1、线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）1( )0Ar A nA AxAA 不 可 逆 有 非 零 解 是 的 特 征 值 的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 相 关 1 2( ) 0 ,T s inAr A nAxAA AA AAA p p p pAx 可 逆 只 有 零 解 的 特 征 值 全 不 为 零 的 列 （ 行 ） 向 量 线 性 无 关 是 正 定 矩 阵 与 同 阶 单 位 阵 等 价 是 初 等 阵 总 有 唯 一 解R 具 有向 量 组 等 价相 似 矩 阵 反 身 性 、 对 称 性 、 传 递 性矩 阵 合 同 关 于 1 2, , , ne e e
2、 ： 称 为 n 的 标 准 基 ， n 中 的 自 然 基 ， 单 位 坐 标 向 量 ； 1 2, , , ne e e 线 性 无 关 ； 1 2, , , 1ne e e ； tr( )=E n； 任 意 一 个 n维 向 量 都 可 以 用 1 2, , , ne e e 线 性 表 示 . 行 列 式 的 计 算 ： 若 A B与 都 是 方 阵 （ 不 必 同 阶 ） ,则 ( 1)mnA A A A BB B BA A BB 上 三 角 、 下 三 角 行 列 式 等 于 主 对 角 线 上 元 素 的 乘 积 . 关 于 副 对 角 线 ： ( 1)21 12 1 2 1 1
3、 2 11 1 ( 1)n nn nn n n n nn na aa a a a aa a 逆 矩 阵 的 求 法 : 1 AA A 线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）2 1( ) ( )A E E A 初 等 行 变 换 1 1a b d bc d c aad bc T T TT TA B A CC D B D 1 2111 12 1na an aa a a 21 1112 11 naan aaaa 1 11 1 12 21n nA AA AA A 1 112 1211 nn A AA AA A 方 阵 的 幂 的 性 质 ： m n m nA A A ( ) ( )
4、m n mnA A 设 11 1 0( ) m mm mf x a x a x a x a ， 对 n阶 矩 阵 A规 定 ： 11 1 0( ) m mm mf A a A a A a A a E 为 A的 一 个 多 项 式 . 设 , ,m n n sA B A 的 列 向 量 为 1 2, , , n , B 的 列 向 量 为 1 2, , , s ， AB 的 列 向 量 为1 2, , , sr r r ,1 2 1 21 2 1 1 2 2, 1,2, , , ( , , , ) ( , , , ) ,( , , , ) , , .i i s sTn n ni ii ir A
5、i s A A A A A Bb b b A b b bAB i r AAB i r B 则 ： 即 用 中 简 若 则 单 的 一 个 提即 ： 的 第 个 列 向 量 是 的 列 向 量 的 线 性 组 合 组 合 系 数 就 是 的 各 分 量 ； 高 运 算 速 度 的 第 个 行 向 量 是 的 行 向 量 的 线 性 组 合 组 合 系 数 就 是 的 各 分 量 用 对 角 矩 阵 左 乘 一 个 矩 阵 ,相 当 于 用 的 对 角 线 上 的 各 元 素 依 次 乘 此 矩 阵 的 行 向 量 ；用 对 角 矩 阵 右 乘 一 个 矩 阵 ,相 当 于 用 的 对 角 线 上
6、 的 各 元 素 依 次 乘 此 矩 阵 的 列 向 量 . 两 个 同 阶 对 角 矩 阵 相 乘 只 用 把 对 角 线 上 的 对 应 元 素 相 乘 ,与 分 块 对 角 阵 相 乘 类 似 ,即 ： 11 1122 22,kk kkA BA BA BA B 线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）311 11 22 22 kk kkA B A BAB A B 矩 阵 方 程 的 解 法 ： 设 法 化 成 AX B XA B (I) 或 (II)当 0A 时 , ,BA B E X 初 等 行 变 换 （ 当 为 一 列 时(I)的 解 法 ： 构 造 ( ) (
