应用题专练(详解).doc

1、应用题专练1某种商品每件进价 12 元，售价 20 元，每天可卖出 48 件。若售价降低，销售量可以增加，且售价降低 元时，每天多卖出的件数与 成正比。已知商品售价降低 3 元时，一天可多卖出(08)x2x36 件（1）试将该商品一天的销售利润表示成 的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？2商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款 500 万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于 2002 年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率 5，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费 18 万元其余部分全部

2、在年底还建行贷款（1）若公寓收费标准定为每生每年 800 元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在 2010 年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）（参考数据：lg1734302391，lgl0500212， 14774）8.053某城市 2004 年末粮食储备量为 100 万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的 5%，并且每年新增粮食 x 万吨。（1）记 2004 年末的粮食储备量为 a1万吨，此后各年末的粮食储备量为 a2万吨，a 3万吨，写出a1，a 2，a 3和 an(nN*)的表示式；（2）受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过 150

3、万吨，那么每年新增粮食储备量不应超过多少万吨？4某地区预计明年从年初开始的前 x 个月内，对某种商品的需求总量 f(x)（万件）与月份 x 的近似关系为： )12*,)(2351(0)( xNxf 且（1）写出明年第 x 个月的需求量 g(x)（万件）与月份 x 的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？（2）如果将该商品每月都投放市场 P 万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问 P 至少为多少万件？47 月份，有一款新服装投入某市场销售，7 月 1 日该款服装仅销售出 3 件，7 月 2 日售出 6 件，7 月 3日售出 9 件，7 月 4 日售

4、出 12 件，尔后，每天售出的件数分别递增 3 件直到日销售量达到最大（只有1 天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减 2 件，到 7 月 31 日刚好售出 3 件。（1）问 7 月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装达到 200 件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于 20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由。5如图，某海滨浴场的岸边可近似的看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救，救生员没有直接从 A 处游向 B 处，而沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处，然后游向 B 处，若救生员在岸边的行速为

5、6 米/秒，在海中的行进速度为 2 米/秒，分析救生员的选择是否正确；在 AD 上找一点 C，是救生员从 A 到 B 的时间为最短，并求出最短时间。6某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以 58 万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营该店的固定成本为 68 万元/月，该消费品的进价为 16 元/件，月销量 q（万件）与售价 p(元/件)的关系如图(1）写出销量 q 与售价 p 的函数关系式；（2）当售价 p 定为多少时，月利润最多？（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？7随着我国加入 WTO，某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投

6、资生产，打入国际市场。已知投资生产这两种产品的有关数据如下表（单位：万美元）项 目类 别年固定成本 每件产品成本 每件产品销售价 每年最多生产的件数甲产品 30 a 10 200乙产品 50 8 18 120其中年固定成本与生产的件数无关，a 为常数，且 4a8。令外，年销售 x 件乙产品时需上交005x 万美元的特别关税。2（1）写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润 y ,y 与生产相应产品的件数 x (x 之间12 )N的函数关系式；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；（3）如何决定投资可获最大年利润。8设某旅游景点每天的固定成本为 500 元，门票每张为 30 元，变动成

7、本与购票进入旅游景点的人数的300 米AC DBpq1252203160算术平方根成正比。一天购票人数为 25 时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过 100 时，该旅游景点须另交保险费 200 元。设每天的购票人数为 ，盈利额为 。xy（）求 与 之间的函数关系； （）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利yx额）；（）该旅游景点希望在人数达到 20 人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？ 注：可选用数据： 21.4,3.7,52.49已知如图, 某海滨浴场的岸边可近似地看成直线, 位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救, 救生员

8、尚有直接从 A 处游向 B 处, 而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处, 然后游向 B 处,若救生员在岸边的行进速度为 6 米/秒,在海中的行进速度为 2 米/秒(I) 分析救生员的选择是否正确;(II) 有 AD 上找一点 C, 使救生员从 A 到 B 的时间为最短,并求出最短时间 B300 米A C D10 某工厂去年的某产品的年产量为 100 万只，每只产品的销售价为 10 元，固定成本为 8 元今年，工厂第一次投入 100 万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入 100 万元（科技成本），预计产量年递增 10 万只，第 n 次投入后，每只产品的固定成本为 （ k0，

