1、数算真的很关键的方法 86079数算真的很关键的方法.txt41 滴水能穿石，只因为它永远打击同一点。42 火柴如果躲避燃烧的痛苦，它的一生都将黯淡无光。年龄问题解年龄问题，一般要抓住以下三条规律：（1）不论在哪一年，两个人的年龄差总是确定不变的；（2）随着时间向前（过去）或向后（将来）推移，两个人或两个以上人的年龄一定减少或增加相等的数量；（3）随着时间的变化，两个人年龄之间的倍数关系一定会改变。【例 1】妈妈今年 43 岁，女儿今年 11 岁，几年后妈已屏蔽，想办法跳过屏蔽将直接禁言年龄是女儿的 3 倍？几年前妈已屏蔽，想办法跳过屏蔽将直接禁言年龄是女儿的 5 倍？【分析】无论在哪一年，妈
2、妈和女儿的年龄总是相差43-11=32（岁）当妈已屏蔽，想办法跳过屏蔽将直接禁言年龄是女儿的 3 倍时，女儿的年龄为（43-11）（3-1）=16（岁）16-11=5（岁）说明那时是在 5 年后。同样道理，由11-（43-11）（5-1）=3（年）可知，妈妈年龄是女儿的 5 倍是在 3 年前。【例 2】今年，父亲的年龄是女儿的 4 倍，3 年前，父亲和女儿年龄的和是 49 岁。父亲、女儿今年各是多少岁？【分析】从 3 年前到今年，父亲、女儿都长了 3 岁，他们今年的年龄之和为49+32=55（岁）由“55 （4+1） ”可算出女儿今年 11 岁，从而，父亲今年 44岁。排列组合问题 I一、知识
3、点：分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，在第 n 类办法中有 种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步有 种不同的方法，做第 n 步有 种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的” ，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以
4、下几种常用的解题方法：特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个.（答案：30 个）科学分类法 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生 例如：从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任取 5 台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_种.（答案：350）插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排一些
5、元素然后插入其余元素，使问题得以解决 例如：7 人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_.(答案:3600)捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 例如：6 名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种.（答案：240）排除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合0，1，2，3，5，7，11中任取 3 个元素分别作为直线方程A
6、x+By+C=0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条.（答案：30）三、讲解范例：例 1 由数字、组成无重复数字的七位数 (1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数 解 (1)：因为三个偶数、必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：第一步将、四个数字排好有 种不同的排法；第二步将、三个数字“捆绑”在一起有 种不同的“捆绑”方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有 种不同的“插入”方法 根据乘法原理共有 720 种不同的排法 所以共有 72
7、0 个符合条件的七位数 解（2）：因为三个偶数、互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步将、四个数字排好，有 种不同的排法；第二步将、分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙” （包括两端的两个位置）中的三个位置上，有 种“插入”方法 根据乘法原理共有 1440 种不同的排法 所以共有 1440 个符合条件的七位数 例 将、分成三组，共有多少种不同的分法？解：要将、分成三组，可以分为三类办法：（）分法、 （）分法、 （）分法 下面分别计算每一类的方法数：（因为是分组，故在每一组内不是乘法，但是由于这件事情是分步完成，所以组与组之间也就是步与步之间是乘法，虽然如此，但是又
8、因为仅仅是分组，故 1，2，3 和3，2，1 和 3，1，2 都是一组，故需要把这三步看作是一个大组，除以步内排列数才是最终分组数）第一类（）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两种解法 解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有 种不同的分法 解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有 种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有 种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以 所以共有 15 种不同的分组方法 第二类（）分法，这是一类整体和局部均不等分
9、的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有 种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有 种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有 60 种不同的分组方法 第三类（）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有 种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有 种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组 由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以 ，因此共有 15 种不同的分组方法 根据加法原理，将、六个元素分成三组共有：15601590 种不同的方法 例 一排九个
10、坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有 种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有 种不同的“插入”方法 根据乘法原理共有 7200 种不同的坐法 排列组合问题 II一、相临问题-整体捆绑法 例 17 名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。捆绑法:要求某几个元素必须
