1、数学: 知识梳理： 正数与负数：负数产生的必要性；具有相反意义的量。 有理数的分类：整数、分数统称有理数；整数又包括正整数、零、负整数，分数又包括正分数与负分数。 相反数、倒数、绝对值： 只有符号不同的两个数是互为相反数，a 的相反数为a ； 一个数除以 1 所得的商是这个数的倒数，零没有倒数； 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。 数轴：原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 有理数的大小比较： 方法一：零大于一切正数，而小于一切负数； 两个负数，绝对值大的反而小。 方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 实 数 一、 知识梳理： 1、
2、实数的分类 .有理数（正有理数、0 、负有理数），无理数（无限不循环小数） 2、实数的有关概念： （1）平方根：一般地，如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根. 正数有两个平方根，负数没有平方根，0 的平方根是 0 （2）算术平方根：正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根. （3）立方根：一个数的立方等于 a，这个数叫做 a 的立方根。 3、实数与数轴上的点一一对应。会在数轴上表示有些无理数 知识要点】 1只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程 2解一元一次方程的一般步骤是： （1）去分母（ 2）去括号（ 3）移项（4）合并同类项（ 5）将未知数的系数
3、化为“1” 3一元一次方程 ax=b 的解的情况： （1）当 a0 时，ax=b 有唯一的解 （2）当 a=0，b0 时，ax=b 无解 （3）当 a=0，b=0 时，ax=b 有无穷多个解【 知识要点： 1因式分解定义：把一个多项式化成几个_式乘积的形式 因式分解与整式的乘法是互为_ 2.因式分解的基本方法： （1）提取公因式法（首先考虑的方法）、应用公式法、分组分解法、十字相乘法 （2）公式： a2-b2=_ _，a22ab+b2=_ _， a3+b3=_ _，a3-b3=_ _ 3因式分解的一般步骤 先看有没有公因式，若有立即提出；然后看看是几项式， 若是二项式则用平方差、立方或立方差公
4、式；若是三项式用完全平方公式或十字相乘法；若是四项及以上的式子用分组分解法，要注意分解到不能再分解为止. 一，知识梳理： 1、 有理数的加法、减法、乘法、除法、乘方运算法则、混合运算 2、 运算律：交换律、结合律、分配律，去括号法则 (1)有理数的加法法则： 1. 同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加； 2. 绝对值不等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 3. 一个数与零相加仍得这个数； 4. 两个互为相反数相加和为零。 有理数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。 补充：去括号与添括号： 去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同
5、它前边的“+”号去掉，括号内各项都不变；括号前是“” 号时，将括号连同它前边的“” 去掉，括号内各项都要变号。 添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在“”号后边添括号，括到括号内的各项都要变号。 有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数与零相乘都得零； 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正； 几个有理数相乘，若其中有一个为零，积就为零。 有理数的除法法则： 法则一：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 法则二：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 有理数
6、的乘方：求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的给果叫做幂。 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 有理数的运算顺序： 先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，则先算括号内，再算括号外。 运算律： 加法的交换律； 加法的结合律； 乘法的交换律； 乘法的结合律； 乘法对加法的分配律； 注：除法没有分配律。 3、 科学记数法 :把一个数表示成 a（1a10 ）与 10 的幂相乘的形式。如：304000=3 4、准确数与近似数：与实际完全符合的数叫准确数，与实际接近的数叫近似数。取近似数有两种方法（1）精确到哪位，如：把 84960 精确到万位得（2）有效数字：
7、从左边第一个不是零的数字起到到末位数字为止的所有数字都叫做这个数的有效数字。如：把 84960 保留两个有效数字得： 5、计算器的使用 1、平移变换 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。 新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 连接各组对应点的线段平行且相等 2、平移的特征： 经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化。 经过平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。 知识点整理：1 、相交线 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系
8、的角，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 与 2 有公共顶点 1 的两边与2 的两边互为反向延长线 对顶角相等即1= 2 邻补角 3 与 4 有公共顶点 3 与4 有一条边公共，另一边互为反向延长线。 3+ 4=180 注意点：对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； 如果 与 是对顶角，那么一定有=；反之如果= ，那么 与 不一定是对顶角 如果 与 互为邻补角，则一定有+=180；反之如果+ =180，则 与 不一定是邻补角。 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2、垂线 定义，当两条直线相交所成的四个角中，有
9、一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB CD ，垂足为 O 垂线性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) 垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3、垂线的画法： 过直线上一点画已知直线的垂线；过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 画法：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上
