解等腰三角形的尺规作图.教学重、难点：理解和运用等腰三角形的判定定理教学过程：一、问题导入：问题 等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等结论：这两条边所对的角相等二、探究新知：思考 性质定理证明方法是什么？ 作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等 问
23、题 一个三角形满足什么条件是等腰三角形？ 思考 1 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？这两个角所对的边相等 思考 2 这个命题的题设和结论又分别是什么呢？ 如何证明这个命题？题设：一个三角形有两个角相等 结论：这两个角所对的边相等 问题 类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能选择一种来证明这个命题吗？ 已知：如图，在 ABC 中， B = C. 求证： AB =AC教师：你还有其他证明方法吗？ 思考 能作底边 BC 上的中线吗？ 等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）符号语言： 在 ABC 中， B =
24、C， AB =AC思考 与等腰三角形性质进行比较看有什么区别？例 1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知： CAE 是 ABC 的外角，1 =2， AD BC求证： AB =AC.例 2 已知等腰三角形底边长为 a ，底边上的高的长为 h ，求作这个等腰三角形.作法：（1）作线段 AB =a；（2）作线段 AB 的垂直平分线 MN，与 AB 相交于点 D；（3）在 MN 上取一点 C，使 DC =h； （4）连接 AC， BC，则 ABC 就是所求作的等腰三角形.三、课堂练习：教科书 79 页练习 1、2、3、4四、课堂小结：（1）本节课学习
25、了哪些内容？（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系五、课后作业：教科书习题 13.3 第 2、5 题 六、课后反思：13.3 等腰三角形（3）教学目标：1.说出等边三角形的概念及判定，并会进行有关的计算；2.能运用等边三角形的性质和判定证明两条线段相等、两角相等的问题；3 通过用等边三角形有关性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；教学重点、等腰三角形的性质及其应用.教学难点简洁的逻辑推理.教学过程一.复习巩固1.叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角” 。把等腰三角
26、形对折，折叠两部分是互相重合的，即 AB 与 AC 重合，点 B 与点 C 重合，线段 BD 与 CD 也重合，所以BC。等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一” 。由于 AD 为等腰三角形的对称轴，所以 BD CD，AD 为底边上的中线；BADCAD，AD为顶角平分线，ADBADC90，AD 又为底边上的高，因此“三线合一” 。2.若等腰三角形的两边长为 3 和 4，则其周长为多少? 二.探究新知： 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形具有什么性质呢?请分别画出一个
27、等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.问题 等腰三角形有哪些特殊的性质呢？ 从边的角度：两腰相等；从角的角度：等边对等角；从对称性的角度：轴对称图形、三线合一思考 将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？ 结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？ 图形 边 角 轴对称图形等腰三角形 两边相等（定义） 两底角相等（等边对等角） 是（三线合一） 一条对称轴等边三角形 三边相等（定义）对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60”这一结论进行证明.
28、已知：ABC 是等边三角形 求证：A =B =C =60证明： ABC 是等边三角形， BC =AC，BC =AB A =B，A =C A =B =C A +B +C =180， A =60 A =B =C =60等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60.符号语言： ABC 是等边三角形， A =B =C =60思考 利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.问题 等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？思考 1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？思考 2 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形
29、？三个角都相等的三角形或者一个角为 60的等腰三角形请你将得到的这两个命题进行证明.等边三角形的判定定理 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 符号语言：在ABC 中， A=B =C ， ABC 是等边三角形等边三角形的判定定理 2：有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形 符号语言：在ABC 中， BC =AC，A =60， ABC 是等边三角形判定等边三角形的方法：从边的角度：等边三角形的定义；从角的角度：等边三角形的两条判定定理 等边三角形的判定定理 1：三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形的判定定理 2：有一个角为 60的等腰三角形 例 1 如图，ABC 是等边三角形，DEBC,
30、 分别交 AB，AC 于点 D，E求证：ADE 是等边三角形. 三.课堂练习：教科书 80 页练习 1、2四.课堂小结：（1）本节课学习了等边三角形的性质和判定；（2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？ 共有几种判定等边三角形的方法？（3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法五.课后作业：教科书习题 13.3 第 12、14 题 六课后反思：13.3 等腰三角形（4）教学目标：1.探索并灵活运用一个锐角为 30角的直角三角形的边之间的关系。2.通过用等腰三角形、等边三角形有关性质进行证明或计算，体会几何证题的基本方法：分析法和综合法；3.通过合作交流，培养团结协作的精神。教学重点：