7、) 即 为 克 莱 姆 法 则 ）T T TT A X BX X(II)的 解 法 ： 将 等 式 两 边 转 置 化 为 ， 用 (I)的 方 法 求 出 ， 再 转 置 得 Ax 和 Bx 同 解 （ ,A B列 向 量 个 数 相 同 ） ,则 ： 它 们 的 极 大 无 关 组 相 对 应 ,从 而 秩 相 等 ； 它 们 对 应 的 部 分 组 有 一 样 的 线 性 相 关 性 ； 它 们 有 相 同 的 内 在 线 性 关 系 . 判 断 1 2, , , s 是 0Ax 的 基 础 解 系 的 条 件 ： 1 2, , , s 线 性 无 关 ； 1 2, , , s 是 0A
8、x 的 解 ； ( )s n r A 每 个 解 向 量 中 自 由 变 量 的 个 数 .1 零 向 量 是 任 何 向 量 的 线 性 组 合 ,零 向 量 与 任 何 同 维 实 向 量 正 交 .2 单 个 零 向 量 线 性 相 关 ； 单 个 非 零 向 量 线 性 无 关 .3 部 分 相 关 ,整 体 必 相 关 ； 整 体 无 关 ,部 分 必 无 关 .4 原 向 量 组 无 关 ,接 长 向 量 组 无 关 ； 接 长 向 量 组 相 关 ,原 向 量 组 相 关 .5 两 个 向 量 线 性 相 关 对 应 元 素 成 比 例 ； 两 两 正 交 的 非 零 向 量 组
9、 线 性 无 关 .6 向 量 组 1 2, , , n 中 任 一 向 量 i (1 i )n 都 是 此 向 量 组 的 线 性 组 合 .7 向 量 组 1 2, , , n 线 性 相 关 向 量 组 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余 1n 个 向 量 线 性 表 示 .线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）4向 量 组 1 2, , , n 线 性 无 关 向 量 组 中 每 一 个 向 量 i 都 不 能 由 其 余 1n 个 向 量 线 性 表 示 .8 m维 列 向 量 组 1 2, , , n 线 性 相 关 ( )r A n ；m维 列 向
10、 量 组 1 2, , , n 线 性 无 关 ( )r A n .9 ( ) 0r A A .10 若 1 2, , , n 线 性 无 关 ， 而 1 2, , , ,n 线 性 相 关 ,则 可 由 1 2, , , n 线 性 表 示 ,且 表 示 法 惟一 .11 矩 阵 的 行 向 量 组 的 秩 等 于 列 向 量 组 的 秩 .阶 梯 形 矩 阵 的 秩 等 于 它 的 非 零 行 的 个 数 .12 矩 阵 的 行 初 等 变 换 不 改 变 矩 阵 的 秩 ,且 不 改 变 列 向 量 间 的 线 性 关 系 .矩 阵 的 列 初 等 变 换 不 改 变 矩 阵 的 秩 ,
11、且 不 改 变 行 向 量 间 的 线 性 关 系 .向 量 组 等 价 1 2, , , n 和 1 2, , , n 可 以 相 互 线 性 表 示 . 记 作 ： 1 2 1 2, , , , , ,n n 矩 阵 等 价 A经 过 有 限 次 初 等 变 换 化 为 B. 记 作 ： A B13 矩 阵 A与 B等 价 ( ) ( ) ,r A r B A B 作 为 向 量 组 等 价 ,即 ： 秩 相 等 的 向 量 组 不 一 定 等 价 .矩 阵 A与 B作 为 向 量 组 等 价 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nr r 1 2 1 2( , , ,
12、, , , )n nr 矩 阵 A与 B等 价 .14 向 量 组 1 2, , , s 可 由 向 量 组 1 2, , , n 线 性 表 示 1 2 1 2( , , , , , , )n sr 1 2( , , , )nr 1 2( , , , )sr 1 2( , , , )nr .15 向 量 组 1 2, , , s 可 由 向 量 组 1 2, , , n 线 性 表 示 ,且 s n ， 则 1 2, , , s 线 性 相 关 .向 量 组 1 2, , , s 线 性 无 关 ,且 可 由 1 2, , , n 线 性 表 示 ,则 s n.16 向 量 组 1 2, ,
13、 , s 可 由 向 量 组 1 2, , , n 线 性 表 示 ,且 1 2( , , , )sr 1 2( , , , )nr ,则 两 向量 组 等 价 ；17 任 一 向 量 组 和 它 的 极 大 无 关 组 等 价 .18 向 量 组 的 任 意 两 个 极 大 无 关 组 等 价 ,且 这 两 个 组 所 含 向 量 的 个 数 相 等 .线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）519 若 两 个 线 性 无 关 的 向 量 组 等 价 ,则 它 们 包 含 的 向 量 个 数 相 等 .20 若 A是 m n 矩 阵 ,则 ( ) min ,r A m n