9、k 为常数，1)(ng且 n0），若产品销售价保持不变，第 n 次投入后的年利润为 万元Z f（1）求 k 的值，并求出 的表达式；)(nf（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?11 已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大现有以下两种设计，如图：图的过水断面为等腰 ABC， AB BC，过水湿周 图的过水断面为等腰梯形BCAl1ABCD， AB CD， AD BC， BAD60，过水湿周 D2若 ABC 与梯形 ABCD 的面积都为 S，图 图（1）分别求 和 的最小值；1l2（2）为使流量最大，给出最佳设计方案12 某渔业公司今年初用 98 万购进一艘

10、渔船用于捕捞第一年需各种费用 12 万元，从第二年开始每年包括维修费在内，所需费用均比上一年增加 4 万元，该船捕捞总收入预计每年 50 万元1） 该船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有费用之差为正）？ 2） 该船捕捞若干年后，处理方案有两种： 年平均盈利达到最大值时，以 26 万元的价格卖出； 盈利总额达到最大时，以 8 万元的价格卖出问哪一种方案较为合算？并说明理由13 一个有 140 名职工的合资企业投资生产甲、乙两种不同产品，2000 年该企业生产的甲产品创外汇32 万元，乙产品创外汇 216 万元，该企业以后每年所创外汇是甲产品以 225 倍的速度递增，而生产乙产品的机器由于老

11、化的原因，每年创外汇为上年的 。这个企业只要年人均创外汇达 3 万元就可以列入32国家重点企业。若以 2000 为第一年，问：（）从哪一年开始，甲产品年创外汇超过乙产品年创外汇（lg2=03010,lg3=04771）（）该企业哪一年所创外汇最少？该年甲、乙两种产品各创外汇多少万元？（）该企业到 2003 年能否进入国家重点企业？14 某地区预计从 2005 年初的前 n 个月内，对某种商品的需求总量 （万件）与月份 n 的近似关系fn()为 fnN()()()1503212，（I）求 2005 年第 n 个月的需求量 g(n)（万件）与月份 n 的函数关系式，并求出哪个月份的需求量超过 14

12、 万件。（II）如果将该商品每月都投放市场 P 万件，要保持每月都满足供应，则 P 至少为多少万件？15 学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤浇开水每吨开水费为 S 元，用电炉烧开水每吨开水费为 P 元， 52.0yxyyP7620.1其中 x 为每吨煤的价格， y 为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉烧水，否则就用电炉烧水（1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；（2）如果每百度电价不低于 60 元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少?16 某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船，

13、第一年各种费用为 12 万元，以后每年都增加 4 万元，每年捕鱼收益 50 万元（1）问第几年开始获利?（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以 26 万元出售该渔船方案二：总纯收入获利最大时，以 8 万元出售该渔船问哪种方案合算17 如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在 a 上一点 A 处有一个水声监测点，另两个监测点B，C 分别在 A 的正东方 20km 和 54km 处。某时刻，监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波，8s 后监测点 A，20s 后监测点 C 相继收到这一信号。在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是 15km/s（1）设 A 到 P

14、 的距离为 x km，用 x 表示 B ，C 到 P 的距离，并求 x 的值；（2）求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离（结果精确到 001km）。18 如图，一科学考察船从港口 O 出发，沿北偏东 角的射线 OZ 方向航行，而在离港口 O a（a 为正常数）海里13 的北偏东 角的 A 处共有一个供给科考船物资的小岛，其中已知 现指挥部需cos,31tan32要紧急征调沿海岸线港口 O 正东 m 海里的 B 处的补给船，速往小岛 A 装运物资供给科考船该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在 C 处相遇经测算当两船运行的航线与海岸线 OB 围成的三角形 OBC 的面积 S 最小时，这种补给最

15、适宜（）（本问 6 分）求 S 关于 m 的函数关系式 S（m）；（）（本问 6 分）应征调 m 为何值处的船只，补给最适宜？19 某人上午 7 时，乘摩托艇以匀速 v 海里/时 从 A 港出发到距 50 海里的 B 港去，然后乘)204(v汽车以匀速 千米/时 自 B 港向距 300 千米的 C 市驶去，应该在同一天下午 4 时至 9 点到)103(达 C 市设汽车、摩托艇所需要的时间分别是 x、 y 小时（1）作图表示满足上述条件的 x、 y 范围；（2）如果已知所要的经费 （元），那么 v、 分别是多少时走得最)8(2)5(3p 经济？此时需花费多少元？20 甲、乙两人用农药治虫，由于计

