1、1换元法在代数中的应用上海市桃李园实验学校 戚元彬换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，现举例说明.1.用换元法分解因式例 1.分解因式: .1)(2)(nmn解:设 ,则ym原式= 1)(2= y= 32= )1(y= .nm点评:运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.2.用换元法解分式方程和无理方程例 2.解方程： (1) ；0272xx(2) .14)(3解: (1)原方程可化为:. 02)(72)1( xx设 ,则方程化为:y. 06
2、72解方程,得.3,21y当 时，.x解得, .212当 时,23y.1x解得, 或 .x经检验,知 , , , 都是原方程的解.21213x4所以,原方程的解为 , , , .x2324x点评:运用换元法解分式方程,主要有三种情况.一是原方程可化为关于某一个分式的二次方程(如，本例题),这时,只须设这一分式为辅助元即可；二是原方程中含有未知数的几个分式，除数字系数外，互为倒数关系（如，解方程： ） ，这时，242x只须设其中一个分式为辅助元即可；三是含有未知数的各个分式的分母都是关于未知数的二次三项式，且二次项系数和一次项系数对应成比例（如，解方程） ，这时，只须设二次项系数的绝对值最小的多
3、项式为辅助21122xx元即可.(2)原方程可化为:. 0874)74(322 x设 ,则方程化为:yx. 082y解方程,得.34,21当 时,y.742x解得, .3,12当 时,2y.347x此方程无解.经检验,知 都是原方程的解.,12所以,原方程的解为 .3,x3点评:解比较复杂的无理方程时,如果用两边平方的方法,将出现高次方程,增加解题难度,此时若能根据方程的特点,灵活地应用换元法,则可以实现化繁为简、化难为易的目的.在采用换元法解无理方程时,一般设整个根式为辅助元,这样不仅能简化方程,而且往往能直接把无理方程化为有理方程.3.用换元法解高次方程例 3.解方程: .3)4()2(1
4、xx解:原方程可化为:.)()4(x即 .36522 x设 ,则方程化为:yx5.3)1(y解得, .2当 时,y.52x解方程,得.213当 时,y.52x,0方程无实数根.因此,原方程的根为 .2135,213521xx点评:解一元高次方程的基本思想是降次,而换元法是降次的一种基本方法.4.用换元法解方程组例 4.解方程组: .32,8yx解:设 ,则原方程组可化为:vu,34.3,172vu)2(由(2)得, . (3)将(3)代入(1),得.17)(2v解得, ( 不能为负,舍去).4,212y .u得 .,3yx解得, .1,9经检验,知 是原方程组的解.yx所以,原方程组的解为 .19点评:妙用换元法,将无理方程组化为有理方程组,从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.5.用换元法求值例 5.计算: )205131)(20631( .解:设 ,则x21原式= )2061()061)(x= 2 x= .点评:在计算求值时,常妙用换元法,把一个代数式用一个新元进行代换.以新元参与有关运算,大大简化了计算过程.说明:本文发表于 2006 年 11 月 27 日的上海中学生报上 。