31、探索含 30角的直角三角形的性质.教学难点：含 30角的直角三角形的性质的应用.教学过程：一.问题导入：问题 已知ABC 中，A =60,（ ）.请你在括号内补充一个条件，使ABC 能成为等边三角 形.二.探究新知：思考 1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？思考 2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？活动 用两个全等的含 30角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由 问题 你能借助这个图形，找到含 30角的直角ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间有什么数量关系吗？猜想 在直角三角
32、形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.问题 请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.思考 这个命题是真命题吗？请进行证明已知：如图，在 RtABC 中，C =90，A =30. 求证：BC = AB 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.符号语言： 在 RtABC 中，C =90，A =30， BC = AB 例 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB的中点，立柱 BC、DE 垂直于横梁 AC，AB =7.4 cm，A =30，立柱 BC、DE 要多长？三.课堂练习：教科书 81 页练习
33、四.课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）在应用含 30角的直角三角形的性质时，能解决 哪些问题？需要注意哪些问题？五.课后作业：教科书习题 13.3 第 15 题六.课后反思：13.4 课题学习 最短路径问题教学目标：1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.2.通过最短路径问题的探究，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想3.通过解决实际生活的问题培养学生知识的应用能力.教学重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题.教学难点：如何正确的通过作图找到需要的关键点以及证明路径为什么是最短的问题.教学过程：一.问题引入：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短” 、 “连
34、接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”二.探索新知 问题 1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 追问 1 这是一个实际问题，你打算首先做什
35、么？将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直 线追问 2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（1）从 A 地出发，到河边 l 饮马，然后到 B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与 A ，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地到饮马地点，再回到 B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线 l 上的点设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小（如图） 问题 2 如图，点 A， B 在直线 l 的同侧，点 C 是直 线上的一个动点，当点 C
36、 在 l 的什么位置时， AC 与 CB 的和最小？ 追问 1 对于问题 2，如何将点 B“移”到 l 的另一侧 B处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB的长度相等？追问 2 你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点 B吗？作法：（1）作点 B 关于直线 l 的对称点 B；（2）连接 AB，与直线 l 相交于点 C则点 C 即为所求问题 3 你能用所学的知识证明 AC +BC 最短吗？证明：如图，在直线 l 上任取一点 C（与点 C 不重合） ，连接 AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB，AC+BC=
37、AC+BC在ABC中，ABAC+BC， AC +BCAC+BC即 AC +BC 最短追问 1 证明 AC +BC 最短时，为什么要在直线 l 任取一点 C（与点 C 不重合） ，证明 AC +BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？实际上,若直线 l 上任意一点（与点 C 不重合）与 A，B 两点的距离和都大于 AC +BC，就说明 AC + BC 最小回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？三.课堂练习练习 如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最短路径基本思路：由于两点之间线
38、段最短，所以首先可连接 PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线 BC，这样问题就转化为“点 P，Q 在直线 BC 的同侧，如何在 BC 上找到一点 R，使 PR 与 QR 的和最小”四.课堂小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称在所研究问题中起什么作用？五.课后作业教科书复习题 13 第 15 题六.课后反思数学活动教学目标1.能写出轴对称的美术字，画出它们的对称轴2.能利用轴对称设计图案教学重点：美术字与轴对称和利用轴对称的性质探索并证明等腰三角形中相等的线段 教学难点：利用轴对称的性质探索并证明等腰三角形中相等的线段.教学准备：彩纸教学过程：活动
39、 1 美术字与轴对称1.从轴对称的角度观察它们，你能发现它们的共同特点吗？2.画出这些美术字的对称轴猜想下列几个未写完的美术字是什么汉字或字母？你能再写出几个轴对称的美术字吗？并画出它们的对称轴 活动 2 利用轴对称设计图案思考这两个图案是怎样得到的？请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸（1）改变折痕的位置并重复几次，你又得到什么？（2）对称轴的方向和位置的变化对图形有什么影响？结论：对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化有时，将平移和轴对称结合起来，可以设计出更丰富的图案，许多镶边和背景图案就是这样设计的.请你利用平移和轴对称设计图案活动