16、算错误，在 、 两个喷雾器中分别配制成 12%和 6%的药水各 10AB千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为 1 千克的药瓶，他们从 、A两个喷雾器中分别取 1 千克的药水，将 中取得的倒入 中， 中取得的倒入 中，这样操作进行了B次后， 喷雾器中药水的浓度为 %， 喷雾器中药水的浓度为 %nAnanb（）证明 是一个常数；nba（）求 与 的关系式；1（）求 的表达式n21 某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段 关于坐标轴或原点对称，线DCBA11,段 的方程为 ，

17、过 有一条航道。有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，B1baxy,o在点 处测得该船发出的汽笛声的时刻总晚 （设海面上声速为 ）。若该船沿着当前)0,25(M s1sam/的航线航行（不考虑轮船的体积）（I）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？（II）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由。答案：1 （1）由题意可设，每天多卖出的件数为 ， ，2()kx236()k3k又每件商品的利润为 元，每天卖出的商品件数为(201)48x该商品一天的销售利润为 232()843()13(0)fxxxx（2）由 9(4)令 可得 或 ()0fx3x当 变化时， 、 的变化情

18、况如下表：()ff0 2, 2(,4)34 (4,8)8()fx 0 + 0 384 极小值 769 极大值 432 0当商品售价为 16 元时，一天销售利润最大，最大值为 432 元2 依题意，公寓 2002 年底建成，2003 年开始使用（1）设公寓投入使用后 n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为 100080（元）800000（元）80 万元，扣除 18 万元，可偿还贷款 62 万元依题意有 2%)51()(162 11%)5(0)5(nn化简得 0.05.nn 734两边取对数整理得 取 n12（年）28.10.395.1lgn 到 2014 年底可全部还清贷款（2）设每生和每年

19、的最低收费标准为 x 元，因到 2010 年底公寓共使用了 8 年，依题意有 2%)()()810(x 97%)51(0)51(化简得 905.15 （元）92).81(0)4728()10.28(189 x故每生每年的最低收费标准为 992 元3 （理）（1）a 1=100，a 2=095100+x，a 3=095a 2+x=095 2100+095x+x对 n2 有：a n=095 a n1+x=095 2an2+(x+095x)=095 n1a1 +x(1+095+095 n2)= 111 95.0)2(05.0995.0 nnn xx（2）当 100-20x0，即 x5 时121aan

20、当 100-20x5 时， xxxnnn 2095.)201(1lim此时a n逐项增加，可任意接近 20x依题意可知： 即 20x 150，x 75150na每年新增粮食储备量不应超过 75 万吨（文）（1） )(213)(万 件fg当 时，g(x)=f(x)-f(x-1)2n )237()1500xxx9()(15221)67xx当 x=1 时，g(x)=g(1)也适合上式 )2)(12(5)( Nxg且又 536等号当且仅当 x=12-x 即 x=6 时成立，即当 x=6 时， （万件）2536)(maxg6 月份该商品的需求量最大，最大需求量为 万件。2（2）依题意，对一切 ，有1,2

21、x)()(1fggPx )2,350x令 813694(150)2(1)( xh7)8ma50P答每个月至少投入 万件可以保证每个月都足量供应。14 （1）设 7 月 日售出的服装件数为 ， 为最大。n,13naN,4kaN， - 312()ka，,9k7 月 13 日该款服装销售件数最多，最大值为 39 件。（2）设 是数列 的前 项和，nSna，3,136524nnN,1373(1)34nSnn，120由 时， 得 ，2nS1由 时， 得 ，43a3从 7 月 12 日到 7 月 22 日共 11 天该款服装在社会上流行。5 由 A 直接游向 B 处的时间为 （秒）。21504sint由

