1、 2016 天津市高考压轴卷文科数学一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.若复数 ia213（aR,i 是虚数单位）是纯虚数，则 a 的值为 ( )A.6 B.-6 C. 23 D. 232.命题“若 4，则 tan1”的逆否命题是（ ）A若 ，则 B 若 4，则 tan1C若 ta，则 D 若 t，则 43.将 )63cos(2xy图像按向量 )2,4(a平移，则平移后所得函数的周期及图象的一个对称中心分别为（ ）A. ， 2,4 B. ， 2,43 C. 6 ， ,3 D. ， ,4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A 2865 B 3065 C 125 D 60
2、125 5.设不等式组 02xy表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（ ）A 4 B 2 C 6 D 46.如右图的流程图，若输出的结果 132s，则判断框中应填A ?0i B C D i7.直线 12xy的参数方程是（ ）A t（t 为参数） B 142tyx（t 为参数） C 12y（t 为参数） D sin（ 为参数）8.已知双曲线 2(0)xa,过点 C（0，1）且斜率为 1 的直线交双曲线的两渐近线于 A、B 两点,若 2AB，则双曲线的离心率为A 52 B C 103 D 10二、填空题：本大题共 6 小题, 每小题 5 分,共
3、 30 分.9.如果不等式组021xyk表示的平面区域是一个直角三角形，则 k=_.10.由正整数组成的一组数据 234,x，其平均数和中位数都是 2，且标准差等于 1，则这组数据为_。 （从小到大排列）11.函数 xy的定义域为_12.已知 ()2)(3)fmx， (2xg.若 ,()0Rfx或 ()g，则 m的取值范围是 .13.在 ABC 中，若 a， b， A，则 C的大小为 .14.已知 n为等差数列， nS为其前 项和.若 12a， 3Sa，则 2 ； nS= .三、解答题：本大题共 6 小题, 共 80 分.15. （本小题满分 13 分）已知函数 ()sin(),02fxAxR
4、的部分图像如图 5 所示.（）求函数 f（x）的解析式；（）求函数 ()()12gff的单调递增区间.16. （本小题满分 13 分）已知 na是各项均为正数的等比数列, nb是等差数列,且123,aba=+, 527b-=.（I）求 na和 b的通项公式；（II）设*,cN=,求数列 nc的前 n 项和.17. （本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）证明：BDPC；（）若 AD=4，BC=2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30，求四棱锥 P-ABCD 的体积.18. （本小题满分 13 分）
5、某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1 至 4件5 至 8件9 至 12件13 至 16件17 件及以上顾客数（人） x30 25 y10结算时间（分 1 1.5 2 2.5 3钟/人）已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55.（）确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（）求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.（将频率视为概率）19.(本小题满分 l4 分)已知函数 )1(ln)(xaxf， R(1)当 1a时讨论函数 的单调性；(2)当 x时，
6、 )(xf 1l恒成立，求 a的取值范围20. (本小题满分 l4 分)在直角坐标系 xOy 中，已知中心在原点，离心率为 12的椭圆 E 的一个焦点为圆C：x 2+y2-4x+2=0 的圆心.（）求椭圆 E 的方程；（）设 P 是椭圆 E 上一点，过 P 作两条斜率之积为 12的直线 l1， l2.当直线 l1， l2都与圆 C 相切时，求P 的坐标.试卷答案1.B 2.C【 解析】 因为“若 p，则 q”的逆否命题为“若 p，则 q”，所以 “若 = 4，则tan=1”的逆否命题是 “若 tan1，则 4”.3.C4.B【 解析】 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三
7、棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得： 10,10,65SS后 右 左底 ，因此该几何体表面积3065S，故选 B。5.D【 解析】题目中02xy表示的区域表示正方形区域，而动点 D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此214p，故选 D6.B 7.C 8.D 9. 【 答案】0 或 21 10. 【 答案】这组数据为_ 1,3【 解析】不妨设 134xx得： 231234144,8xxx22()()()()20,is如果有一个数为 0或 ；则其余数为 ，不合题意只能取 i；得：这组数据为 ,11. 【 答案】定义域为_ 1,)(,)【 解析】 xy中的