11、排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法。练习：5 个男生 3 个女生排成一排,3 个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解 因为女生要排在一起,所以可以将 3 个女生看成是一个人,与 5个男生作全排列,有 A66 种排法,其中女生内部也有 A33 种排法,根据乘法原理,共有 A33*A66 种
12、不同的排法.二、不相临问题-选空插入法 例 2 7 名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为： 种 .插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。练习： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票 12 张。8 个学生，4 个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的
13、要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有 7个空档可插,选其中的 4 个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.三、复杂问题-总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法” ，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例 3.(1996 年全国高考题)正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中3 个点为顶点的三角形共有 个.解：从 7 个点中取 3 个点的取法有 种，但其中正六边形的
14、对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有 3 条，所以满足条件的三角形共有 332 个.练习： 我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.解 43 人中任抽 5 人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书记至少有 1 人在内的抽法有 种.四、特殊元素-优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应
15、用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例 4 (1995 年上海高考题) 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有 种，而其余学生的排法有 种，所以共有 72 种不同的排法.例 5 （2000 年全国高考题）乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名队员参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排
16、法，而其余 7 名队员选出 2 名安排在第二、四位置，有 种排法，所以不同的出场安排共有 252 种.五、多元问题-分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。例 6 （2003 年北京春招）某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）A42 B30 C20 D12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有 A62 种；2.相临：共有 A22A61 种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选 A。例 7 （2003 年全国高考试题）如图，一个
17、地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：区域与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色 用三种颜色着色有 =24 种方法, 用四种颜色着色有 =48 种方法？,从而共有 24+48=72 种方法,应填 72. 六、混合问题-先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略例 8 （2002 年北京高考）12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案共有（ ）A 种 B 种 C 种 D 种解：本试
18、题属于均分组问题。则 12 名同学均分成 3 组共有 种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选 A。 例 9 （2003 年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（） A24 种 B18 种 C12 种 D6 种 解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C32 种,不同的排法有: A31?A22,故不同的种植方法共有 A31?C32?A22=12，故应选 C. 七相同元素分配-档板分隔法 例 10？把 10 本相同的书发给编号为 1、2、3 的三个学生阅览室，每个阅览
19、室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。解：先让 2、3 号阅览室依次分得 1 本书、2 本书；再对余下的 7 本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在 7 本相同书之间的 6 个“空档”内插入两个相同“I” （一般可视为“隔板” ）共有 种插法，即有 15 种分法。八转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.例 11 高二年级 8 个班,组织一个 12 个人的年级学生分会,每班要求至少 1 人,名额分配方案有多少种?分析 此题若直
20、接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.解： 此题可以转化为:将 12 个相同的白球分成 8 份,有多少种不同的分法问题,因此须把这 12 个白球排成一排,在 11 个空档中放上 7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成 8 份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有 种.九剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.例 12 袋中有 5 分硬币 23 个,1 角硬币 10 个,如果从袋中取出 2 元钱,有多少种取法?分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑
21、取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.0523+0.1010=2.15 元,所以比 2 元多 0.15 元,所以剩下 0.15 元即剩下 3 个 5 分或 1 个 5 分与 1 个 1 角,所以共有 种取法.十对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.例 13 期中安排考试科目 9 门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两