14、,若 ( )r A m ， A的 行 向 量 线 性 无 关 ；若 ( )r A n ， A的 列 向 量 线 性 无 关 ,即 ：1 2, , , n 线 性 无 关 .线 性 方 程 组 的 矩 阵 式 Ax 向 量 式 1 1 2 2 n nx x x 11 12 1 1 121 22 2 2 21 2 , ,nnm m mn n ma a a x ba a a x bA xa a a x b 12 , 1,2, ,jjj mj j n 线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）61 21 2 1 2 0, , , 0, , , ( ) ( ) , , , An An n
15、Ax Ax An Ax Ax AAx r A r A n 当 为 方 阵 时当 为 方 阵 时有 无 穷 多 解 有 非 零 解线 性 相 关 有 唯 一 组 解 只 有 零 解可 由 线 性 表 示 有 解 线 性 无 关 1 2 ( ) ( ), , , ( ) ( )( ) 1 ( ) An r A r AAx r A r Ar A r A 当 为 方 阵 时 克 莱 姆 法 则 不 可 由 线 性 表 示 无 解 矩 阵 转 置 的 性 质 ： ( )T TA A ( )T T TAB B A ( )T TkA kA TA A ( )T T TA B A B 矩 阵 可 逆 的 性 质
16、 ： 1 1( )A A 1 1 1( )AB B A 1 1 1( )kA k A 11A A 1 1( ) ( )T TA A 1 1( ) ( )k k kA A A 伴 随 矩 阵 的 性 质 ： 2( ) nA A A ( )AB B A 1( ) nkA k A 1nA A 1 1( ) ( )( ) ( ) AAT TA AA A ( ) ( )k kA A AA A A A E 线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）7( ) ( ) 1 ( ) 10 ( ) 1 n r A nr A r A nr A n 若若若 AB A B nkA k A kkA A线
17、性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）8线 性 方 程 组 解 的 性 质 ： 1 2 1 21 21 2 1 1 2 21 2 1 2(1) , 0 ,(2) 0 , ,(3) , , , 0 , , , ,(4) , 0 ,(5) , , 0(6) kk k kAxAx k kAx kAx Ax AxAx Ax 是 的 解 也 是 它 的 解 是 的 解 对 任 意 也 是 它 的 解 齐 次 方 程 组 是 的 解 对 任 意 个 常 数 也 是 它 的 解 是 的 解 是 其 导 出 组 的 解 是 的 解 是 的 两 个 解 是 其 导 出 组 的 解2 1 1 21
18、 2 1 1 2 2 1 21 1 2 2 1 2, 0(7) , , , , 10 0k k k kk k kAx AxAx AxAx 是 的 解 则 也 是 它 的 解 是 其 导 出 组 的 解 是 的 解 则 也 是 的 解 是 的 解 设 A为 m n 矩 阵 ,若 ( )r A m ,则 ( ) ( )r A r A ,从 而 Ax 一 定 有 解 .当 m n 时 ,一 定 不 是 唯 一 解 . 方 程 个 数 未 知 数 的 个 数向 量 维 数 向 量 个 数 ,则 该 向 量 组 线 性 相 关 .m是 ( ) ( )r A r A 和 的 上 限 . 矩 阵 的 秩 的
19、 性 质 ： ( ) ( ) ( )T Tr A r A r A A ( )r A B ( ) ( )r A r B ( )r AB min ( ), ( )r A r B ( ) 0( ) 0 0r A kr kA k 若 若 ( ) ( )Ar r A r BB 0, ( )A r A若 则 1 , , ( ) 0, ( ) ( )m n n sA B r AB r A r B 若 且 则 n , ( ) ( ) ( )P Q r PA r AQ r A 若 可 逆 ,则 , ( ) ( )A r AB r B若 可 逆 则, ( ) ( )B r AB r A若 可 逆 则线 性 代 数