10、，三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 记得时候应该结合图形进行记忆。 如图，PO AB ，同 P 到直线 AB 的距离是 PO 的长。 PO 是垂线段。PO 是点 P 到直线 AB 所有线段中最短的一条。 现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。 5、如何理解 “垂线”、“垂线段”、“两点间距离” 、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 垂线与垂线段 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征
11、。(垂直的性质) 两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。 2 平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线 与直线 互相平行，记作 。 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，
12、可以根据它们的公共点的个数来确定： 有且只有一个公共点，两直线相交； 无公共点，则两直线平行； 两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线） 3、平行公理 平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行1数的分类及概念 数系表： 实数 无理数(无限不循环小数) 有理数 正分数 负分数 正整数 0 负整数 (有限或无限循环性数) 整数 分数 正无理数 负无理数 说明：“分类”的原则： 1）相称（不重、不漏） 2）有标准 2非负数：正实数与零的统称。（表为：x0 ） a (a0) (a 为一切实数) 常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为 0，则每个非负担数
13、均为 0。 3倒数： 定义及表示法 性质：A.a1/a（a1 ） ;B.1/a 中，a0;C.0a1 时 1/a1;a1 时，1/a 1;D. 积为 1。 4相反数： 定义及表示法 性质：A.a0 时，a-a;B.a 与-a 在数轴上的位置;C.和为 0,商为-1 。 5数轴： 定义（“ 三要素”） 作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。 6奇数、偶数、质数、合数（正整数自然数） 定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n（n 为自然数） a(a0) -a(a0) a= 7绝对值： 定义（两种）： 代数定义： 几何定义：数 a 的绝对值顶的几何意
14、义是实数 a 在数轴上所对应的点到原点的距离。 a0,符号 “”是“ 非负数”的标志;数 a 的绝对值只有一个; 处理任何类型的题目，只要其中有“”出现，其关键一步是去掉“” 符号。 二、实数的运算 1 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2 运算定律（五个 加法 乘法交换律、结合律 ;乘法对加法的 分配律） 3 运算顺序： A.高级运算到低级运算;B. （同级运算）从 “左” 到“右”（如 5 5）;C.(有括号时 )由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例（略） 附：典型例题 1 a x b 已知：a、b、x 在数轴上的位置如下图，求证： x-a+x-b =b-a. 2.已知：a-b=
15、-2 且 ab0，（a0，b0 ），判断 a、b 的符号。 第二章 代数式 一、 单项式 多项式 整式 分式样 有理式 无理式 代数式 重要概念 分类： 1.代数式与有理式 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独 的一个数或字母也是代数式。 整式和分式统称为有理式。 2.整式和分式 含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。 没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。 有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。 3.单项式与多项式 没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积包括单独的一个数或字母） 几个单项式的和，叫做多项式。 说明：根据
16、除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如， =x, =x等。 4.系数与指数 区别与联系：从位置上看;从表示的意义上看 5.同类项及其合并 条件：字母相同;相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 6.根式 表示方根的代数式叫做根式。 含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。 注意：从外形上判断;区别： 、 是根式，但不是无理式（是无理数）。 7.算术平方根 正数 a 的正的平方根（ a0与“平方根”的区别 ）; 算术平方根与绝对值 联系：都是非负
17、数， =a 区别：a 中，a 为一切实数 ; 中，a 为非负数。 8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化 化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 满足条件：被开方数的因数是整数，因式是整式;被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。 把分母中的根号划去叫做分母有理化。 aaa= n 个 9.指数 ( 幂，乘方运算) a0 时， 0;a0 时， 0 （n 是偶数）， 0（n 是奇数） 零指数： =1（a0） 负整指数： =1/ （a0,p 是正整数） 二、运算定律、性质、法则 1分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则 2分式的性质 基本性质： = （m0 ） 符号法则： 繁分式：定义;化简方法（两种） 3整式运算法则（去括号、添括号法则） 4幂的运算性质： = ; = ; = ; = ; 技巧： 5乘法法则： 单 单; 单多;多多。 6乘法公式：（正、逆用） （a+b）（a-b）= (ab) = 7除法法则： 单单;多单。 8因式分解： 定义;方法：A.提公因式法;B. 公式法;C.十字相乘法;D. 分组分解法;E.求根公式法。 9算术根的性质： ; ; (a0,b0); (a0,b0)(正用、逆用) 10根式运算法则：加法法则（合并同类二次根式）;乘、除法法则; 分母有理化：A. ;B. ;C. . 11科学记数法： （1a10,n 是整数）