40、3 等腰三角形中相等的线段等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？等腰三角形是轴对称图形，将ABC 沿对称轴折叠，观察 DE 与 DF 的数量关系？（DE =DF）如何证明 DE =DF ？ 已知：如图，在ABC 中，AB =AC，D 是 BC 边的中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E，F求证：DE =DF.证明： DEAB，DFAC， DEB =DFC =90. 又 AB =AC， ABC 是等腰三角形， B =C. D 是 BC 边的中点， DB =DC. EBDFCD（AAS） ， DE =DF.如果 DE，DF 分别是 AB，AC 上的中线，它们还有相等的数量关系吗？（DE =DF）已
41、知：如图，在ABC 中，AB =AC，点 D，E，F分别是 BC，AB，AC 边的中点求证：DE =DF.证明： AB =AC， B =C. 点 D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边的中点， DB =DC，BE =AE，CF =AF. BE =CF. BDE CDF（SAS） DE =DF.变式：如果 DE，DF 分别是ADB，ADC 的平分线 ，它们还有相等的数量关系吗？已知：如图，在ABC 中，AB =AC，点 D 是 BC 边的中点，DE，DF 分别是ADB，ADC 的平分线求证：DE =DF.证明： AB =AC， B =C. 点 D 是 BC 边的中点， DB =DC，ADB =
42、ADC =90. DE，DF 分别是ADB， ADC 的平分线， BDE = 1/2ADBCDF = 1/2ADC BDE =CDF ， BDE CDF（ASA） DE =DF.思考：由等腰三角形是轴对称图形，利用类似方法，还可以得到等腰三角形中哪些相等的线段，并证明结论 课堂小结（1）解决本节课中的问题，用到了什么知识？（2）举例说明轴对称在实际生活中还有哪些运用？（3）等腰三角形中有哪些相等的线段？探究等腰三角形中相等的线段的一般步骤是什么？课后作业（1）在实际生活中，轴对称无处不在，请你用给定的图形“， ” （两个圆，两个三角形，两条线段）为构件，尽可能多地构思出独特且有实际生活意义的成
43、轴对称的一对图形，并写出一两句诙谐、贴切的解说词 （如：两盏电灯 ）（2）请探究等边三角形有哪些相等的线段？第 13 章小结与复习 教学目标1.总结出轴对称、轴对称变换、用坐标表示轴对称、等腰三角形、等边三角形的相关知识点；2.通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。教学重点1.对称和等腰三角形的性质及判定。2.通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。教学难点：通过轴对称的特征来解决几何图形的轴对称问题。教学过程设计一.本章知识结构图二.回顾与反思1.在现实世界中，存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成轴对称的图形有什么特点？2.在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们
44、的对称轴与这个图形有怎样的位置关系？3.一个图形经过轴对称变换后，对应点所连线段与对称轴有什么关系？如何作出一个图形的轴对称图形？4.在平面直角坐标系中，如果两个图形关于 x 轴或 y 轴对称，那么对应点的坐标有什么关系？请结合例子说明。5.利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？三.例题专题一 有关轴对称的学科内专题通过轴对称的特征来解释几何图形中的轴对称问题，这也是本章的重点解决这类问题需要正确掌握常见几何图形的轴对称特征1.在我们学过的基本几何图形中，举出几个轴对称图形来，井说明其对称轴解析 几何图形
45、中的轴对称图形可设想将其沿某一直线对折，看能否使之重合，从而作出判别答案 线段、角、等腰三角形、等边三角形、圆都是轴对称图形线段的对称轴有两条分别是：线段的垂直平分线和线段所在的直线角的对称轴是角的平分线所在的直线等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线或顶角的平分线所在直线或底边的中线所在直线等边三角形共有三条对称轴分别是三边的垂直平分线圆有无数条对称轴，经过圆心的任一直线都是它的对称轴专题二 有关轴对称的学科间专题轴对称现象在其他学科中也广泛存在如英文字母中的轴对称图形，物理中的轴对称特征等，即便是文学中也出现有轴对称的含义解决这类问题就需要我们善于观察，学会欣赏轴对称现象2.唐朝某地建造了一
46、座十佛寺，竣工时，太守在庙门右边写一幅上联“万瓦千砖百匠造成十佛寺” ，望有人对出下联，且表达恰如其分，你知道下联是什么吗?你觉得是否合适?解析 生活中的轴对称无处不在，只要有心，定可发现其间所蕴含的丰富文化价值和无穷美的享受答案 有给下联为“一舟二橹四人摇过八仙桥” 。在这副楹联中，所蕴含的对称美令人叫绝专题三 轴对称的应用专题利用轴对称可以得到相等的线段和全等的图形，利用轴对称性质可以作已知图形的轴对称图形，用此知识可以解决一类实际问题此外，应用轴对称知识设计图案，如镶边、剪纸等3.如图 141 所示，EFGH 是一矩形的弹子球台面，有黑、白两球分别位于 A、B 两点的位置上，试问：怎样撞
47、击白球 B，使白球先撞击台边 EF 反弹后再击黑球 A?解析 设白球撞击后与 EF 交于 P 点，为使反弹后击中 A 球，必有BPFAPE，为此，只要作 B 关于 EF 的对称点 B连结 AB与 EF 交点即 P 点答案：作 B 点关于 EF 的对称点 B，连结 BA 交于 EF 于 P，则按 BP 的方向撞击白球，反弹后必沿 PA 方向击中黑球。4.如图 142，花边中的图案以正方形为基础，由圆弧或圆构成，依照例图，请你为班级黑板报设计一条花边要求：只要画出组成花边的一个图案，不写画法，不需要文字，以所给的正方形为基础，用圆弧或圆画出；图案应有美感；与例图不同解析 本题主要考查大家根据轴对称
48、性质设计花边图案的能力，而且要符合题中的四点要求，这是一道融数学与美术为一体的综合创新素质题答案 此题答案不唯一，略举几例如图 143 所示专题四 等腰三角形中角的度数或线段的长度的计算利用等腰三角形的性质求角的度数或线段的长度时常利用列代数方程的方法求解5.等腰三角形的底边长为 5 厘米，一腰上的中线把其周长分成两部分，且差为 3 厘米，则腰长是多少?解析 条件中没有指明两部分中谁大谁小，所以就有两种情况：当有底的那部分较大时，则另一部分较小；当有底的那部分较小时，则另一部分就大答案 设等腰三角形腰长为 x 厘米（1）当有底的那部分较大时，可得方程：1x53.2所以 x=2因为 2+25，所以此解不满足题意，舍去（2）当有底的那部分较小时，根据题意可得方程：1x53x所以 x=8综上所知，