20、 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）9 ( ) , ( ) ( ),r A n r AB r B 若 则 且 A在 矩 阵 乘 法 中 有 左 消 去 律 : 0AB BAB AC B C 标 准 正 交 基 n个 n维 线 性 无 关 的 向 量 ,两 两 正 交 ,每 个 向 量 长 度 为 1. 与 正 交 ( , ) 0 . 是 单 位 向 量 ( , ) 1 . 内 积 的 性 质 ： 正 定 性 ： ( , ) 0, ( , ) 0 且 对 称 性 ： ( , ) ( , ) 双 线 性 ： 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2( , ) ( ,
21、 ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )c c c 施 密 特 1 2 3, , 线 性 无 关 , 1 1 2 12 2 11 13 1 3 23 3 1 21 1 2 2( , )( )( , ) ( , )( ) ( ) 正 交 化单 位 化 ： 11 1 22 2 33 3 正 交 矩 阵 TAA E . A是 正 交 矩 阵 的 充 要 条 件 ： A的 n个 行 （ 列 ） 向 量 构 成 n 的 一 组 标 准 正 交 基 . 正 交 矩 阵 的 性 质 ： 1TA A ； T TAA A A E ； A是 正 交 阵 ,则TA （ 或 1A ） 也 是 正 交 阵
22、； 两 个 正 交 阵 之 积 仍 是 正 交 阵 ； 正 交 阵 的 行 列 式 等 于 1或 -1.线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）10A的 特 征 矩 阵 E A .A的 特 征 多 项 式 ( )E A f .A的 特 征 方 程 0E A . Ax x Ax x 与 线 性 相 关 上 三 角 阵 、 下 三 角 阵 、 对 角 阵 的 特 征 值 就 是 主 对 角 线 上 的 n各 元 素 . 若 0A ,则 0 为 A的 特 征 值 ,且 0Ax 的 基 础 解 系 即 为 属 于 0 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 . 1 2 nA 1n i
23、 A tr 若 ( ) 1r A ,则 A一 定 可 分 解 为 A= 12 1 2, , , nnaa b b ba 、 2 1 1 2 2( )n nA ab a b a b A ,从 而 A的 特 征 值 为 ： 1 1 1 2 2 n nA ab a b a b tr , 2 3 0n . 若 A的 全 部 特 征 值 1 2, , , n ， ( )f x 是 多 项 式 ,则 : ( )f A 的 全 部 特 征 值 为 1 2( ), ( ), , ( )nf f f ； 当 A可 逆 时 , 1A 的 全 部 特 征 值 为1 21 1 1, , , n ,A的 全 部 特 征
24、 值 为 1 2, , , nA A A . 11 22, .mm AkkA a baA bEAA AAA 是 的 特 征 值 则 : 分 别 有 特 征 值 11 22, mm AkkA a baA bEAx A x AAA 是 关 于 的 特 征 向 量 则 也 是 关 于 的 特 征 向 量 .A与 B相 似 1B P AP （ P为 可 逆 阵 ） 记 为 ： A B线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）11 A相 似 于 对 角 阵 的 充 要 条 件 ： A恰 有 n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 . 这 时 ,P为 A的 特 征 向 量 拼 成的 矩
25、阵 ， 1P AP 为 对 角 阵 ,主 对 角 线 上 的 元 素 为 A的 特 征 值 . A可 对 角 化 的 充 要 条 件 ： ( )i in r E A k ik 为 i 的 重 数 . 若 n阶 矩 阵 A有 n个 互 异 的 特 征 值 ,则 A与 对 角 阵 相 似 .A与 B正 交 相 似 1B P AP （ P为 正 交 矩 阵 ） 相 似 矩 阵 的 性 质 ： 1 1A B 若 ,A B均 可 逆 T TA B k kA B （ k 为 整 数 ） E A E B ,从 而 ,A B有 相 同 的 特 征 值 ,但 特 征 向 量 不 一 定 相 同 .即 :x是 A