22、A 经 D 到 B 的时间为 （秒），而 ，23062t 20因此，救生员的选择是正确的。设BCD=，则 CD=300cot，BC= ，AC=300-300cot。asin于是从 A 经 C 到 B 的时间为= =sin150ico50sin236cot03 t )sincoi3()2tan1ta2n13(50= =)2tant1(50)21(502105当且仅当 ，即 时，2tant2tan,2ta上式等号成立。此时，CD= （米）时，t 取得最小值为 秒。75tan30 2105因此，点 C 应选在沿岸边 AD，距 D 点 米处，才能使救生员从 A 到 B 所用时间最短，最短时间为275秒

23、。21056 （1） .250,651;74pq（2）设月利润为 W（万元），则 W=（p16）q68=.250,.)16(5( ;,.74p当;2.1,.)2(4,2016 maxWpWp时当当3,2,3)(51, ax2p时当当售价定为 23 元/件时，月利润最多为 3 万元（3）设最早 n 个月后还清转让费，则 ,0,58n企业乙最早可望 20 个月后还清转让费712212()0)3,0,;.51,97,4537.6yaxxNya最 大 最 大 。（ ） 令 得当 4 时，投资甲产品；当 76a 时，投资乙产品；当 a=76 时，投资甲、乙两6.a8产品均可。8 （）根据题意，当购票人数

24、不多于 100 时，可设 与 之间的函数关系为yx 305yxkx人数为 25 时，该旅游景点收支平衡， ，解得 22050.k 3050(,10),7.xxNy（）框图 如下：输入 x10开始305yx3507yx输出结束Y N（）设 每张门票价格提高为 元，根据题意，得m2050m 。36.2从而，每张门票最少要 37 元。9 (I)由 A 直接游向 B 处的时间为(秒)21504sin1t由 A 经 D 到 B 的时间为(秒)362t而 ,015因此, 救生员的选择是正确的(II)设 cot30,CDB则,sin30AC于是从 A 经 C 到 B 的时间为 sin2306cott)sin

25、coi31(505)2tan1ta2(502105)()tant1(当且仅当 ,2tant.,2tan,2t上 式 等 号 成 立 时即 此时, (米)时, t 取得最小值为 秒75t30CD2105因此,点 C 应选在沿岸边 AD, 距 D 点 米处, 才能使救生员从 A 到 C 再到 B 所用时间最短 最275短时间为 秒210510 （1）由 ，当 n0 时，由题意，可得 k8，所以)(kng )10()nnf （2）由0)80( 10)10)() nf 8当且仅当5298)19(1)( nn n，即 n8 时取等号，所以第 8 年工厂的利润最高，最高为 520 万元911 （1）在图中

26、，设 ， AB BC a则 ，由于 S、 a、 皆为正值，可ABCsin21Ssin解得 当且仅当 ，即 90时取等号所以 ， 的最小值Sa2sin1sinl211l为 在图中，设 AB CD m， BC n，由 BAD60可求得 AD m n，S2，解得 nm23)(123Snl2， 的最小值为 当且仅当 ，即S4322lS4323mS时取等号 （2）由于 ，则 的最小值小于 的最小值所以在方案中当 取4m432l1l 2l得最小值时的设计为最佳方案12 1）设 年后盈利额为 元ny215024984098ny n令 ，得 ，37从第 3 年开始盈利 8 分2） 平均盈利 989824024

27、012ynn这种情况下，盈利总额为 万元，176此时 12 分7 ，此时 20yn10n这种情况下盈利额为 8两种情况的盈利额一样，但方案的时间短，故方案合算13 （）设第 n 年甲产品创外汇 an万元，乙产品创外汇 bn万元则 121 )3(6,)3(25.3nba若 则 即,nbn 325n,7lg3log232 N第 3 年开始即 2002 年甲产品创外汇就可以超过乙产品创外汇（）设该企业第 n 年创外汇 万元ny则 baynnnnn 11212 )23(08)()3()(6)3(当且仅当608 2即 n=2 时，取“=”号，即第 2 年，2001 年创外汇最少为 216 万元，这年甲产

