1、广州新东方优能全科培训中心- 1 -2009 届高考数学概念方法题型易误点技巧总结（五）平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知 A（1,2），B（4,2），则把向量按向量 （1,3）平移后得到的向量是 _（答：（3,0）ABa（2）零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；0（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是 )；AB|AB（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递
2、性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作：ab ，规定零向量和任何向量平行。提醒：ab相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0三点 共线 共线；ABC、 、 A、（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。aa如下列命题：（1）若 ，则 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相ab同。（3）若 ，则 是平行四边形。（4 ）若 是平行四边形，则 。（5 ）若ABD
3、C ABCDABDC，则 。（6 ）若 ，则 。其中正确的是_（答：（4）（5 ）,abca/,abc/a2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；AB（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；abc（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基xyij底，则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标， 叫做向a,xiyj,a,xy量 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。a广州新东方优能全科培训中心- 2 -3.平面向量的基本定理：如果 e1
4、和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数、 ，使 a= e1 e2。12如（1）若 ，则 _（答： ）；(,)b(,)(1,2)cc132b（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. 12(0,)(,)e12(,)(5,7)eC. D. （答： B）；3,56,0 13,4（3）已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可用向量 表示,ADBEACB,ADaEbC,ab为_ （答： ）；243ab（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 的值是 2 sBrCsr_（答： 0）4、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作
5、，它的长度和方向规定如下：aa当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0；当 P 点在线段 12P P 的延长线上时 1；当 P 点在线段 P P 的延长线上时 ；若点 P 分有向线段121 0所成的比为 ，则点 P 分有向线段 所成的比为 。如若点 分 所成的比为 ，则 分2 21AB34A所成的比为_（答： ）B73（3）线段的定比分点公式：设 、 ， 分有向线段 所成的比为 ，则1(,)xy2(,)Pxy(,)x12P，特别地，当 1 时，就得到线段 P P 的中点公式 。在使用定比分点的12xy1212xy坐标公式时，应明确 ， 、 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算(
6、,)xy1,)2(,)xy时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 。如（1）若 M（ -3，-2 ），N（ 6，-1），且 ，则点 P 的坐标为_（答：1MPN3）；（2）已知 ，直线 与线段 交于 ，且 ，7(6,)3(,0)3,2)AaB2yaxABM2AB则 等于_（答：或）a11.平移公式：如果点 按向量 平移至 ，则 ；曲线 按(,)Pxy,hk(,)Pxyxhyk(,)0fxy向量 平移得曲线 .,ahk,0f广州新东方优能全科培训中心- 7 -注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（1）
7、按向量 把 平移到 ，则按向量 把点 平移到点_ （答：a(2,3)(1,2)a(7,2)（，）；（2）函数 的图象按向量 平移后，所得函数的解析式是 ，则xysin12cosxy_ （答： ）a)1,4(12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） ，特别地，当 同向或有|abab ab、 0|ab；当 反向或有 ；当 不共线| 、 0| 、(这些和实数比较类似).|（3）在 中，ABC若 ，则其重心的坐标为 。123,xyxy123123,xyG如若 ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4 ）、（-1，-1），则ABC 的重心的坐标为_（答： ）；(,)3 为 的重心，特别地 为 的)PGABPCGAB0PABCPABC重心； 为 的垂心；C向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线)；()(0|ABCABA 的内心；|PP（4）若 P 分有向线段 所成的比为 ，点 为平面内的任一点，则 ，特别地12M12MP为 的中点 ；12M（4）向量 中三终点 共线 存在实数 使得 且 ABC、 、 ABC、 、 、 ABC.如平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 , ,若点 满足1O)13(A)B O,其中 且 ,则点 的轨迹是 _（答：直线 AB） O2R21,121