26、关 于 0 的 特 征 向 量 , 1P x 是 B关 于 0 的 特 征 向 量 . A B 从 而 ,A B同 时 可 逆 或 不 可 逆 ( ) ( )r A r B ( ) ( )A Btr tr 数 量 矩 阵 只 与 自 己 相 似 . 对 称 矩 阵 的 性 质 ： 特 征 值 全 是 实 数 ,特 征 向 量 是 实 向 量 ； 与 对 角 矩 阵 合 同 ； 不 同 特 征 值 的 特 征 向 量 必 定 正 交 ； k 重 特 征 值 必 定 有 k 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ； 必 可 用 正 交 矩 阵 相 似 对 角 化 （ 一 定 有 n个 线 性 无
27、 关 的 特 征 向 量 , A可 能 有 重的 特 征 值 ,重 数 = ( )n r E A ） .A可 以 相 似 对 角 化 A与 对 角 阵 相 似 . 记 为 ： A （ 称 是 A的 相 似 标 准 型 ） 若 A为 可 对 角 化 矩 阵 ,则 其 非 零 特 征 值 的 个 数 （ 重 数 重 复 计 算 ） ( )r A .线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）12 设 i 为 对 应 于 i 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ,则 有 ： 1 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ,
28、, ,n n n n n nPA A A A . 若 A B , C D ,则 ： A BC D . 若 A B ,则 ( ) ( )f A f B , ( ) ( )f A f B .二 次 型 1 2( , , , ) Tnf x x x X AX A为 对 称 矩 阵 1 2( , , , )TnX x x x A与 B合 同 TB C AC . 记 作 ： A B （ , ,A B C为 对 称 阵 为 可 逆 阵 ） 两 个 矩 阵 合 同 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 它 们 有 相 同 的 正 负 惯 性 指 数 . 两 个 矩 阵 合 同 的 充 分 条 件 是 ： A
29、B 两 个 矩 阵 合 同 的 必 要 条 件 是 ： ( ) ( )r A r B 1 2( , , , ) Tnf x x x X AX 经 过 正 交 变 换合 同 变 换可 逆 线 性 变 换 X CY 化 为 21 2 1( , , , ) nn i if x x x d y 标 准 型 . 二 次 型 的 标 准 型 不 是 惟 一 的 ,与 所 作 的 正 交 变 换 有 关 ,但 系 数 不 为 零 的 个 数 是 由 ( )r A正 惯 性 指 数 负 惯 性 指 数惟 一 确 定 的 . 当 标 准 型 中 的 系 数 id 为 1， -1或 0时 ,则 为 规 范 形 .
30、 实 对 称 矩 阵 的 正 （ 负 ） 惯 性 指 数 等 于 它 的 正 （ 负 ） 特 征 值 的 个 数 .线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）13 任 一 实 对 称 矩 阵 A与 惟 一 对 角 阵 1 1 1 1 0 0 合 同 . 用 正 交 变 换 法 化 二 次 型 为 标 准 形 :1 求 出 A的 特 征 值 、 特 征 向 量 ；2 对 n个 特 征 向 量 单 位 化 、 正 交 化 ；3 构 造 C（ 正 交 矩 阵 ） , 1C AC ；4 作 变 换 X CY ,新 的 二 次 型 为 21 2 1( , , , ) nn i if x
31、x x d y ,的 主 对 角 上 的 元 素 id 即 为 A的特 征 值 .正 定 二 次 型 1 2, , , nx x x 不 全 为 零 ， 1 2( , , , ) 0nf x x x .正 定 矩 阵 正 定 二 次 型 对 应 的 矩 阵 . 合 同 变 换 不 改 变 二 次 型 的 正 定 性 . 成 为 正 定 矩 阵 的 充 要 条 件 （ 之 一 成 立 ） ：1 正 惯 性 指 数 为 n；2 A的 特 征 值 全 大 于 0；3 A的 所 有 顺 序 主 子 式 全 大 于 0；4 A合 同 于 E， 即 存 在 可 逆 矩 阵 Q使 TQ AQ E ；5 存 在 可 逆 矩 阵 P， 使 TA P P （ 从 而 0A ） ；线 性 代 数 公 式 定 理 大 全 （ 精 简 版 ）146 存 在 正 交 矩 阵 ， 使 1 21T nC AC C AC （ i 大 于 0） . 成 为 正 定 矩 阵 的 必 要 条 件 ： 0iia ； 0A .