22、种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.解 不加任何限制条件,整个排法有 种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的, 所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.十平均分组问题:例 146 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人 2 本；（2）分为三份，每份 2 本；（3）分为三份，一份 1 本，一份 2 本，一份 3 本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少 1 本。
23、解：（1）根据分步计数原理得到： 种；（2）分给甲、乙、丙三人，每人两本有 种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 种方法根据分步计数原理可得： ，所以 因此，分为三份，每份两本一共有 15 种方法。（3）这是“不均匀分组”问题，一共有 种方法（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有 种方法（5）可以分为三类情况：“2、2、2 型”即（1）中的分配情况，有 种方法；“1、2、3 型”即（4）中的分配情况，有 种方法；“1、1、4型” ，有 种方法，所以，一共有 90+360+90540 种方法总之，排列、组合应
24、用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。鸡兔同笼一、基本问题 “鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在孙子算经中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法-“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.例 1 有若干只鸡和兔子，它们共有 88 个头，244 只脚，鸡和兔各有多少只？解：我们
25、设想，每只鸡都是“金鸡独立” ，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，?也就是2442=122（只）.在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从 122 减去总头数 88，剩下的就是兔子头数122-88=34，有 34 只兔子.当然鸡就有 54 只.答：有兔子 34 只，鸡 54 只.上面的计算，可以归结为下面算式：总脚数2-总头数=兔子数.上面的解法是孙子算经中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和 2，4 又是 2 的 2 倍.可是，当其他问题
26、转化成这类问题时， “脚数”就不一定是 4 和 2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.还说例 1.如果设想 88 只都是兔子，那么就有 488 只脚，比 244 只脚多了884-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（884-244）（4-2）= 54（只）.说明我们设想的 88 只“兔子”中，有 54 只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想 88 只都是“鸡” ，那么共有脚288=176（只） ，比 244 只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只
27、脚，682=34（只）.说明设想中的“鸡” ，有 34 只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.例 2 红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支 0.11 元，两种铅笔共买了 16 支，花了 2.80 元.问红、蓝铅笔各买几支？解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有 11 只脚，一种“兔子”有 19 只脚，它们共有 16 个头，280 只脚.现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡
28、兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=（1916-280）（19-11）=248=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔.对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例 2 中的“脚数”19 与 11 之和是 30.我们也可以设想 16 只中，8 只是“兔子” ，8 只是“鸡” ，根据这一设想，脚数是8（11+19）=240.比 280 少 40.40（19-11）=5.就知道设想中的 8 只“鸡”应少 5 只，也就是“鸡” （蓝铅笔）数是 3.308 比 1916 或 1116 要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际
29、上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想 16只中， “兔数”为 10， “鸡数”为 6，就有脚数1910+116=256.比 280 少 24.24（19-11）=3，就知道设想 6 只“鸡” ，要少 3 只.要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子.例 3 一份稿件，甲单独打字需 6 小时完成.乙单独打字需 10 小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7 小时.甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成 30 份（30 是 6 和 10 的最小公倍数） ，甲每小时打 306=5（份） ，乙每小时打 3010=3（份
30、）.现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是 7.“兔”的脚数是 5， “鸡”的脚数是 3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.根据前面的公式“兔”数=（30-37）（5-3）=4.5，“鸡”数=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了 4.5 小时，乙打字用了 2.5 小时.答：甲打字用了 4 小时 30 分.例 4 今年是 1998 年，父母年龄（整数）和是 78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁.四年后（2002 年）父的年龄是弟的年龄的 4 倍，母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，是公元哪一年？解：4 年后，两人年龄和都