8、 满足： 100xx或 12. 【 答案】 (4,0)【 解析】首先看 2xg没有参数，从 ()2xg入手，显然 1x时， ()0gx， 1时，()gx，而对 ,()Rf或 ()0成立即可，故只要 时， f（*）恒成立即可。当 0m时， ()0fx，不符合（*） ，所以舍去；当 m时，由 ()2)(3)fxmx得32，并不对 1成立，舍去；当 时，由 0，注意,1x，故 m，所以 30x，即 (3)x，又 1，故 (),4x，所以 4，又 0，故 (4,)，综上， m的取值范围是 4,0。13. 【 答案】 2【 解析】2cos3bcaA，而 sinicaCA，故 sin12C。14. 【 答
9、案】1， 1()4n【 解析】 23Sa，所以 11212addad， (1)4nS。15.（）由题设图像知，周期 5(),TT.因为点 5(,0)12在函数图像上，所以 5sin0sin()0126A即 .又 54,=636从 而 ， 即 .又点 ,（ ） 在函数图像上，所以 si，故函数 f（x）的解析式为 ()2sin().6fx（） ()2sin2in16126gxxsii()312insi2cos)xxxsi3co2n(),x由 2,3kk得 5,.1212xkz()gx的单调递增区间是 5,.z16（I） （I ）设 na的公比为 q,nb的公差为 d,由题意 0q ,由已知,有2
10、43,10qd消去 d 得4280,q解得 2, ,所以 na的通项公式为1,naN, nb的通项公式为1nbN.（II）由（I）有 1nnc,设 nc的前 n 项和为 nS ,则01212352,nS 1232521,nnS两式相减得 232,n nn所以 32n .17.（ ）因为 ,.PABCDABCPBD平 面 平 面 所 以又 ,CB是平面 PAC 内的两条相较直线，所以 BD 平面 PAC，而 平面 PAC，所以 .（）设 AC 和 BD 相交于点 O，连接 PO，由（）知，BD 平面 PAC，所以 DP是直线 PD 和平面 PAC 所成的角，从而 DPO30.由 BD平面 PAC
11、， 平面 PAC，知 B.在 RtA中，由 30，得 PD=2OD.因为四边形 ABCD 为等腰梯形， AC，所以 ,ABC均为等腰直角三角形，从而梯形 ABCD 的高为 11(42)32DB于是梯形 ABCD 面积1(4)39.2S在等腰三角形中， ,2,OA所以 24, 4.PDPD故四棱锥 ABC的体积为 19123VSP.18.（）由已知得 2510,35,1,20yxyxy，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:15.3025.03
12、1.91(分钟).（）记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” ， 123,A分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟” ， “该顾客一次购物的结算时间为 .5分钟” ， “该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率，得12353051(),(),()0104PPPA.2313,AA且是互斥事件，1123()()(710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 70.19.解：( ) (xf的定义域为 ),0(xaf1( ，若 ,0a则 ,xf在 上单调递增，若 0,则由 0)(xf得 a1，当 )1,0(ax时，)(xf当 )1(a时，
13、 )(， )(f在 a上单调递增，在 ),单调递减.所以当时， )f在 ,上单调递增，当 0a时， (fx在 )1,0a上单调递增，在 ),1(a单调递减. () 1)(ln1l2xaxf,令 (ln)(2g,xx1,令 )ln12Fgxx,12()axF,(2) 110,),(0,(),2Fxgxa若 当 在 递 增 ,g(x)-2a从 而以下论证 同 一 样 ， 所 以 不 符 合 题 意 .13,01,aF若 在 恒 成 立,02a-()gx() 递 减 ，在, 01ln)(,0)1(,1g(x) xfgx递 减在从 而 ,综上所述， a的取值范围是 ,220.（ ）由 240xy，得
14、2()xy.故圆的圆心为点(,0)从而可设椭圆的方程为210),ab其焦距为 2c，由题设知2212,4,.ceacbc故椭圆的方程为：.6xy（）设点 p的坐标为 0(,)xy， 12,l的斜分率分别为 12,.k则 1,l的方程分别为10120:(:(),lyklkx且 由 与圆 2:()cxy相切，得021x，即 2 20100()().kxyk同理可得 22x .从而 12,k是方程 000()()kxyk的两个实根，于是20,8()x且2012.()ykx由020,61()yx得 2058360.x解得 02,x或 01.5由 0得 03;由 05x得 057,y它们满足式，故点的坐标为(2,3)，或 (,)，或 18(,)，或 18(,).