28、品创外汇 72 万元，乙产品创外汇 144 万元（）2003 年即第 4 年，设该企业创外汇为 y则 420135.42816)3(464 bay2003 年该企业能进入国家重点企业。14 （I）由题意知， gf150()当 时，n2n()115032150321721nnn()()()()又 1255()ggnnN)()12，由 得14(.n350，又57， 6即 6 月份的需求量超过 14 万件（II）要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数 P（万件）应满足 Pnf()即 Pnn15032()n175325()，当 时， 的最大值为 114 万件N80)即 P 至少为 114 万件

29、15 （1）由题意，得 5x02 y5102 y20 ，y76即 )(764yx（2）由 S P，得 153)(21542yyyx 0y0 当 时， ，此时 17653max7y答：每吨煤的最高价为 153 元16 （1）由题意知，每年的费用以 12 为首项，4 为公差的等差数列设纯收入与年数 n 的关系为 f（ n），则 16250)(f 9840298)( n由题知获利即为 f（ n）0，由 ，得 215105 21 n171而 n N，故 n3，4，5，17 当 n3 时，即第 3 年开始获利（2）方案一：年平均收入 )9(20)(f由于 ，当且仅当 n7 时取“”号14924nn （万

30、元）0)(f即第 7 年平均收益最大，总收益为 12726110（万元）方案二： f（ n） 40 n-98-2 10222)10(当 n10 时， f（ n）取最大值 102，总收益为 1028110（万元）比较如上两种方案，总收益均为 110 万元，而方案一中 n7，故选方案一17 （1）依题意，有 PA-PB=158=12(km) PC-PB=1520=30(km)PB=(x-12)(km),PC=30+(x-12)=(18+x)(km)在PAB 中，AB=20km ABP2cos2xx530)1(2同理， C72cos ,PAB x35解之，得 )(712km(2)作 PD 在ADP

31、中，D，a于).(71.532132cos kmxAP答：静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 1771km18 （I）以 O 点为原点，指北的方向为 y 轴建立直角坐标系，则直线 OZ 的方程为 y=3x，设点 A（x 0，y 0），则 x0= asin=3a，y 0= acos=2a ，即 A（3a，2a），1313又 B（m，0），则直线 AB 的方程是 y= ，)(2mxa由此得到 C 点坐标为 ，)736,2(am；(|1)(2yOSC（II） ，3281492314)7(9)3()2 aaamamS 当且仅当 时等号成立，)37(,)3(72am即征调 海里处的船只时，补给最

32、适宜am31419 （1）依题意得 ， ， ， ，所以 ，yv50x204v103103x由于汽车、摩托艇所需要的时间和 应在 9 至 14 时之间，25y yx即 因此，满足、的点（ x， y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）149x（2） ， 设 ，那么当 k 最大时， p 最)8(2)5(30yxp p1321小在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为 的直线 中，使 k 值最大的直线必yx2通过点（10，4）即当 ， 时， p 最小此时， ， ， p 的最小值为 93 元1x4y5.v3020 （1）开始时， 中含有 10 12%12 千克的农药， 中含有 10 6%06 千克

33、的农药， 次操ABn作后， 中含有 10 %01 千克的农药， 中含有 10 %01 千克的农药，它们的和应与nan nbn开始时农药的重量和相等，从而有 ，所以 18（常数）60.nbaa（2）第 次操作后， 中 10 千克药水中农药的重量具有关系式： ， A nnab1091由（1）知 ，代入化简得 118nnab 5941n(3)令 ，利用待定系数法可求出 9，)(54所以 ，可知数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，-10 分)91nna9n1a4由， 4.57201 由等比数列的通项公式知：，所以 nnnnna )5(3)(1)4(.)5(9111 9)54(3nna21 设轮船所

34、在的位置为 ，由题意可得 。 ，PPNM| |M故点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支。PN,设点 的轨迹方程为 则P12nymx)0,(nam21an452兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是 （224ayx)0x（II）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾。设直线 的方程为 。l0y当 时，设 与双曲线右支、直线 分别交于点 ，ay0l ax1,SQ则 ，),21(02yQ),(01aSy20点 在点 的左侧， 船不可能进入暗礁区。1S当 时，设 与双曲线右支、直线 分别交于点 ，ay0l xy2,SQ则 ，),2(02yQ),(02S4341200 aay在点 的右侧， 船不可能进入暗礁区。020y2QS综上，在 轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾。x