31、要加 8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是 78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25 是“总头数”.86 是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是（254-86）（4-3）=14（岁）.1998 年，兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是（25-14）4-4=40（岁）.因此，当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时，兄的年龄是（40-10）（3-1）=15（岁）.这是 2003 年.答：公元 2003 年时，父年龄是兄年龄的 3 倍.例 5 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和1 对翅膀.现在这三种小虫共 18 只，有 1
32、18 条腿和 20 对翅膀.每种小虫各几只？解：因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8 条腿”与“6 条腿”两种.利用公式就可以算出 8 条腿的蜘蛛数=（118-618）（8-6）=5（只）.因此就知道 6 条腿的小虫共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蝉共有 13 只，它们共有 20 对翅膀.再利用一次公式蝉数=（132-20）（2-1）=6（只）.因此蜻蜓数是 13-6=7（只）.答：有 5 只蜘蛛，7 只蜻蜓，6 只蝉.例 6 某次数学考试考五道题，全班 52 人参加，共做对 181 道题，已知每人至少做对 1 道题，做对 1 道的有 7 人，5 道全对的有
33、6 人，做对 2 道和 3 道的人数一样多，那么做对 4 道的人数有多少人？解：对 2 道、3 道、4 道题的人共有52-7-6=39（人）.他们共做对181-17-56=144（道）.由于对 2 道和 3 道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人（2+3）2=2.5）.这样兔脚数=4，鸡脚数=2.5，总脚数=144，总头数=39.对 4 道题的有（144-2.539）（4-1.5）=31（人）.答：做对 4 道题的有 31 人.二、 “两数之差”的问题鸡兔同笼中的总头数是“两数之和” ，如果把条件换成“两数之差” ，又应该怎样去解呢？例 7 买一些 4 分和 8 分的邮票
34、，共花 6 元 8 角.已知 8 分的邮票比 4 分的邮票多 40 张，那么两种邮票各买了多少张？解一：如果拿出 40 张 8 分的邮票，余下的邮票中 8 分与 4 分的张数就一样多.（680-840）（8+4）=30（张） ，这就知道，余下的邮票中，8 分和 4 分的各有 30 张.因此 8 分邮票有40+30=70（张）.答：买了 8 分的邮票 70 张，4 分的邮票 30 张.也可以用任意假设一个数的办法.解二：譬如，假设有 20 张 4 分，根据条件“8 分比 4 分多 40张” ，那么应有 60 张 8 分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是420+860=560.比 680 少，
35、因此还要增加邮票.为了保持“差”是 40，每增加1 张 4 分，就要增加 1 张 8 分，每种要增加的张数是（680-420-860）（4+8）=10（张）.因此 4 分有 20+10=30（张） ，8 分有 60+10=70（张）.例 8 一项工程，如果全是晴天，15 天可以完成.倘若下雨，雨天一天 工程要多少天才能完成？解：类似于例 3，我们设工程的全部工作量是 150 份，晴天每天完成 10 份，雨天每天完成 8 份.用上一例题解一的方法，晴天有（150-83）（10+8）= 7（天）.雨天是 7+3=10 天，总共7+10=17（天）.答：这项工程 17 天完成.请注意，如果把“雨天比
36、晴天多 3 天”去掉，而换成已知工程是 17 天完成，由此又回到上一节的问题.差是 3，与和是 17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例 7、例 8 与上一节基本问题之间的关系.总脚数是“两数之和” ，如果把条件换成“两数之差” ，又应该怎样去解呢？例 9 鸡与兔共 100 只，鸡的脚数比兔的脚数少 28.问鸡与兔各几只？解一：假如再补上 28 只鸡脚，也就是再有鸡 282=14（只） ，鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚 42=2（倍） ，于是鸡的只数是兔的只数的 2 倍.兔的只数是（100+282）（2+1）=38（只）.鸡是100-38=62（只）.答：鸡 62 只，兔 38 只.当然
37、也可以去掉兔 284=7（只）.兔的只数是（100-284）（2+1）+7=38（只）.也可以用任意假设一个数的办法.解二：假设有 50 只鸡，就有兔 100-50=50（只）.此时脚数之差是450-250=100，比 28 多了 72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是 100，一只兔换成一只鸡，少了 4 只兔脚，多了 2 只鸡脚，相差为 6 只（千万注意，不是 2）.因此要减少的兔数是（100-28）（4+2）=12（只）.兔只数是50-12=38（只）.另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差” ，总脚数也换成“两数之差”.例 10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都
38、是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多 13 首，总字数却反而少了 20 个字.问两种诗各多少首.解一：如果去掉 13 首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差1354+20=280（字）.每首字数相差74-54=8（字）.因此，七言绝句有28（28-20）=35（首）.五言绝句有35+13=48（首）.答：五言绝句 48 首，七言绝句 35 首.解二：假设五言绝句是 23 首，那么根据相差 13 首，七言绝句是 10 首.字数分别是 2023=460（字） ，2810=280（字） ，五言绝句的字数，反而多了460-280=180（字）.与题目中“
39、少 20 字”相差180+20=200（字）.说明假设诗的首数少了.为了保持相差 13 首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假设增加2008=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.七言绝句有10+25=35（首）.在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例 7、例 9 和例 10 三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事.例 7，假设都是 8 分邮票，4 分邮票张数是（680-840）（8+4）=30（张）.例 9，假设都是兔，鸡的只数是（100
40、4-28）（4+2）=62（只）.10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是（2013+20）（28-20）=35（首）.首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.例 11 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只 2 角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿 1 元.结果得到运费 379.6 元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？解：如果没有破损，运费应是 400 元.但破
41、损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是（400-379.6）（1+0.2）=17（只）.答：这次搬运中破损了 17 只玻璃瓶.请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？例 12 有两次自然测验，第一次 24 道题，答对 1 题得 5 分，答错（包含不答）1 题倒扣 1 分；第二次 15 道题，答对 1 题 8 分，答错或不答 1 题倒扣 2 分，小明两次测验共答对 30 道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多 10 分，问小明两次测验各得多少分？解一：如果小明第一次测验 24 题全对，得 524=120（分）.那么第二次只做对 30-24=6（题）得分是86-2（15-6）
42、=30（分）.两次相差120-30=90（分）.比题目中条件相差 10 分，多了 80 分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得 5+1=6（分） ，而第二次答对增加一题不但不倒扣 2 分，还可得 8 分，因此增加 8+2=10 分.两者两差数就可减少6+10=16（分）.（90-10）（6+10）=5（题）.因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少 5 题，也就是第一次答对 19 题，第二次答对 30-19=11（题）.第一次得分519-1（24- 9）=90.第二次得分811-2（15-11）=80.答：第一次得 90 分，第二次得 80 分.解二：答对 30 题
43、，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去 5+1=6（分） ，第二次答错一题，要从满分中扣去 8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差 6+10=16（分）.如果答错 9 题都是第一次，要从满分中扣去 69.但两次满分都是 120 分.比题目中条件“第一次得分多 10 分” ，要少了 69+10.因此，第二次答错题数是（69+10）（6+10）=4（题）?第一次答错 9-4=5（题）.第一次得分 5（24-5）-15=90（分）.第二次得分 8（15-4）-24=80（分）.三、从“三”到“二” “鸡”和“兔”是两种东西，实际上还有三种或者更多种东
44、西的类似问题.在第一节例 5 和例 6 就都有三种东西.从这两个例子的解法，也可以看出，要把“三种”转化成“二种”来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法.例 13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共 232 支，共花了 300 元.其中铅笔数量是圆珠笔的 4 倍.已知铅笔每支 0.60 元，圆珠笔每支 2.7 元，钢笔每支 6.3 元.问三种笔各有多少支？解：从条件“铅笔数量是圆珠笔的 4 倍” ，这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作（0.604+2.7）5=1.02（元）.现在转化成价格为 1.02 和 6.3 两种笔.用
45、“鸡兔同笼”公式可算出，钢笔支数是（300-1.02232）（6.3-1.02）=12（支）.铅笔和圆珠笔共23212220（支）.其中圆珠笔220（4+1）=44（支）.铅笔220-44=176（支）.答：其中钢笔 12 支，圆珠笔 44 支，铅笔 176 支.例 14 商店出售大、中、小气球，大球每个 3 元，中球每个 1.5元，小球每个 1 元.张老师用 120 元共买了 55 个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？解：因为总钱数是整数，大、小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是 3 的整数倍.我们设想买中球、小球钱中各出 3 元.就可买 2 个中
46、球，3 个小球.因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是（1.52+13）（2+3）=1.2（元）.从公式可算出，大球个数是（120-1.255）（3-1.2）=30（个）.买中、小球钱数各是（120-303）2=15（元）.可买 10 个中球，15 个小球.答：买大球 30 个、中球 10 个、小球 15 个.例 13 是从两种东西的个数之间倍数关系，例 14 是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法） ，把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把“三”转化成“二”了.例 15 是为例 16 作准备.例 15 某人去时上坡速度为每小时走 3 千米，回来时下坡
47、速度为每小时走 6 千米，求他的平均速度是多少？解：去和回来走的距离一样多.这是我们考虑问题的前提.平均速度=所行距离所用时间去时走 1 千米，要用 20 分钟；回来时走 1 千米，要用 10 分钟.来回共走 2 千米，用了 30 分钟，即半小时，平均速度是每小时走 4千米.千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走（6+3）2=4.5 千米.例 16 从甲地至乙地全长 45 千米，有上坡路、平路、下坡路.李强上坡速度是每小时 3 千米，平路上速度是每小时 5 千米，下坡速度是每小时 6 千米.从甲地到乙地，李强行走了 10 小时；从乙地到甲地，李强行走了 11 小时.问从甲地到乙地，各
48、种路段分别是多少千米？解：把来回路程 452=90（千米）算作全程.去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成“一种”路程，根据例 15，平均速度是每小时 4 千米.现在形成一个非常简单的“鸡兔同笼”问题.头数 10+11=21，总脚数 90，鸡、兔脚数分别是4 和 5.因此平路所用时间是（90-421）（5-4）=6（小时）.单程平路行走时间是 62=3（小时）.从甲地至乙地，上坡和下坡用了 10-3=7（小时）行走路程是45-53=30（千米）.又是一个“鸡兔同笼”问题.从甲地至乙地，上坡行走的时间是（67-30）（6-3）=4（小时）.行走路程是 34=12（千米）.下坡行走的时间是 7-4=3（小时）.行走路程是 63=18（千米）.答：从甲地至乙地，上坡 12 千米，平路 15 千米，下坡 18 千米.做两次“鸡兔同笼”的解法，也可以叫“两重鸡兔同笼问题”.例 16 是非常典型的例题.例 17 某种考试已举行了 24 次，共出了 426 题.每次出的题数，有 25 题，或者 16 题，或者 20 题.那么，其中考 25 题的有多少次？解：如果每次都考 16 题，1624=384，比 426 少 42 道题.每次考 25 道题，就要多 25-16=
